2024秋高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-1.4生活中的优化问题举例自主预习·探新知情景引入“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献．”闻名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？已知落在底面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，你能找出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低吗？新知导学1．在解决实际优化问题中，不仅要留意将问题中涉及的变量关系用函数关系式赐予表示，还应确定函数关系式中__自变量__的取值范围．2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是__最值__.3．解决优化问题的基本思路：预习自测1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(C)A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件[解析]∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C．2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(C)A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[解析]如图，设底面边长为x(x>0)，则底面积S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因为S表只有一个极值，故x＝eq\r(3,4V)为最小值点．3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__144__cm3.[解析]设小正方形边长为x，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝eq\f(20,3)(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.4．一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于视察者的眼睛1.8m，要使视察者视察得最清楚，他与墙的距离应为(视角最大时最清楚，视角是指视察图片上底的视线与视察图片下底的视线所夹的角)__2.4_m__.[解析]如图所示，设OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，α为视角，则α＝γ－β，tanγ＝eq\f(3.2,x)，tanβ＝eq\f(1.8,x)，tanα＝tan(γ－β)＝eq\f(tanγ－tanβ,1＋tanγtanβ)＝eq\f(\f(3.2,x)－\f(1.8,x),1＋\f(3.2×1.8,x2))＝eq\f(1.4x,x2＋5.76)(x>0)，令(tanα)′＝eq\f(1.4x2＋5.76－2x×1.4x,x2＋5.762)＝0，解得x＝2.4或x＝－2.4(舍去)，在x＝2.4旁边，导数值由正到负，所以在x＝2.4时，tanα取得最大值，α也取得最大值．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶面积、容积最大问题典例1有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？[思路分析]设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，依据题意列出关系式，然后利用导数求最值．[解析]设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).实际问题归结为求V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．当0<x<x1时，V′(x)>0；当x1<x<eq\f(a,2)时，V′(x)<0.因此x1是极大值点，且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，x1是唯一的极值点，所以x＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为eq\f(1,6)a时，容积最大．『规律总结』面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最终检验．┃┃跟踪练习1__■请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形态的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析]设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).命题方向❷平面几何中的最值问题典例2(1)如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于O，射线OC从OA动身围着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是下图中的(A)(2)在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为__eq\f(3R,2)__时，它的面积最大．[解析](1)由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sinx，其导数为f′(x)＝2－2cosx，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以解除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以解除D．故选A．(2)设∠OBC＝θ，则0<θ<eq\f(π,2).OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.令S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0∴cos2θ＝sinθ，∴sinθ＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,6)，即当θ＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3R,2).『规律总结』1.利用导数解决优化问题的基本思路2．关于平面图形中的最值问题平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要探讨与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．┃┃跟踪练习2__■已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．[解析]设AD＝2x(0<x<2)，则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，所以矩形面积为S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2,\r(3))，x2＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)．当0<x<eq\f(2,\r(3))时，S′>0；当eq\f(2,\r(3))<x<2时，S′<0，所以，当x＝eq\f(2,\r(3))时，S取得最大值，此时S最大值＝eq\f(32\r(3),9).即矩形的长和宽分别为eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3)时，矩形的面积最大．命题方向❸实际生活中的最值问题角度1：用料最省费用最少问题典例3为了在夏季降温柔冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙须要建立隔热层．某幢建筑物要建立可运用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建立成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满意关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路分析]代入数据求k的值，建立费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．[解析](1)设隔热层厚度xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8得k＝40，故C(x)＝eq\f(40,3x＋5)(0≤x≤10)；又x厘米厚的隔热层建立费用为6x，所以由题意f(x)＝eq\f(40,3x＋5)×20＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)＝eq\f(54x＋\f(25,3)x－5,3x＋52).令f′(x)＝0，得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)，当x∈(0,5)时，f′(x)<0，当x∈(5,10)时，f′(x)>0，故x＝5时，f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元．角度2：利润最大问题典例4某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．[思路分析]依据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．[解析]每月生产x吨时的利润为f(x)＝(24200－eq\f(1,5)x2)x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．『规律总结』解决优化问题时应留意的问题(1)列函数解析式时，留意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．假如函数在给定区间内只有一个极值点，则依据实际意义推断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．┃┃跟踪练习3__■(2024·海口高二检测)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现打算在该厂旁边建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的费用与宿舍到工厂距离有关．若建立宿舍的全部费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．为了交通便利，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费eq\f(1,2)(x2＋25)万元．设f(x)为建立宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．[解析](1)f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)整理得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,x＋52)＝eq\f(x＋53－1000,x＋52)由f′(x)≥0得x≥5；所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增；故当x＝5时，f(x)取得最小值150.综上所述，宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元．学科核心素养利用基本不等式处理优化问题在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解决此类问题中有广泛的应用．利用基本不等式求最值时，必需留意运用的前提以及等号成立的条件成立，否则易犯错误，留意f′(x0)＝0的x0是否在定义域内，从而进行分类探讨．典例5某船由甲地逆水行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，问：船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？[解析]设船在静水中的航行速度为xkm/h，全程的燃料费用为y元，由题设可得y＝eq\f(s,x－a)·kx2，x∈(a，b]．∴y＝ks·eq\f(x2,x－a)＝ks·eq\f(x－a2＋2ax－a＋a2,x－a)＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]．当2a≤b时，y＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]≥ks(2eq\r(a2)＋2a)，当且仅当x＝2a时，ymin＝4aks当2a>b时，令t＝x－a，则t∈(0，b－a∴y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)，∴y′＝ks(1－eq\f(a2,t2))＝kseq\f(t－at＋a,t2).令0<t≤b－a，∴－a<t－a≤b－2a∴y′<0，即y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)在(0，b－a]上是递减的，∴当t＝b－a，即x＝b时，ymin＝ksb2eq\f(1,b－a).综上可知，当b<2a时，船在静水中的速度为b当b≥2a时，船在静水中的速度为2┃┃跟踪练习4__■已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x>10.))(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[解析](1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10，当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x，∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－10，0<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7x，x>10.))(2)①当0<x≤10时，由W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9.当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0，∴当x＝9时，W取得最大值，即Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－(eq\f(1000,3x)＋2.7x)≤98－2eq\r(\f(1000,3x)×2.7x)＝38，当且仅当eq\f(1000,3x)＝2.7x，即x＝eq\f(100,9)时，W取得最大值38.综合①②知：当x＝9时，W取得最大值为38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大．易混易错警示含参数的函数求最值时，留意极值与参数取值的关系典例6甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本