2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义13 旋转变换含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题13旋转变换

阅读与思考

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定

点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角.

旋转变换不改变图形的形状和大小.通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同

样大小的角度.旋转变换前后的图形有下列性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心.

例题与求解

［例1］如图，边长为1的正△481G的中心为O,将正△481G绕中心。旋转到△482C2,使得482

±SiG，则两个三角形的公共部分（即六边形48CDEQ的面积为.

解题思路：S六逗*，ABCDEF=S8%BC_3S、8、C【），解题的关键是寻找C8］,C82,CD,Ci。之间的关系.

【例2】如图，已知△408,ZkC。。都是等腰直角三角形，Z.A0B=ACQD=90°,N,M,Q,P分别

为AB,CB,CD,4。的中点.

求证：四边形A/MQP为正方形.

解题思路：连结BD,AC,并延长AC交于点E,则△0AC可以看作是由△08D绕点0逆时针旋转90°

得到的，旦/人£。=90。，这是证明本例的关键.

N,*

A

O

【例3】如图，巳知在△48C中，AB=AC,P为形内一点，且NAP8VN4PC.

求证：PB>PC.

解题思路：以人为中心，将△APB旋转一个N84：,使AB边与4c边重合，这时△APB到了△4P'C

的位置.

【例4】点8,C,E在同一直线上，点4。在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,NBAC=/CED,

直线AE,8。交于点F.

(1)如图1,若N8AC=60°,则NAF8=；如图2,若N847=90°,则NAFB=；

(2)如图3,若N8AC=a,则/AF8=(用含a的式子表示)；

(3)将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A,8重合)，得图4或图5.在图4中，/AFB与

/a的数量关系是;在图5中，/4FB与Na的数量关系是

请你任选其中一个结论证明.

D

图4

解题思路:从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：8cs△£℃,ABCD^A

ACE,这是解本例的关键.

【例5】如图，已知凸五边形A8C0E中，48=8C=C0=0E=E4ZABC=2ZDBE.

求证：ZABC=60°.

解题思路：将△48E以8为旋转中心顺时针旋转NA8C,读得八8与8c重合，落在△C8F位置，则

△48的△CBE',AE=CEr,BE=BE',/CBE'=NABE.

、N

Ef

【例6】如图，已知正方形ABC。内一动点E到4B,C三点的距离之和的最小值为0+#,求此正

方形的边长.

解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变

换，把EA,EB,EC连结起来.

能力训练

A级

1.如图，巳知正方形48C。中，点E在边0C上，DE=2,EC=1,把线段4E绕点八旋转，使点E落在

直线8c上的点F处，则F,C两点的距离为.

第1题第3题

2.如图，P是正△48C内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10.若将△以C绕点A逆时针旋转后,

得到△P28,则点P与点F之间的距离为,ZAPB=________.

3.如图，直角梯形48CD中，ADWBC,AB±BC,AD=2,BC=3,ZBCD=45°.将CO以点。为中心

逆时针旋转90。至ED,连结4E,则AADE的面积是.

4.如图，在RtAA8c中，已知NC=90°,N8=50。，点。在边BC上，BD=2CD.把△A8c绕着点。逆

时针旋转〃？（0<〃[<180）度后，如果点8恰好落在初始RtA48c的边上，那么机=.

5.如图，将边长为1的正方形48CD绕点4按逆时针方向旋转60。至A89O的位置，则这两个正方

形重叠部分的面积是.

6.如图，在Rt448C中，/A=90。，AB=6cm,AC=8cm.以斜边8C上距离点86cm的点P为中

心，把这个三角形按逆时针方向旋转90。至AOEF,则旋转前后两个三角形重登部分的面积为.

7.如图,将△ABC绕点C（0,-1）旋转180。得到△A8'C,设点A的坐标为（a,b）,则点4的

坐标为（）

边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）

A.2：3：4B.3：4：5C.4：5：6D.不能确定

9.如图，在△48C中，ZBAC=120°,P是△A8c内一点，贝IJ（）

A.%+P8+PCV48+AC

B.PA-\-PB+PC>AB-\-AC

C.%+P8+PC=A8+4C

D.%+R8+PC与48+4C的大小关系不确定

10.已知：如图1,。为正方形48C。的中心，分别延长。八到点F,0。到点E,使0F=204OE

=200.连结EF,将AFOE绕点。逆时针旋转。角得到△尸。£(如图2).

(1)探究A£与8尸的数量关系，并给予证明，

(2)当a=30。时，求证：AAOE1为直角三角形.

11.在△48C和△OEF中，AB=AC,DE=DF,N84?=NEDF=a，点M,/V分别是8E,CF的中点.

(1)若点4与点。重合，点邑F分别在48,AC上(如图1),则AM与4V的数量关系是,

/MAN与a的数量关系是;

(2)将图1中的△£)£「绕点八(D)旋转(如图2),第(1)问的两个结论是否仍成立？若成立，请

记明；若不成立，请说明理由.

B级

1.如图，△ABC是边K为1的等边三角形，△80C是顶角N60C=120。的等腰三角形，ZMDN=60°,

则4AMN的周长=.

=〃，则以线段X,〃？，〃为边长的三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随X,阳，〃的变化而变化

4

3.如图，直线），=-§x+4与x轴，y轴分别交于4,8两点，把△A08绕点A顺时针旋转90。后

得到△AO6,则点夕的坐标是（）

A.（3,4）B.（4,5）C.(7,4)D.(7,3)

4.如图，正方形48C。中，已知八8=6，点分别在8C,C。上，且N8AE=30°,ZDAF=15°,求

△AEF的面积.

A

Cc

图①图②

E

第4题第5题

5.（1）如图1,在四边形八8C。中，ABD=,AZB/4D=60o,ZBCD=120°.

求证：8C+DC=AC：

（2）如图2,在四边形八8CD中，AB=BC,./ABC=60°,P为四边形488内一点，J.ZAPD=120°,

求证：%+PD+PC2BD.

6.如图，在△A8c中，AB=AC,ZBAC=12Q°,△ADE是正三角形，点。在边8c上,

已知8D：DC=2：3,当△48C的面积是50cm2时，求△4DE的面积.

C

第6题第7题

7.如图，已知0是锐角三角形A8c内一点，Z4QB=N8OC=N84=120。，2是^ABC内任一点.求

记：吟P8+PC2CW+08+0C.

8.（1）如图1,已知正方形48C。和正方形CGEF（CG>8C）,8,C,G在同一条直线上，M为线段

AE的中点.探究：线段MD,的关系；

<2）如图2,若将正方形CG8绕点。顺时针旋转45。，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD

的边8c的延长线上，M为AE的中点.试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，

请说明理由.

（3）如图3,若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转a,仞为4E的中点.试问：第（1）问中探究的

结论是否成立？

图1

图2图3

9.已知正方形ABCD和等腰RtABEF,BE=EF,ZBEF=90°.按图1的位置，使点F在8C上，取

DF的中点G,连结EG,CG.

（1）探索EG,CG的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图中△8EF绕点8顺时针旋转45。，再连结OF,取DF中点G（如图2）,第（1）问中的结论

是否仍然成立.?请你证明；

（3）将图1中绕点8转动任意角度（在0。〜90。之间），再连结DF,取OF的中点G（如图3）,

第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明.

10.在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点4（3,0）,8（0,4）.以点八为旋转中心，把△阳。

顺时针旋转，得^ACD.记旋转角为a,ZAB。为0.

（1）如图1，当旋转后点D恰好落在48边上时，求点。的坐标；

（2）如图2,当旋转后满足BGIx轴时，求a与之间的数量关系；

（3）当旋转后满足NA00=〃时，求直线C。的解析式.

第10题

11.如图，在△A8c中，ZBAC=60°,AB=2AD,点P在△Z^BC内，旦弘=百，PB=5,PC=2,

求△ABC的面积.

专题13旋转变换

又

例1如图，连接。历，OB2,BiB?,贝1」。41=0々，NOBilh=NOlhBi./OBiC=300=ZO132C,工

NCBiB2=NClhBi，故。⑶=。历.同理，生^=。©.设CB1=x,则C&=x，CD=x/3x,DCi=DB?=2x,

于是x+x+2x=1=>x=—^—f=,故

S六边形ABCDEF=SA$c-3s=

3+6BCD

叵3x""/，回

424244

B?

例2:N,M分别为线段A8,C3的中点，・・.MN=LAC同理111

IMQ=-BD,PQ=-AC,PN=-BD.

2

,；AC=8。，，MN=MQ=PQ=PN,・,•四边形NMQP为菱形.,・'MN//AC,MQ//BD,/.AC_BD,AZ

NMQ=9()°,・•・菱形NMQP为正方形.

例3^APM^APC,AP=A^,ZAPB=ZAPC,PC=PB.连接PP’，由AP,=AP得

ZAPP=ZAPP,而/AP3V/A尸。，即NAPCVZAPC,・•・/PPCV/PPC,于是POPC,

即PB>PC.

例4(1)60°45°(2)90°--a(3)Z4F«=90°■--aNAFB=90°+-«对

222

=90°一证明如下：・・飞8=4。，EC=EQ,/BAC=/CED,・•・XABCslXEDC,得/ACB=/ECD,

2

BCAC人/日

——=——，ZBCD=ZACE,:•△BCDS/\ACE,得NC8Q=NCAE.TNAQ尸=/8QC,ZCBD=Z

DCEC

180。一NB4CM。1

CAF,・•.NAFB=ZACB=---------------------=90°一一a.

22

例5,//EBE'=ZABC=2/DEB，:.NEBD=NEBD.连接DE'.VBD=BD，/EBD=/EBD，

BE=BE,，.EBg..E'BD,得ED=ED=CD=CE',・・・aCDE'为正三角形,/DCE'=60"，

又BC=CD=CE',则/£6D=1/OC£=3()V.・•・ZAB3NE3E=2NE6D=6OD.

2

例6将△相£绕8点逆时针旋转6()。，得△/73G,连接GE,FC,则△BEG为等边三角形.GE=BE,

:.FCWFG+GE+EC,UPFC^EA+EB+EC,丁/。为定长，・••当E点落在R7上时，R7=E4+E8+

EC为最小值.TN/为C=15()°,FB=BC,：.NBCF=NBFC=15°，而NG£4=60"，:・NE8c=45°,

即E在正方形A8CO的对角线8。上.作H/_L8C交C8延长线于“，设8C=x,则F8=x,FH=土,

2

HB=­x,在府△FHC中,由（&+#）2=（巳）2+（x+立幻？，得x=2或％=—2（舍去），即正方

222

例6题图

A级

1.1SE52.6150°3.14.80或1205.2-6提示:如图，过B'作MN〃AD,分别AB,CD于M,N,点BC

z

交CD于K,贝ljB'M=AB'sin60”=—,8^=1--,AM=-/RtAAKB^RtAAKD,ZKAB=ZKAD=15°/Z

222

ADB'=75°,Z\ADKsZ\DNB：

—=—。1<=2・6,重叠部分面积=2$,,&1«)=2X1X1X(2->/3)=2-5/3

NB'DN2

19

6过P作PMJ.AC于M,PN_LDF于N,可证明四边形PMGN为正方形,PM=',S五右S正方施

PMGN=(—)2=—.7.D8.A9.B提示:将4CPA绕点A逆时针旋转60°到△*「'，连结PP',△APP，为等边

525

三角形.PB+PP'+P'C=PA+PB+PC>AB+AC'=AB+AC.

1O.(1)AE'=BF'.(2)证法较多,如取OE，中点G,连结AG.11.⑴AM=AN,NMAN=a.(2)第⑴问的结论仍成立,

理由如下:由aABEgZXACF得BE=CF,NABM=NCAN,进•步可以证明△ABM@Z\CAN.

B级

O

12提示:MN=BM+CN2.B提示：△ACM^ABCD.ZACM=ZBCD/CM=CD/ZMCN=ZNCD=45CN=CN,

则△MNCg/\DNC,MN=ND=x,AM=BD=m，又NDBN=450+45°=90’，故m2+〃=*2.3.D4.3-8提示：

将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°^IJAABG.

的位置，则△AEFZ^AEG.ZAEF=ZAEG=ZFEC=60°/BE=1/EC=BC-BE=>/3-1,

EF=EG=2(G-1),SAAEF=SAABG=-EG•AB=3-x/3.

2

5⑴提示:延长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD@Z\BED.(2)将aABD绕点A旋转60°到△ACB)连结

B'DBP,则四边形AB'DP符合⑴的条件，「是B/P=PA+PD连结AC,则△ABDgZ\ACB'.BD=BCB'CW

P3'+PC=PA+PD+PC,从而BDWPA+PD+PC.

6直接解题有困难，^ABC绕点A逆时针旋转120。，240。拼成正aMBC（如图），则正aADE变为正△

ADiEi和正4人口2£2易知,六边形DEDiEiD2E2是正六边形，是正三角形，其面积是4ADE面积的3

倍..因此，设法由正△MBC面积为150求出△DD1D2的面积，问题就解决了.注意到

BD:DC=CDI：DIM=MD2:D2B=2:3,连结DM,则SSDE=1S&ABD=36cm2,而5.皿也=S0cA=36cm2.同理，可得

3

5△皿6=150-3X36=42cm2,故SAADE=-=14cm2.

3

（第6题图）

7如图，将BP,BO,BC绕点B沿顺时针方向旋转60°,变为BP',BO）BU连结OO；PP；M

ABOO：△BPP'都是正三角形.因此OO'=OB,PP'=PB,显然△BOX'^ABOCZABP'Cg△BPC,由于N

BD,C=ZBOC=120°=180°-NBO'O,，A,O,O',U四点共线.故AP+PP'+P'C2AC'=A0+00'+0'C,即PA+PB+PC

20A+0B+0C.

8⑴提示:延长DM交EF于N,rf：AADM纥△ENM,得DM=MN,MF=-DN,FD=FN,故MD_LMFJ2)延长DM

2

交CE于N,连结DF,FN先证明△ADMg△ENM,再证明ACDF^AENE

第⑴问中的结论仍成立.(3)第⑴问中的结论仍成立，延长DM至N,使MN=DM,连结DF,FN,证法同上.

(9)提示:EG=CG,EGLCG,B,E,D在一条直线上,(2)仍然成立，延长EG交CD于H点4FEG^ADHG,AECH,

AECG为等腰直角三角形.(3)仍然成立.

6I0

10.(1)(2)a=2p⑶如图1,ZkOAE/△DAE,ZkABO4△ABD,B,D,C,三点共线.设D(a,b),则

(,-3)2+t=3：,解得4=史二0(奥马可得直线CD的解析式为),=_2力4.如图2,同理可

[«2+(4-Z?)2=42,25252525-24

得，y=—x+4.

-24

(第10题图)

11.提示:易证NACB=90°,如图，将aAPC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQO,点D为AB的中点，连结

PQ,得到△APQ为等边三角形.过点Q作QE_1AP,垂足为E,则NAQE=30°,

3I55

QE=—,AE=PE连结DE,则DE=—EP=_,于是DE2=(—)2=QE2+QD2,从而NDQE=90°,

2222

ZAQD=ZAQE+ZEQD=120°=/APC.过点C作CF_LAP交AP的延长线于点F,得到

ZCPF=60°//PC=2,:.PF=1,CF=石，于是AC2=AF2+CF2=(^+1)2+(石＞=7+2石，

6+76

SAABC=2SAACD=

2

（第11题图）

专题14平行线分线段成比例

阅读与思考

平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最

重要的理论.

运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线.若无平行线，需作平行线，而作平

行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得.此外，还要熟悉并善于从复

杂的图形中分解出如下的基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在梯形八8c。中，40IIBC,AD=a,BC=b,E,F分别是2。，8c的中点，且4F交

8E于P,CE交DF于Q,则PQ的长为.

解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或8C）的位置关系，关键是从复杂

的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系.

【例2】如图，在△ABC中，D,E是BC的三等分点，M是4c的中点，BM交AD,AE于G,H,则

BG:GH：HM等于()

A.3：2：1B.4：2：1C.5：4：3D.5：3：2

解题思路：因题设条件没有平行线,故须过M作8c的平行线,构造提本图形.

A

【例3】如图，DABCDP为对角线8。上一点，过点?作一直线分别交848c的延长线于Q,

R,交CD,4。于S,T.

求证：PQ・PT=PR・PS.

解题思路：要证PQ・PT=PR・PS,需证丝="，由于PQ,PT,PR,PS在同一直线上，故不能

PSPT

直接应用定理，需观察分解图形.

【例4】梯形48CD中，AD//BC,AB=DC.

（1）如图1,如果P,E,F分别是BC,AC,8D的中点，求证：AB=PE~^PF；

（2）如图2,如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE//AB,PF//DC,那么4B=P—PF这个结

论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.

解题思路：（1）不难证明；对于（2）,先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PE+PF,即要证

PFPF

明££+。=1,将线段和差问题的证明转化为马成比例线段相关问题的证明.

ABAB

【例5】如图，已知4B〃CD,AD//CE,F,G分别是AC和F。的中点，过G的直线依次交A8,AD,

CD,CE于点M,N,P,Q.

求证：MN+PQ=2PN.

解题思路：考虑延长Q4构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式一

AMB

【例6】已知：8c是任意三角形.

(1)如图1,点M,P,N分别是边48,BC,C4的中点,求证：/MPN=/A；

(2)如图2,点M,N分别在边48,AC上，且&丝=」AN1上-c曰

------->点Pl，Pl7C

AB3AC3

边8c的三等分点，你认为NMPW+NMP2/V=N4是否正确？请说明你的理由；

(3)如图3,点M,N分别在边48,4?上，且％P2，…，P2009是边8C的2010等分点,

则NMP1N+NMP2/VH----------\~ZMP2OO9N=

解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质.

能力训练

A级

>n_ci+b—ca—b+c—a+Z?+c

1.奴K=----------=-------------=---------------,则长=.

cba

2.如图，AD//EF//BC,40=15,BC=21,2AE=EB,则EF=

3.如图，在△48C中，AM与BN相交于,BM=3MC,AD=DM,则BD:DN=

4.如图，48C。是正方形，E,F是48,8c的中点，连结EC交。8,交DF于G,H,则EG：GH：

HC=.

5.如图，在正△48C的边8C,C4上分别有点E,F,且满足8E=CF=a,EC=FA=b(«>/?),

当BF平分AE时，则9的值为1)

b

Ax/5-1N/5-2V5-1x/5+2

A----------DB.---------Cr.---------nD.---------

2222

6.如图，/XABC中，4。是8c边上的中线，F是4。上的一点，且“：FD=1：5,连结CF并延长

交AB于E,则AE:EB等于()

A.1：10B.1：9C.1：8D.1：7

A

A

B』--------D-'C

第6题第7题第8题

7.如图，PQ//AB,PQ=6,8P=4,48=8,则PC等于1)

A.4B.8C.12D.16

3

8.如图，EF//BC,FD//AB,8。=二8C,则8E：。等于()

5

A.3：5B.2：5C.2：3D.3：2

9.(1)阅读下列材料，补全证明过程.

已知，如图，矩形48CD中，AC,8D相交于点。，OE_L8c于£,连结DE交。C于点F,作FG_L3C

于G.求证：点G是线段8c的一个三等分点.

(2)请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点.(要求：保留画图痕迹，不写画法及

正明过程)

A_________D

二

",」

EG八E6

第9题第10题第11题

10.如图，已知在DA8c。中，E为48边的中点，AF=-FDFE与4c相交于G.

2f

求证：AG=-AC.

5

11.如图，梯形A8CD中,AD//BC,EF经过梯形对角线的交点。,KEF//AD.

(1)求证：OE=OF；

求学+等的值;

(2)

求证：—

ADBCEF

12.如图，四边形A8CD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与8c的延长线交于点F,

过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,MB与AD交于点N.

求证：NAFN=NDME.

B级

1.如图，工地上竖立着两根电线杆48,CD,它们相距15cm,分别自两杆上高出地面4m,6m

的4,C处，向两侧地面上的E，。和8,6点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳八D与

BC的交点P离地面的高度为m.

2.如图，D4BC。的对角线交于。点，过。任作一直线与CD,8c的延长线分别交于F,E点.设

BC=a,CD=b,CF=c,则CE=.

3.如图，D,F分别足△48C边48,AC上的点，且月。：D8=CF：£4=2：3,连结DF交8c边的

延长线于点E,那么EF:FD=.

4.如图，设AF=10,FB=12,8D=14,DC=6,CE=9,£4=7,且KL〃DF,LM//FE,MN//ED,

则EF:FD=.

5.如图，AB//EF//CD,已知48=20,CD=80,那么EF的值是（）

A.10B.12C.16D.18

6.如图，CE,CF分别平分/4C8,NACD,AE//CF,AF//CE,直线EF分别交A8,4c于点机N.若

BC=a,AC=b,AB=c,且c则EM的长为（）

A・爰一

7.如图,在Q48C。的边4。延长线上取一点F,8F分另ij交4c与CD于E,G.若EF=32,GF=24,

则BE等于()

A.4B.8C.10D.12E.16

8.如图，在梯形48CD中，AB//CD,AB=3CD,E是为角线43的中点,直线8£交4。于点F,则AF

:FD的值是()

A.2B.-*1D.1

9.如图，P是梯形ABC。的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP,BP分别交直线C。于E,

MNLAEBF、

求证:一（-----1-----）

NP2EPFP

10.如图，在四边形A8C。中，AC与8。相交于。，直线/平行于8D且与AB,DC,BC,AD及AC

的延长线分别交于点M,N,R,S和P.

求证：PM・PN=PR•PS.

第10M第11题

11.如图，A8_L8C,CD±BC,B,D是垂足，AD和8c交于E,EFLBD于F.我们可以证明：—+—

ABCD

=_!_成立（不要求证出）.以下请回答：若将图中垂直改为48〃CD〃£F,那么，

EF

（1）」_+」_=」_还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

ABCDEF

（2）请找；11S^ABD»SdBED和S&BDC的关系式,并给出证明.

12.在由△〃8c中，ZBAC=90°,4。平分N8AC,过。点的直线PQ交边A：于点P,交边48的

延长线于点Q.

(1)如图1,当PQJ_4c时.，求证：—+—=—；

AQAPAD

(2)如图2,当PQ不与八。垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论;

如图3,若N84C=60。，其它条件不变，且」_+」-=/_,则〃=

(3)（直接写出结

AQAPAD

果）

Q

图2图3

专题14平行线分线段成比例

abAPDQ

例1提示:由---=----推得PQ//AD.

67+/?PFQFb

例2D

PQ_PB_PR

例3提示:

~PS~~PD~~PT

_PFBPPECP

例4（1）略（2）结论仍然成立+提a不：---=----,---=----.

CDBCABBC

例5延长84EC,设交点为0,则四边形OADC为平行四边形，不妨设QP=a,MN=b,PG=x,GN=y「：F

是的中点，二。卜的延长线必过点，且〃。PGDG1X1

ACO2£=’.:485.即

OG3GM~OG~3y+b3

.GNDG\

y+Z?=3KD,AD//CE,即yi,a+x=3y@,由①②可得

QOOG3a+x3

a+h=2(x+y),即MN+P0=27W

例6（1）..•点M,P,N分别是48,BC,CA的中点,，线段MP,PN是△48C的中位线，；.MP〃4N,

PN//AM,・••四边形/MPN是平行四边形,:・/MPN=NA0(2)NMPI/V+NMP2/V=NA正确.

（例6题图）

AMAN1MNI

如图所示，连接MN,----=——=-,ZA=ZA,：.4AMNsAABC,:・/AMN=/B,-——=-

ABAC3BC3

：.MN//BC,MN=-BC,又•••点P1,P2是边8c的三等分点，・・・MN与8P］平行且相等，MA/与P1P2平

3

行且相等，M/V与P2c平行且相等，，四边形MBPiN,MPiP2MMp2。\/都是平行四边形，・・.M8〃NPi,MPi

//NPi,MP2//AC,:・/MPiN=/l,Z/V7P2/V=Z2,ZBMP2=ZA,/.ZMP1N+ZMP2N=Z1+Z2=ZBMP2=Z

A.(3)NA

A级

1-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.47.C8.C9.略10.提示：延长FE交CB的延长线于H,

AGAF1OEOE

易证0/XBEH,——=——=-.11.(1)略(2)1(3)提示：——+——=1,EF=2OE<,12.

GCHC4ADBC

MECEOEBFOE

延长BF和CM交于点P,延长ME和BC交于点Q。•・・ME〃8A,，——=——=—,——=^—f

FPCFBFFPME

BNQEBEBNy

'：AD//BC,:.——=^,..—=-----,得FN〃PM,故u/AFN=NP=/DME.

MNMEFPNM

(第12题图)

8级

12

i.

5

acCFCF

2.提示：延长F。交加于G,则△04G也△OCF,—=--

b-2cBGBE

3.2：1提示：过。作。G〃8c交于以于G,则AG:GC=2:3,CF:AF=2:3O

72IFFM

4.5：2提示：KD=-LF.DN=-EM,—=—

63AFAE

5.

6.B

+日一GEECBE

7.E提不：---=----=----

BEEAEF

8.提示：延长BF,CD交于点G。

相_AEADBFBC

9.提取：---=----AD+BC=2MN.

EPNP~FP~~NP'

BOOCODBOAOOD

10.提小:

PRPCPN、PMPAPS

11.(1)等式还成立.

，、111_,,.T/标1TBFD

(2)-----+------=------o卷H小：作BG_LAD于G,作DH_18c于H,则r.一.S皿RFn二——DE,一S皿二——BE，

SABDSBDCSBEDSabdDAS&)CBC

又竺=C£即”=空uqBED_CF