2024秋高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课时作业含解析新人教A版选修2-2

PAGE7-其次章2.12.1.2请同学们仔细完成练案[15]A级基础巩固一、选择题1．(2024·岳麓区校级期末)利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的图象关于坐标原点对称，那么，这个三段论的小前提是(C)A．f(x)是增函数 B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数[解析]利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的图象关于坐标原点对称，大前提：奇函数的图象关于坐标原点对称，小前提：函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)是奇函数，结论：函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的图象关于坐标原点对称，故小前提是：函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)是奇函数，故选C．2．关于演绎推理的说法正确的是(C)A．演绎推理是由一般到一般的推理B．只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确C．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的状况下，得到的结论肯定正确D．演绎推理不能用于命题的证明[解析]演绎推理是由一般到特别的推理，是一种必定性的推理，故A不正确；演绎推理得到的结论不肯定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B不正确；演绎推理的一般模式是”三段论”形式，即大前提、小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的状况下，得到的结论肯定正确，故C正确；演绎推理可以用于命题的证明，故D不正确．综上，C是正确的．故选C．3．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预料：甲说：丙或丁竞选胜利乙说：甲和丁均未竞选上丙说：丁竞选胜利丁说：丙竞选胜利．若这四人中有且只有2人说的话正确，则胜利竞选学生会主席职位的是(D)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，乙正确，不满意条件．若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满意条件．若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满意条件．若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满意条件．故选D．4．正切函数是奇函数，f(x)＝tan(x2＋2)是正切函数，因此f(x)＝tan(x2＋2)是奇函数，以上推理(C)A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．以上均不正确[解析]大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：f(x)＝tan(x2＋2)是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f(x)＝tan(x2＋2)是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确．5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满意增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满意增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(A)A．①④ B．②④C．①③ D．②③[解析]依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满意增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．6．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(C)A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．二、填空题7．(2024·江阴市期中)三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__②__.(填写序号)[解析]推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③正方形是平行四边形．”中大前提：矩形是平行四边形；小前提：正方形是矩形；结论：所以正方形是平行四边形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案为②.8.1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,33)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)……照此规律，第五个不等式为__1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)__.[解析]照此规律，第n个式子为1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1,n＋1)，第五个为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).三、解答题9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线相互平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[解析](1)平行四边形的对角线相互平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线相互平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论10．设m为实数，利用三段论证明：方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．[解析]因为假如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4a那么方程有两个相异实根．(大前提)Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．(结论)B级素养提升一、选择题1．(多选题)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中，下列说法错误的是(BCD)A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误[解析]∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选BCD．2．(多选题)下面几种推理过程不是演绎推理的是(BCD)A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发觉中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也隐藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式[解析]选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．故选BCD．二、填空题3．关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④当－1<x<0或x>1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中全部正确结论的序号是__①③④__.[解析]明显f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．当x>0时，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lg(x＋eq\f(1,x))．设g(x)＝x＋eq\f(1,x)，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f(x)min＝f(1)＝lg2.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．4．某次高二英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲CCBBA4乙CAABC3丙ACCBC2则甲同学答错的题目的题号是__5__；此题正确的选项是__A__.[解析]由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，若甲第1题答错，则其他均答对，会导致乙235题错，这样乙就没有3分，故不行能；若甲第2题答错，则其他均答对，会导致丙1235题错，这样丙就没有2分，故不行能；若甲第3题答错，则其他均答对，会导致乙25题错，3题对，丙135题错，故符合题意；若甲第4题答错，则其他均答对，会导致丙1234题错，这样丙就没有2分，故不行能；若甲第5题答错，则其他均答对，会导致乙12题错，5题对，丙1235题错，这样丙就没有2分，故不行能．三、解答题5．设f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，(其中a＞0，且a≠1)(1)请将g(5)用f(3)g(2)，g(3)f(2)来表示；(2)假如(1)中获得了一个结论，请你推想能否将其推广．[解析](1)由题意得：g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)又f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＝eq\f(a5－a－5,2)∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)推想：g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)证明：因为f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)所以g(x＋y)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)，g(y)＝eq\f(ay－a－y,2)，f(y)＝eq\f(ay＋a－y,2)所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq\f(ax＋a－x,2)·eq\f(ay－a－y,2)＋eq\f(ax－x－x,2)·eq\f(ay＋a－y,2)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)＝g(x＋y)可知g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)可以推广．6．用三段论证明并指出每一步推理的大小前提．如