江苏省淮安市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省淮安市高二第一学期期末调研测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是(

)A.2 B. C. D.2.已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则(

)A.15 B.31 C.63 D.1273.已知函数在处可导，且，则等于(

)A. B. C.1 D.4.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为升.A.3 B.4 C.5 D.65.设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定6.已知，是双曲线的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为(

)A. B. C. D.7.数列满足，，数列的前n项和为

A. B.

C. D.8.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知某物体运动的位移方程为

A.该物体位移的最大值为100

B.该物体在内的平均速度为15

C.该物体在时的瞬时速度是32

D.该物体的速度v和时间t时的关系式是10.已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则

A. B.

C. D.数列的前n项和为11.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线BO交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则

A. B.

C.四边形ACOF为梯形 D.的面积是的面积的2倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知两条直线，，且，则

.13.已知函数，则的单调递增区间为

.14.已知A，B分别是椭圆的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知各项为正数的等差数列满足，且，，成等比数列.求数列的通项公式;若等比数列满足，，问：数列的前50项中哪些项在等比数列中?16.本小题15分已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M求圆M的方程;过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程.17.本小题15分拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得已知函数，数列满足，且求，证明：数列为等比数列;若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立?18.本小题17分在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点两点均在y轴左侧求曲线C的方程;若点A在x轴上方，且，求直线l的方程;过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段AM的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上.19.本小题17分已知函数在点处的切线方程为求实数a的值;若不等式对恒成立，求实数m的取值范围;对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：

答案和解析1.【答案】C

解：直线l经过点，，

则直线l的斜率是：

故选2.【答案】B

解：等比数列中，公比为2，，

，

故选3.【答案】B

解：由查导数的定义得

故选4.【答案】A

解：设竹子自上而下各节的容积构成数列，设其公差为d，

由题设知，

解得，

故选5.【答案】B

解：由题意，若点是圆上的任意一点，

则，且圆心坐标为，半径为，

则圆心到直线的距离为，

则直线与圆相切.

故选6.【答案】C

解：令，则，则，

所以，

因为是正三角形，所以，，

则，

，

所以，

，

所以该双曲线的渐近线方程为

故选7.【答案】D

解：因为，

所以，而，

因此，

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，

因此，即，

解法一：因为，

所以，

因此两式相减得

，

所以

解法二：由，可排除B；

由，可排除A；

由，可排除C；

故选：8.【答案】C

解：由，可得，

即，

设，

则，

当时，，

当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以，

当时，，当时，，

由，

得，

因为，则，

所以，即，

设，则，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又当时，且，

若关于x的方程有两个不相等的实数根，则与的图象有两个交点，

所以，

所以实数a的取值范围是

故选：

9.【答案】BD

解：因为物体运动的位移方程为，

所以时，该物体位移的最大值为110，故A错误；

该物体在内的平均速度为，故B正确；

因为，所以，

当时，，故C错误；

该物体的瞬时速度v和时间t的关系式是，故D正确.

故选：10.【答案】ABD

解：，，

，，

显然，两式相除得，，解得或舍去，

，，故A正确；

，故B正确；

，

是首项为1，公比为的等比数列，

，故C错误；

，

数列是首项为1，公差为1的等差数列，

数列的前n项和为，故D正确.

故选：11.【答案】BCD

解：抛物线的焦点为，准线为，

直线BO的方程为，

取，得，

所以，故A错误；设直线AB的方程为，

由，联立，消去y得，

所以，故B正确；

由知，

因为，所以轴，所以，

因为，所以，

所以四边形ACOF为梯形，故C正确；

由，可得，

所以在点A处得切线方程为，

即切线l的方程为，

取，得，

所以点D到直线AB的距离为，

因为C到直线AB的距离为，

所以的面积是的面积的2倍，故D正确.

故选：12.【答案】

解：两条直线，，且，

则，解得

故答案为：13.【答案】

解：由，

得，

由，得，

函数的单调增区间是

故答案为：14.【答案】

解：设，

，

点Q在以B，A为焦点的双曲线左支上，

而此双曲线的方程为，

又，

直线AQ的方程为，

由，得，，

即，

在椭圆上，

，化简得，

椭圆的离心率，

故答案为：15.【答案】解：设数列的公差为d，，

因为，，成等比数列，

所以，

所以，解得或，

若，则；

若，则

故数列的通项公式为或

若，则，

所以等比数列的公比，

所以

，

，

，，，，，

所以在等比数列中.

若，则，

所以等比数列的公比为1，

即，

所以在等比数列中.

16.【答案】解：设圆M的方程为，

因为点A、B，C都在圆M上，

所以，解得，

因此圆M的方程为；

设直线l的方程为，

因为圆心到直线l的距离，

圆M的半径，，所以由，

得，解得或，

因此直线l的方程为或

17.【答案】解：因为，所以，

因此由，

得，

即，所以，

因为，所以，；

证明：由知：，

因此，而，

所以且，

因此数列是首项为3，公比为3的等比数列；

由知：数列是首项为3，公比为3的等比数列，

因此，即，

所以，

因此

，

所以存在，，使得对任意，总有成立.

18.【答案】解：由题知：点P的轨迹是以、为焦点，且实轴长为的双曲线，

因此，所以曲线C方程为；

设直线l：，，，

由，得，

显然，

因此，，，

因为，所以，

因此，，

所以，解得，

因为A，B两点均在y轴左侧，且，

所以直线l的斜率，即，

因此，所以直线l方程为；

证明：因为直线的方程为：，

令，得，

因此点M的坐标为，

所以点N的坐标为，

所以直线的方程为：，

设，

因为直线l的方程为：，

所以

而由知：，，因此，解得，

所以点Q恒在定直线上.

19.【答案】解：因为函数在点处的切线方程为，

而，

所以，解得；

由知：，

因此不等式对恒成立等价于：

对恒成立，

当时，对恒成立；

当时，对恒成立等价于：

恒成立，

令

则

令

则

因此函数在区间上单调递增，

所以，即在区间上恒成立，

因此函数在区间上单调递减，

所