2024秋新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用分层演练含解析新人教A版必修第一册

基本不等式的应用分层演练综合提升A级基础巩固1.当x>0时,f(x)=2xx2+1A.12 B.1 C.2答案:B2.若x>0,则函数y=-x-1x (A.有最大值-2 B.有最小值-2C.有最大值2 D.有最小值2答案:A3.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是 ()A.30m B.36m C.40m D.50m答案:C4.若实数x,y满意xy=1,则x2+2y2的最小值为22.5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;(2)设x>-1,求函数y=x+4x+1解:(1)因为x>0,y>0,所以x+2y≥22xy即8≥22xy两边平方整理,得xy≤8,当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.(2)因为x>-1,所以x+1>0.所以y=x+4x+1+6=x+1+2(x当且仅当x+1=4x+1,即所以当x=1时,原函数有最小值9.B级实力提升6.若正实数x,y满意1x+4y=1,且x+y4>a-3恒成立,则实数a的取值范围为解析:由题意,知x+y4=(x+y4)(1x+4xy+因为x>0,y>0,所以4xy>0,所以4xy+y4x≥24x4x=y时取等号,所以x+y4≥4,所以a-3<4,解得a<77.设a,b为正实数,且1a+1b=2(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.解:(1)由22=1a+1b≥21ab,得ab当且仅当a=b=22时取等号故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=22时取等号所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=22取得最小值(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得(1a-即(1a+1b)2-4ab又因为ab+1ab≥2,当且仅当ab所以ab+1ab=2,所以ab=18.某市打算建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2000m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1m,中间的两个小矩形完全相同.(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.解:(1)因为矩形广场的总面积为2000m2,所以xy=2000,即y=2因为2a+2=y,所以2a=y-2=2所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1000x2005-(5000x+2x),3<(2)S=2005-(5000x+2x)≤2005-2当且仅当2x=5000x,即x=50时,等号成立,此时SC级挑战创新9.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是 ()A.(4,1) B.(8,6) C.(10,8) D.3,12解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,则有a+b=12l,ab=S,所以lS≥4.对于选项A,41=4;对于选项B,86<84=4;对于选项C,108=532>4.因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.答案:AD10.多空题已知a>0,b>0,假如ab=1,那么a+b的最小值为2;假如a+b=1,那么ab的最大值为14解析:因为a>0,b>0,所