2025年苏教版高一数学下册月考试卷含答案VIP

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年苏教版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知各项均为正数的等比数列{}，则的值为（）A.16B.32C.48D.642、【题文】若则（）A.B.C.D.3、【题文】已知函数满足：①定义域为R；②有③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A.15B.10C.9D.84、【题文】已知直线及与函数图像的交点分别为与函数图像的交点分别为则直线AB与CD（）A.相交，且交点在第I象限B.相交，且交点在第II象限C.相交，且交点在第IV象限D.相交，且交点在坐标原点5、将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切6、已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，+∞）B.（﹣∞，1）C.（1，+∞）D.（0，1]评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为____.8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2，b2，c2成等差数列；则。

cosB=____．9、经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行的直线的斜截式方程为____．10、如图，靠山修建的一个水库，从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的坝面向上走30米到水坝的顶部B测得对面山顶P的仰角为30°，则山高为____米．

11、若定义在区间（-2，-1）内的函数f（x）=log3a（x+2）满足f（x）＞0，则a的取值范围是____．12、为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

已知加密为y=ax﹣2（x为明文；y为密文）；如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”；

再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是____13、如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么S7=____．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)14、在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（1）若求（2）若求（3）若求面积的最大值。15、【题文】（本小题满分14分）

已知方程

（1）若此方程表示圆，求的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且(为坐标原点)求的值；

（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程.16、【题文】（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-中，D，E分别为BC，的中点，的中点，四边形是边长为6的正方形.

（1）求证：平面

（2）求证：平面

（3）求二面角的余弦值.

17、某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2．记改进工艺后；旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．

（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；

（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．18、计算下列定积分．

（1）

（2）．19、已知等比数列{an}

中，a1=13

公比q=13

．

(

Ⅰ)Sn

为{an}

的前n

项和，证明：Sn=1鈭�an2

(

Ⅱ)

设bn=log3a1+log3a2++log3an

求数列{bn}

的通项公式．评卷人得分四、作图题(共3题，共9分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．21、画出计算1++++的程序框图．22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、证明题(共2题，共4分)23、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．24、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)25、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．26、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．27、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【解析】试题分析：因为，各项均为正数的等比数列{}，所以，由等比数列的性质，得==64，选D。考点：等比数列的性质【解析】【答案】D2、A【分析】【解析】

试题分析：因为所以选A.

考点：指数函数、对数函数的性质【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)=(x∈[-8；8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．

解：根据题意；作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：

在同一坐标系里作出g(x)=(x∈[-8；8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．

所以φ(x)="f(x)-"(x∈[-8；8])有8个零点；

∵任意的x；有f（x+2）=2f（x）；

∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）?f（-1）=f（1）=1，满足φ（x）="f(x)-"=0

而x=0也是函数φ（x）的一个零点；并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点。

综上所述；函数φ（x）的零点一共10个。

故选B【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】

直线AB、CD方程为显然两直线过原点，选D．【解析】【答案】D5、B【分析】【解答】直线l的方程为即圆心到该直线的距离：所以相切.6、D【分析】【解答】解：画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．观察得出：（1）k＞1，或k＜0有且只有1个交点；（2）0＜k≤1有且只有2个交点．故实数k的取值范围是（0，1]．故选D．

【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到．二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【解析】试题分析：300名学生抽取样本容量为60，所以需分成60组，组距为5，即相邻的两组间的数据差5，则第一组抽到的编号为3考点：系统抽样【解析】【答案】38、略

【分析】

根据题意得：b2=ac，2b2=a2+c2；

∴由余弦定理得：cosB===．

故答案为：

【解析】【答案】分别利用等比数列及等差数列的性质列出关系式；

9、略

【分析】

直线4x+y-2=0的斜率是-4；

所以经过点A（3；2），且与直线4x+y-2=0平行的直线的斜截式方程为：y-2=-4（x-3），即y=-4x+14．

故答案为：y=-4x+14．

【解析】【答案】求出直线的斜率；利用直线的点斜式方程求法即可．

10、略

【分析】

△PAB中；∠PAB=45°，∠BPA=30°；

∴即．

PQ=PC+CQ=PB•sin30°+30sin15°=

故答案为：．

【解析】【答案】△PAB中，由正弦定理可得根据PQ=PC+CQ=PB•sin30°+30sin15°；化简可得结果．

11、略

【分析】

因为x∈（-2，-1），所以x+2∈（0，1），由f（x）＞0得0＜3a＜1，所以0＜a＜

故答案为：（0，）

【解析】【答案】由x∈（-2；-1），先确定x+2的范围（0，1），再结合对数函数的图象解决即可．

12、4【分析】【解答】解：依题意可知明文“3”，即x=3，得到密文为“6”，即y=6，求得a=2，密码对应关系为：y=2x﹣2；

接受方接到密文为“14”；即y=14，则原发的明文是x=4．

故答案为：4

【分析】明文“3”，即x的值，得到密文为“6”，即y的值，求得a=2，密码对应关系为：y=2x﹣2，按此规则可求出原发的明文．13、28【分析】【解答】解：∵等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，∴3a4=12，解得a4=4．那么S7==7a4=28．

故答案为：28．

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．三、解答题(共6题，共12分)14、略

【分析】

【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】

试题分析：解：（1）

3分。

（2）设由。

得：

由韦达定理得：

即：

10分。

（3）设圆心为则：

半径

圆的方程为14分。

考点：考查了圆的一般方程；以及直线与圆的知识。

点评：解决该试题的关键是利用联立方程组得到根与系数的关系，同时结合向量的数量积为零来表示垂直，得到方程，求解结论，属于中档题。【解析】【答案】(1)(2)(3)16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）证明：连结与交于O点；连结OD.

因为O，D分别为和BC的中点；

所以OD//

又OD

所以4分。

（2）证明：在直三棱柱中；

所以

因为为BC中点；

所以又

所以

又

因为四边形为正方形，D，E分别为BC，的中点；

所以

所以所以

8分。

（3）解：如图，以的中点G为原点；建立空间直角坐标系；

则A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量。

设为平面的一个法向量；

由

令则

所以

从而

因为二面角为锐角；

所以二面角的余弦值为12分17、【解答】（I）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为a（1﹣x2）件；

则月平均利润y=a（1﹣x2）•[20（1+x）﹣15]，

∴y与x的函数关系式为y=5a（1+4x﹣x2﹣4x3）．

故函数关系式为：y=5a（1+4x﹣x2﹣4x3）（0＜x＜1）

（II）由y'=5a（4﹣2x﹣12x2）=0得x={#mathml#}12

{#/mathml#}或x={#mathml#}-23

{#/mathml#}（舍）

当0<{#mathml#}12

{#/mathml#}时y'＞0；{#mathml#}12

{#/mathml#}<1时y'＜0，

∴函数y=5a（1+4x﹣x2﹣4x3）（0＜x＜1）在x={#mathml#}12

{#/mathml#}取得最大值

故改进工艺后，产品的销售价为20(1+{#mathml#}12

{#/mathml#})=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大【分析】【分析】（I）由题易知每件产品的销售价为20（1+x），则月平均销售量为a（1﹣x2）件；利润则是二者的积去掉成本即可．

（II）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．18、略

【分析】

根据微积分定理；分别计算函数的积分即可．

本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础．【解析】解：（1）==+=

（2）=ln（x-1）|=lne-ln1=1．19、略

【分析】

(I)

根据数列{an}

是等比数列，a1=13

公比q=13

求出通项公式an

和前n

项和Sn

然后经过运算即可证明．

(II)

根据数列{an}

的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}

的通项公式．

本题主要考查等比数列的通项公式、前n

项和以及对数函数的运算性质．【解析】证明：(I)隆脽

数列{an}

为等比数列，a1=13q=13

隆脿an=13隆脕(13)n鈭�1=13n

Sn=13(1鈭�13n)1鈭�13=1鈭�13n2

又隆脽1鈭�an2=1鈭�13n2=Sn

隆脿Sn=1鈭�an2

(II)隆脽an=13n

隆脿bn=log3a1+log3a2++log3an=鈭�log33+(鈭�2log33)++(鈭�nlog33)

=鈭�(1+2++n)

=鈭�n(n+1)2

隆脿

数列{bn}

的通项公式为：bn=鈭�n(n+1)2

四、作图题(共3题，共9分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、证明题(共2题，共4分)23、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．24、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．六、综合题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；

（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2；整理求解即可求得答案；

（4）因为当且仅当==时等号成立，即可得当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2）≥0；

∴△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0；

即：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

当且仅当==时等号成立；

（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；

∵x+2y+3z=6；

∴14（x2+y2+z2）≥36；

∴x2+y2+z2≥；

∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为；

（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2；

∵2x2+y2+z2=2；

∴（x+y+z）2≤2×=5；

∴-≤x+y+z≤；

∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为；

（4）∵当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值；

设x===k；

则x=k；y=2k，z=3k；

∵x+2y+3z=6；

∴k+4k+9k=6；

解得：k=；

∴当x2+y2+z2取最小值时，x=，y=，z=．26、略

【分析】【分析】（1）根据根与系数的关系；列出方程组解答；

（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．【解析】【解答】解：（