5-2-导数的运算2022-2023学年高二数学同步讲与练(精讲)(原卷版)

5.2导数的运算一、基本初等函数的导数函数导函数函数导函数(c是常数)(为实数)特别地特别地二、导数的运算法则1、加减法：2、乘法：3、除法：三、复合函数的导数1、复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.2、复合函数的求导法则一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法连接。3、求复合函数的导数的步骤第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；第三步相乘：把上述求导的结果相乘；第四步变量回代：把中间变量代回。4、求复合函数的导数注意以下几点：（1）分解的函数通常为基本初等函数；（2）求导时分清是对哪个变量求导；（3）计算结果尽量简洁。四、导函数的常用结论1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题型一求简单函数的导数【例1】求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.【变式1-1】已知函数，则（）A．B．C．D．【变式1-2】下列各式正确的是（）.A．B．C．D．【变式1-3】函数的导函数为______．【变式1-4】设，，，……，，，则（）A．B．C．D．题型二求复合函数的导数【例2】函数的导数为（）A．B．C．D．【变式2-1】（多选）下列求导运算正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2-2】求函数的导数．【变式2-3】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．题型三求导数值问题【例3】若函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【变式3-1】已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．4D．【变式3-2】已知函数，则（）A．B．0C．1D．2【变式3-3】已知，则的值为（）A．B．C．D．题型四求切线的方程或斜率【例4】函数在处的切线的斜率为（）A．0B．1C．2D．e【变式4-1】设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【变式4-2】过点且与曲线相切的直线方程为______．【变式4-3】过点且与曲线相切的直线共有________条.题型五利用切线求参数问题【例5】若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．D．【变式5-1】已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，求实数m的取值范围．【变式5-2】已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（）A．0B．C．0或D．或【变式5-3】函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（）A．B．C．或D．或或题型六利用相切关系求最值距离【例6】已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________【变式6-1】若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为________.【变式6-2