九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-第23章 解直角三角形全章复习与测试（解析版）

第23章解直角三角形全章复习与测试【知识梳理】一．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．三．同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA．四．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．五．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）七．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．十．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（）A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，AC＝＝＝5，所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．2．（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tanB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得BC＝＝4．tanB＝＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．二．锐角三角函数的增减性（共1小题）3．（2022秋•金安区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小【分析】设∠DCF＝∠DBE＝α，易知BE+CF＝BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα，∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC•cosα，∵∠ABC＝90°，∴O＜α＜90°，当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF＝BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．面积法：S△ABC＝•AD•CF+•AD•BE＝•AD（CF+BE），∴CF+BE＝，∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，∴CF+BE的值是逐渐减小．故选：C．【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF＝BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．三．同角三角函数的关系（共1小题）4．（2022秋•宣城月考）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于．【分析】根据cosA＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．【解答】解：∵cosA＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．∴tanA＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．四．互余两角三角函数的关系（共1小题）5．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝．【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝．故答案为：．【点评】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．五．特殊角的三角函数值（共8小题）6．（2023春•蚌埠月考）计算2sin30°的值为（）A．1 B． C．2 D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：2sin30°＝2×＝1，故选：A．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．7．（2022秋•蚌山区月考）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】求出∠A的正切值，根据特殊角的三角函数值，即可得解．【解答】解：∵，∠C＝90°，∴，∴∠A＝60°，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．8．（2022秋•蚌山区月考）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，tanB＝1，则∠C＝105°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得∠A＝30°，∠B＝45°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故答案为：105°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（2022秋•安徽期末）计算：2sin30°﹣1＝0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×﹣1＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．（2022秋•金安区校级月考）若tan（α+15°）＝且α是锐角，则tanα的值为1．【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案．【解答】解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握tan60°＝，tan45°＝1．11．（2022秋•宣城月考）计算：sin245°﹣6cos60°+2tan45°﹣2sin60°．【分析】先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，掌握特殊角锐角三角函数值是关键．12．（2022秋•天长市月考）计算：2sin60°﹣cos60°﹣sin30°•tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣﹣×1＝﹣﹣＝﹣1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．六．解直角三角形（共6小题）14．（2023•金寨县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，连接BD，若CD＝6，AD＝10，则tanA的值为（）A． B． C． D．【分析】根据垂直平分线的性质得出BD＝AD，再利用勾股定理求出BC的长，再利用正切的定义即可求解．【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点N，∴BD＝AD＝10，∵∠C＝90°，CD＝6，∴BC＝＝＝8，AC＝AD+CD＝10+6＝16，∴tanA＝＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出BD＝AD＝10，进而利用勾股定理求出BC的长是解决问题的关键．15．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AB⊥x轴，根据点A的坐标得到OA，再根据正弦的定义可得答案．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，∵点A坐标为（3，1），∴AB＝1，OB＝3，OA＝＝，∴sinα＝＝．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，由勾股定理得到OA的长度是解题关键．16．（2022秋•天长市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB＝．求AC的长及∠A的正切值．【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正切值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝＝，AB＝13，∴AC＝5．∴BC＝＝＝12．∴tanA＝＝．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．17．（2022秋•滁州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝6，求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD与BD的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC•sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tanB＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．18．（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的长；（2）求tan∠DBC的值．【分析】（1）根据AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13，可以求得BE的长，从而可以求得AE的长；（2）根据在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，可知AE、BD为△ABC的中线，从而可以利用重心定理得到EF的长，由AE⊥BC，从而可以得到tan∠DBC的值．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．∵，AB＝13，∴BE＝5．∵在Rt△BEA中，BE2+AE2＝AB2，∴．（2）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE是BC边上的中线．又∵BD是AC边上的中线，∴F是△ABC的重心．∵AE＝12，∴．∵Rt△BEF中，BE＝5，EF＝4，∴tan∠DBC＝．【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是明确直角三角形中边角的关系，知道重心定理．19．（2022秋•宣城月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N的坐标为（20，0），点M在第一象限内，且OM＝10，sin∠MON＝．（1）求点M的坐标．（2）求cos∠MON的值．【分析】（1）过点M作MP⊥ON，垂足为点P，根据已知条件得到MP＝6，由勾股定理得到OP＝，于是得到点M的坐标是（8，6）；（2）由（1），知MP＝6，PN＝20﹣8＝12，根据勾股定理得到MN＝＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）过点M作MP⊥ON，垂足为点P，在Rt△MOP中，由sin∠MON＝，OM＝10，得，即MP＝6，由勾股定理，得OP＝，∴点M的坐标是（8，6）；（2）由（1），知MP＝6，PN＝20﹣8＝12，∴MN＝＝6，∴cos∠MON＝【点评】本题考查了解直角三角形，坐标于图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．七．解直角三角形的应用（共5小题）20．（2023•蒙城县三模）蒙城涡河五桥横跨涡河南北，为蒙改城标志建筑之一，图1是大桥的实物图，图2是建造大桥设计平面图一部分，平面图纸有桥护栏BG＝1.5米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为168m，两拉索顶端的距离AE＝48m，请求出立柱AH的长（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，≈1.7）．【分析】根据题意可得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，然后设CD＝xm，则BC＝（x+168）m，在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，设CD＝xm，∵BD＝168m，∴BC＝CD+BD＝（x+168）m，在Rt△ECD中，∠EDC＝60°，∴EC＝CD•tan60°＝x（m），∵AE＝48m，∴AC＝AE+CE＝（48+x）m，在Rt△ABC中，∠ABC＝26°，∴AC＝BC•tan26°≈0.5（x+168）m，∴48+x＝0.5（x+168），解得：x＝30，∴EC＝x＝30（m），∴AH＝AE+EC+CH＝48+30+1.5≈100.5（m），∴立柱AH的长约为100.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（2023•庐阳区校级模拟）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求该机器人的最高点F距地面AB的高度．（参考数据sin80°≈0.98，cos80°＝0.17，tan80°≈5.67）【分析】过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，分别解Rt△EHC，Rt△EMF，求出EH，FM的长，进而求出最高点F距地面AB的高度即可．【解答】解：过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，则：四边形EMNH为矩形，MN＝EH，EM＝HN，在Rt△EHC中，，∴EH≈98cm，∵∠EHC＝90°，∠HCE＝80°，∴∠CEH＝10°，∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°，∴，∴点F到CD的高度为MN+FM＝EH+FM≈113cm，∵矩形底座ABCD的高BC为30cm，∴点F到底面的高度约为113+30＝143cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．22．（2023•金寨县校级模拟）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B，C，测得∠α＝37°，∠β＝55°，量得BC的长为180m，求河的宽度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.80，cos55°≈0.60，tan55°≈1.40．结果精确到0.1m）【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan37°＝＝，进而得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β＝55°，∠ADC＝90°，∠α＝37°，BC＝180m，∴tan55°＝≈1.40，tan37°＝＝≈0.75，∴AD＝1.40CD，AD＝0.75（180+CD），∴AD≈290.8（m），答：河的宽度为290.8m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD＝1.40CD是解题的关键．23．（2023•安徽三模）如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB＝10cm，BC＝6cm，当AB，BC转动到∠ABC＝90°时，∠BCD＝37°时，求点A到CD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过点A作AE⊥CD，过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，构造矩形GEFB和直角△BCF、△AGB，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出BF、AG，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：过点A作AE⊥CD，交FC的延长线于点E．过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，垂足分别为G、F．∵AE⊥CD，BG⊥AE，BF⊥CD，∴四边形GEFB是矩形，GB∥ED．∴GE＝BF，∠GBC＝∠BCF＝37°．∴∠ABG＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣37°＝53°．在Rt△BCF中，∵sin∠BCD＝，∴GE＝BF＝sin∠BCD•BC≈0.6×6＝3.6（cm）．在Rt△BAG中，∠A＝90°﹣∠ABG＝90°﹣53°＝37°．∵cosA＝，∴AG＝cosA•AB≈0.8×10＝8（cm）．∴AE＝AG+GE＝8+3.6＝11.6（cm）．答：点A到CD的距离为11.6cm．【点评】本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．24．（2023•安徽模拟）如图，兰兰家沿着河岸圈出一片水域（即四边形ABCD）从事水产养殖，兰兰测得这片水域部分数据如下：AB＝60米，BC＝10米，∠DAB＝53.1°，∠ABC＝90°，D在C的西北方向，请你帮助兰兰求出这片水域的面积．（参考数据：sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan53.1°≈）​【分析】延长AD，与BC的延长线交于点E，再用△ABE的面积减去△CDE的面积即可．【解答】解：如图，延长AD，与BC的延长线交于点E，过点D作DG⊥BE于E，则BE＝AB•tan∠DAB＝60×tan53.1°≈60×＝80（米），∵∠DAB＝53.1°，∠ABC＝90°，∴∠E＝90°﹣∠DAB，∴tan∠E＝，设DG＝xm，则EG＝m，∵D在C的西北方向，∴CG＝DG＝xm，∴EC＝EG+CG＝＝80﹣10＝70，解得x＝30，即DG＝30m，∴这片水域的面积为：S△ABE﹣S△CDE＝AB•BE﹣CE•DG＝×60×80﹣×70×30＝135（m2）．【点评】本题考查了解直角三角形，正确作出辅助线，并求出DG的长是解答本题的关键．八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）25．（2022秋•天长市月考）某人沿着坡度为1：2的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（）A．100米 B．50米 C．50米 D．【分析】设此人所在的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出此人前进的水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设此人所在的位置升高了x米，∵斜坡的坡度为1：2，∴此人前进的水平距离为2x米，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（100）2，解得：x＝100（负值舍去），∴此人所在的位置升高了100米，故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．26．（2020秋•马鞍山期末）某水库大坝高20米，背水坡的坡度为1：，则背水坡的坡长为40米．【分析】由坡度＝垂直距离÷水平距离，可得水平距离为20米，根据勾股定理可得背水面的坡长．【解答】解：如图所示：∵大坝高DF为20米，背水坝的坡度为1：，∴水平距离CF＝20×＝20（米），根据勾股定理可得背水坡的坡长CD＝＝40（米），故答案为：40米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的概念是解题的关键．27．（2023•宿州模拟）如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，为改建成河道公园，改善居民生活环境，决定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，经测量获得如下数据：CM与水平面AN的距离为12m，坡面AB的长为10m，∠BAN＝15°，坡面BC与水平面的夹角为31°，降低BC坡度后，A、B、D三点在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，试求坡面AD的长和CD的长度．（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cos31°≈0.88，tan31°≈0.68，结果精确到0.1米）【分析】过点B作BE⊥AN于点E，过点D作DF⊥AN于点F，过点C作CG⊥AN于点G，过点B作BH⊥CG于点H，根据矩形的性质得到BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，求得CH＝DF﹣BE，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AN于点E，过点D作DF⊥AN于点F，过点C作CG⊥AN于点G，过点B作BH⊥CG于点H，，则四边形CDFG和四边形BEGH都是菱形，∴BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，∴CH＝DF﹣BE，根据题意知，DF＝12m，AB＝10m，在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，，，∴BE＝AB•sin∠BAE＝AB•sin15°≈10×0.26＝2.6（m），AE＝AB•cos∠BAE＝AB•cos15°≈10×0.97＝9.7（m），在Rt△ADF中，∠DAF＝15°，，，∴，，∴CH＝DF﹣BE＝12﹣2.6＝9.4（m），在Rt△BCH中，∠CBH＝31°，，∴，∴CD＝GF＝AF﹣AE﹣EG＝AF﹣AE﹣BH≈44.4﹣9.7﹣13.8＝20.9（m），答：坡面AD的长约为46.2m，CD的长约为20.9m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及正确作出辅助线是解题的关键．28．（2023春•庐江县月考）小亮和小强同时登青阳山，小亮从北坡山脚C处出发，以12米/分钟的速度攀登，小强从南坡山脚B处出发．如图，已知青阳山北坡的坡度i＝1：2，北坡长为120米，南坡的坡角是45°．问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A？（将山路AB，AC看成线段）【分析】过A作BC的垂线AD，在Rt△ACD中，可通过解直角三角形求出AD的长，进而在Rt△ABD中求出坡面AB的长得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．在Rt△ACD中，tanC＝i＝，设AD＝x，则CD＝2x，根据勾股定理得AD2+CD2＝AC2，即x，解得x＝120，∴AD＝120（米），在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AB＝＝240（米），240÷（120）＝240÷10＝24（米/分），答：小强以24米/分钟速度攀登才能和小亮同时到达山顶A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造出直角三角形；在两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解此类题的一般思路．29．（2023•蜀山区校级一模）如图所示，一梯子AC斜靠着墙OD，梯子与地面夹角为45°，若梯子底端A向右水平移动1.5m至点B，此时梯子顶端向上移动1m至点D，此时∠DBO＝58°，求OB长度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由题意可知△AOC是等腰直角三角形，所以OA＝OC，设OB＝x，则OA＝x+1.5，OD＝OC+CD＝x+2.5，在Rt△OBD中，利用tan58°＝即可解答．【解答】解：∵∠CAO＝45°，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OA＝OC，设OB＝x，∵AB＝1.5m，∴OA＝（x+1.5）m，∵CD＝1m，∴OD＝OC+CD＝（x+2.5）m，在Rt△OBD中，∵tan58°＝，∴≈1.6，解得x＝，即OB长度为m．【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各个锐角三角函数的定义并灵活运用．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）30．（2023春•桐城市月考）如图，在水平地面上有房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处屋顶C与树梢的仰角分别是45°与60°，∠DAC＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，BC＝5米，则DE的长是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】先解Rt△ABC求出米，再解Rt△ACD求出米，最后解Rt△ADE求出DE的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，BC＝5米，∴米，在Rt△ACD中，∠DCA＝90°，∠DAC＝60°，∴米，在Rt△ADE中，∠DEA＝90°，∠DAE＝60°，∴米，故选：C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键．31．（2023•安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，∴OA＝sin∠ORA×AR＝sin24.2°×40≈16.4（m），OR＝cos24.2°×40≈36.4（m），在Rt△BOR中，OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），∴AB＝OB﹣OA＝27.3﹣16.4＝10.9（m），答：无人机上升高度AB约为10.9m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．32．（2023•蜀山区校级三模）某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度作为一次课外课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测量示意图、测得结果如下：站在与墙垂直的笔直小路上的点D利用测角仪（测角仪高度0.5米）测得窗户顶端A的仰角为63°，站在点C利用测角仪测得窗户底端B的仰角为48°，并用卷尺测得OD＝2米，CD＝0.5米，请你根据方案提供的示意图及相关数据计算窗户高度AB．（结果精确到0.1米．（参考数据：tan48°≈1.20，tan63°≈1.96，sin48°≈0.74，sin63°≈0.89）​【分析】分别在Rt△AFE和Rt△BNE中求出AE和BE，再利用线段的差即可求出AB．【解答】解：补上解题需要的相关字母如图，由题意，知△AFE和△BNE都是Rt△，EF＝OD＝2米，EN＝OC＝OD+CD＝2+0.5＝2.5（米），OE＝FD＝NC＝0.5米，∠AFE＝63°，∠BNE＝48°，在Rt△AFE中，∵tan∠AFE＝，∴AE＝EF•tan∠AFE＝2•tan63°≈2×1.96＝3.92（米），在Rt△BNE中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝2.5•tan48°≈2×1.20＝2.40（米），∴AB＝AE﹣BE＝3.92﹣2.40＝1.52≈1.5（米），答：窗户高度AB约为1.5米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，在所给的直角三角形中利用三角函数关系是解题的关键．33．（2023•蜀山区三模）如图，某地需要经过一座山的两侧D，E修建一条穿山隧道，工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶F处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为30°，C处的俯角为45°，经测量AB＝1.4千米，BD＝0.2千米，CE＝0.5千米，求隧道DE的长．（结果精确到0.1，，）【分析】过点F作FG⊥BC、垂足为G，先利用特殊三角形的性质和边角关系求出FG，BG，CG，再利用线段的和差即可求出DE．【解答】解：由题意，得∠A＝15°，∠FDB＝30°，∠C＝45°，过点F作FG⊥BC、垂足为G，∵∠A＝15°，∠FDB＝30°，∴∠AFB＝15°，∴∠AFB＝∠A，∴AB＝BF＝1.4千米，在Rt△BFG中，∵∠FBD＝30°，∴千米，千米，在Rt△CFG中，∵∠FCG＝45°，∴FG＝GC＝0.7千米，∴（千米），∴（千米），答：隧道DE的长为1.2千米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题涉及等腰三角形的判定和性质，三角函数定义，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）34．（2023•芜湖一模）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB∥CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在C的北偏东方向，在点D的北偏东48°方向，BC＝780米，求空地南北边界AB和CD的长（结果保留整数，参考数据约：tan48°＝1.1，tan58°＝1.6）．​【分析】由题意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE＝BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，过D作于DE⊥AB于点E，∵AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDE为矩形，∴DE＝BC＝780米，在Rt△ABC中，，∵BC＝780米，tan58°≈1.6，∴AB≈780×1.6＝1248（米），在Rt△ADE中，，∵DE＝BC＝780米，tan48°≈1.1，∴AE≈780×1.1＝858（米），∴CD≈1248﹣858＝390（米），答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．35．（2023•安徽模拟）如图，在小岛A处测得北偏西48°的方位上有一小岛B，并测得其北偏东42°方位上有一轮船，同时在小岛B处测得轮船S在其北偏东87°方位上，已知小岛A到小岛B所在的东西方向的距离AD是20海里，求小岛B到轮船S之间的距离BS．（精确到1海里）（参考答案：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【分析】根据题意可得：BD⊥AD，AC∥BD，从而可得∠ABD＝∠BAC＝48°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再利用平角定义求出∠ABS＝45°，利用角的和差关系求出∠BAS＝90°，最后在Rt△ABS中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：BD⊥AD，AC∥BD，∴∠ABD＝∠BAC＝48°，在Rt△ABD中，AD＝20海里，∴AB＝≈≈27.0（海里），∵∠EBS＝87°，∴∠ABS＝180°﹣∠ABD﹣∠EBS＝45°，∵∠CAS＝42°，∴∠BAS＝∠BAC+∠CAS＝90°，在Rt△ABS中，BS＝＝≈38（海里），∴小岛B到轮船S之间的距离BS约为38海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．36．（2023•安徽二模）两巡逻艇上午9时同时从码头A出发，甲巡逻艇沿正北方向航行，每小时20海里，乙巡逻艇沿北偏东30°方向航行，两小时后，乙巡逻艇发现航行方向上C处有救援任务，向甲巡逻艇呼救，甲巡逻艇发现救援点C在其北偏东67°方向上，立刻以每小时40海里的速度前往救援，求甲巡逻艇从B处到达救援点C需要多少时间？（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】过B作HH⊥AC于H，由题意得，AB＝20×2＝40（海里），∠A＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作HH⊥AC于H，由题意得，AB＝20×2＝40（海里），∠A＝30°，∴（海里），∵∠CBD＝∠A+∠C＝67°，∴∠C＝37°，∴BC＝＝（海里），∴甲巡逻艇从B处到达救援点C需要＝（小时）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．37．（2023•蜀山区二模）我国北斗导航装备极大的方便了航海时轮船的定位．如图，一货轮由A地出发，去往B地，当货轮在A地时，导航显示货轮北偏东45°（即∠CAD＝45°）方向上有海岛C，货轮由A地沿正东方向航行海里到达B地，此时导航显示海岛C在货轮的北偏东15°（即∠CBE＝15°）方向上，求B地与海岛C之间的距离BC．【分析】过点B作BF⊥AC于点F，在Rt△ABF中，求出AF＝BF＝40，进而在Rt△CBF中求出CF即可解答．【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，∵∠CAD＝45°，∴∠ABF＝∠FBE＝45°，∴AF＝BF，∵∠CBE＝15°，∴∠CBF＝60°，在Rt△ABF中，AB＝40海里，∴BF＝sin45°•AB＝×＝40（海里），在Rt△CBF中，CB＝＝80（海里），答：B地与海岛C之间的距离BC约为80海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形．【过关检测】一、单选题1．把三角形三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的C．不变 D．不能确定【答案】C【分析】用边长等比例的变化，边长的比值不变解答．【详解】∵△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小没改变，边长等比例的变化，边长的比不变，∴锐角A的正弦函数值也不变.故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．2．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．3．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】∵，∴，∴，，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义．4．汽车在沿坡比为的斜坡上前进150米，则汽车上升的高度为（

）A．75米 B．米 C．米 D．150米【答案】A【分析】首先根据题意作图，然后根据汽车在沿坡比为的斜坡上前进，即可求出∠B的度数，再根据在直角三角形中，30°所对的斜边等于直角边的2倍即可得到答案．【详解】解：根据题意作图，∵汽车在沿坡比为的斜坡上前进，∴AE∶AB=，∴，∴∠B=30°，在直角三角形ABE中，（米），故选A．【点睛】本题主要考查了坡角坡度问题，涉及的知识点有含30°角的直角三角形的性质、特殊三角函数值，解题的关键是能正确画出辅助图．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【答案】D【详解】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．在中，,，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意先画出图形，过A点作AD⊥BC交BC于点D，根据等腰三角形的性质求出BD，再根据勾股定理求出AD，最后根据∠B的正切值是，代入计算即可．【详解】解：如图：过A点作AD⊥BC交BC于点D，∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=CD=4，∴，∴；故选：D．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．7．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（

）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【详解】解：∵sinA＝，∴A=45°．故选C．8．已知一堤坝的坡度，堤坝的高度为米，则堤坝的斜坡长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】先求出夹角，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.【详解】坡度=夹角为堤坝的斜坡长=堤坝的高度==故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键.9．（2023秋·九年级单元测试）在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分别解，，求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，，在中，，在中，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确计算是解题的关键．10．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为.已知冬至时某地的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形，可用含a的式子表示出BC的长，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为，．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，熟记知识点是解此题的关键．二、填空题11．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________．【答案】【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度．【详解】故答案为：．【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．12．计算：tan60°sin60°﹣cos245°＝__．【答案】1．【分析】根据特殊角的三角函数值化简即可求解．【详解】解：tan60°sin60°﹣cos245°＝﹣（）2＝﹣＝1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．13．（2023秋·九年级单元测试）在中，，，则的值为______.【答案】【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，，设，则，∴，∴

故答案为：．【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．14．（2023秋·九年级单元测试）如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是_____．

【答案】【分析】过点作于点，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】解：过点作于点，

根据题意得：，，，，，在中，船到海岸线的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．三、解答题15．（2023秋·九年级单元测试）计算【答案】+1【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．（2023秋·九年级单元测试）如图，是的高，，求的长．【答案】【分析】在直角三角形ACD中，根据边角关系先求出AD，再在直角三角形ABD中，求出AB的长．【详解】解：在Rt△ACD中，sinC＝，∵sinC＝，AC＝10，∴，∴AD＝6．在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，∴AB＝．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．17．（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为，∠B为，边的长为2m，BC边上露出部分的长为m，求铁板边被掩埋部分的长.（结果精确到m，，）【答案】米【分析】首先根据三角函数求得的长，然后根据即可求解．【详解】解：由题意可知：三角形ABC是直角三角形，则在直角三角形中，，，．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得的长是解题关键．18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，CM＝BC•cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长．19．如图，▱ABCD中，连接AC，