2024-2025学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2-3.4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业19圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列命题是真命题的是(D)A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B．到定直线x＝eq\f(a2,c)和定点F(c,0)的距离之比为eq\f(c,a)(a>c>0)的点的轨迹是椭圆C．到定点F(－c,0)和定直线x＝－eq\f(a2,c)的距离之比为eq\f(c,a)(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线x＝eq\f(a2,c)和定点F(c,0)的距离之比为eq\f(a,c)(a>c>0)的点的轨迹是椭圆解析：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F22．到定点(eq\r(7)，0)和定直线x＝eq\f(16\r(7),7)的距离之比为eq\f(\r(7),4)的动点的轨迹方程是(B)A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,8)＝1解析：设P(x，y)是轨迹上的随意一点，由题意，得eq\f(\r(x－\r(7)2＋y2),|x－\f(16\r(7),7)|)＝eq\f(\r(7),4)，化简得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1.3．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的准线过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点，则b＝(C)A．3 B.eq\r(5)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的准线方程为x＝±1.又椭圆的焦点坐标为(±eq\r(4－b2)，0)，故eq\r(4－b2)＝1，则b＝eq\r(3).4．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为(C)A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C.eq\f(\r(30),3) D.eq\f(3,2)eq\r(6)解析：依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，∴xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))，∴此弦斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，∴此弦直线方程y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝eq\f(1,3)，x1＋x2＝2.∴|AB|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)·eq\r(1＋k2)＝eq\r(4－4×\f(1,3))·eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(30),3).5．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，则eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)的值为(B)A.eq\f(2b,a2) B.eq\f(2a,b2)C.eq\f(a＋b,b2) D．与AB的斜率有关解析：(特例法)弦AB垂直于x轴时，将x＝c代入椭圆方程得y＝±eq\f(b2,a)，此时d1＝d2＝eq\f(b2,a)，则eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(2a,b2).弦AB在x轴上时，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(1,a＋c)＋eq\f(1,a－c)＝eq\f(2a,a2－c2)＝eq\f(2a,b2).6．设经过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，且倾斜角为eq\f(π,6)的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，若△ABF的面积为eq\f(3\r(3),4)，则实数a的值为(D)A．4 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由题意知∠FAB＝eq\f(π,3)，延长AB交准线于C，故△AFC是正三角形，又点F到准线的距离为p，知|FC|＝2p，△ABF的面积为eq\f(3\r(3),4)，即eq\f(1,2)×2p×eq\f(3,2)p×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),4)，得p＝1，所以a＝eq\f(1,2).故选D.7．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为2，则k＝(C)A．2或－1 B．－1C．2 D．3解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x))联立消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.由韦达定理可得xA＋xB＝eq\f(4k＋2,k2).∵弦AB中点的横坐标为2，∴2＝eq\f(2k＋2,k2).∴k＝2或k＝－1.∵直线与抛物线相交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0.∴k>－1.∴k＝－1应舍去．故选C.8．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满意yeq\o\al(2,0)＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C(D)A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公点，也可能有两个公共点D．没有公共点解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0y＝2x＋x0，,y2＝4x，))整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵yeq\o\al(2,0)＜4x0，∴Δ＝4yeq\o\al(2,0)－16x0＜0，∴方程无解，即直线l与抛物线C无交点．二、填空题9．假如过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4))).解析：过A、B两点的直线：x＋y＝a与抛物线y＝x2－2x－3联立得：x2－x－a－3＝0.因为直线与抛物线没有交点，故方程无解．即Δ＝1＋4(a＋3)＜0，解之得：a＜－eq\f(13,4).10．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.解析：如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋eq\f(y2,b2)＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B点坐标为(－eq\f(5,3)c，－eq\f(1,3)b2)，代入椭圆方程得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c2＋\f(－\f(1,3)b22,b2)＝1，,b2＝1－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3)，))∴方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.11．如图，已知椭圆的中心在原点，F是焦点，A为顶点，左准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于点D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是：①eq\f(|PF|,|PD|)；②eq\f(|QF|,|BF|)；③eq\f(|AO|,|BO|)；④eq\f(|AF|,|AB|)；⑤eq\f(|FO|,|AO|).其中正确的个数是5.解析：依据椭圆的其次定义，可知①②④明显正确；③中，|AO|＝a，|BO|＝eq\f(a2,c)，则eq\f(|AO|,|BO|)＝eq\f(c,a)＝e，③也正确；⑤中，|FO|＝c，|AO|＝a，明显正确．三、解答题12．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．解：由A，B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)．∵OA⊥OB，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)，得eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),36)＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36①.∵点A，B与点P(4,2)在一条直线上，∴eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),6)－4)＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),6)－\f(y\o\al(2,2),6))，化简得eq\f(y1－2,y\o\al(2,1)－24)＝eq\f(1,y1＋y2)，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.将①代入，得y1＋y2＝－6②.由①和②，得y1＝－3－3eq\r(5)，y2＝－3＋3eq\r(5)，从而点A的坐标为(9＋3eq\r(5)，－3－3eq\r(5))，点B的坐标为(9－3eq\r(5)，－3＋3eq\r(5))．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝6eq\r(10).13．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求椭圆E的离心率．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1.又∵△ABF2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2∴|AF2|＝2a－|AF1(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由椭圆定义知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)(2a－k∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，∴a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2∴F2A⊥AB，F2A⊥AF∴△AF1F2是等腰直角三角形，从而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以椭圆离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).——实力提升类——14．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，则k的取值范围为(－1,0)．解析：设抛物线y2＝4x上的B，C两点关于直线y＝kx＋3对称，则直线BC的方程为x＝－ky＋m(k≠0)，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点M(x0，y0)，则y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－2k，则x0＝2k2＋m.∵点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，∴－2k＝k(2k2＋m)＋3.∴m＝－eq\f(2k3＋2k＋3,k).②又∵直线BC与抛物线交于不同的两点，∴方程①中，Δ＝16k2＋16m把②式代入化简，得eq\f(k3＋2k＋3,k)<0，即eq\f(k＋1k2－k＋3,k)<0，解得－1<k<0，即k的取值范围是(－1,0)．15．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为eq\f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq\f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝8，求k的值．解：(1)设F(－c,0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知a＝eq\r(3)c，过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有eq\f(－c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3)，于是eq\f(2\r(6)b,3)