2024秋高中数学第一章导数及其应用章末复习课达标练习含解析新人教A版选修2-2

PAGE11-章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．留意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线．2．导数公式与导数的四则运算法则：(1)要留意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1中，n∈N＋，若n∈Q且n≠0，则应有x＞0；(2)留意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.还要特殊留意(uv)′≠u′v′，(eq\f(u,v))′≠eq\f(u′,v′).3．利用导数探讨函数的单调性需留意以下几个问题：(1)留意定义域优先原则，必需在函数的定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)；(2)在对函数划分单调区间时，除了必需确定使导数等于0的点外，还要留意函数的不连续点或不行导点；(3)留意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．4．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．5．探讨含参数的函数的单调性时，必需留意分类探讨．6．极值与最值的区分和联系：(1)函数的极值不肯定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性；(2)假如连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，微小值就是最小值；(3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不肯定是极值点；(4)极值是一个局部概念，极大值不肯定比微小值大．7．导数的实际应用：(1)在求实际问题的最大(小)值时，肯定要留意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，假如函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．8．应用定积分求平面图形的面积时，要特殊留意面积值应为正值，故应区分积分值为正和为负的情形．专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何学问交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．[例1]已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．解：(1)因为P(2，4)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y－eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，所以切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，所以xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x1，y1)，则切线的斜率k＝xeq\o\al(2,1)＝4，得x0＝±2.所以切点为(2，4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3)))，所以切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋eq\f(4,3)＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.归纳升华(1)解决此类问题肯定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不肯定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不肯定正确．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解：(1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，所以直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又因为直线l过点(0，0)，所以0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，所以x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．专题二导数在探讨函数单调性中的应用利用导数的符号推断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在探讨曲线改变规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要留意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．[例2](2024·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝2e＋2，,f′（2）＝e－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ea－2＋2b＝2e＋2，,－ea－2＋b＝e－1.))解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．归纳升华利用导数探讨函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)探讨函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx(k≠0)，令f′(x)＝0得x＝－eq\f(1,k)(k≠0)．若k>0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,k)))时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，＋∞))时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；若k<0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,k)))时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，＋∞))时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．(2)由(1)知，若k>0时，则当且仅当－eq\f(1,k)≤－1，即k≤1，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．若k<0时，则当且仅当－eq\f(1,k)≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f(x)在(－1，1)上单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．[例❸]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取微小值，当x＝eq\f(2,3)时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.又x＝－1，x＝eq\f(2,3)分别对应函数取得微小值、极大值的状况，所以－1，eq\f(2,3)为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．所以a＝－eq\f(1,2)，b＝2，则f(x)＝－x3－eq\f(1,2)x2＋2x.x＝－2时，f(x)＝2，即(－2，2)在曲线上．又切线斜率为k＝f′(x)＝－3x2－x＋2，f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.(2)x在改变时，f′(x)及f(x)的改变状况如下表：x－2(－2，－1)－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)—0＋0—f(x)2↘－eq\f(3,2)↗eq\f(22,27)↘eq\f(1,2)则f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－eq\f(3,2).归纳升华(1)运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是微小值，可不再作推断，只须要干脆与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[变式训练](2024·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得微小值，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[2ax－(4a＋1)]ex＋[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(1,2)，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得微小值．若a≤eq\f(1,2)，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤eq\f(1,2)x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的微小值点．综上可知，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).专题四导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．[例4]已知函数f(x)＝lnx－eq\f(（x－1）2,2).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1.(1)解：f′(x)＝eq\f(1,x)－x＋1＝eq\f(－x2＋x＋1,x)，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＞0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－x2＋x＋1＞0，))解得0＜x＜eq\f(1＋\r(5),2).故f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(5),2))).(2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．则有F′(x)＝eq\f(1－x2,x).当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0，即当x＞1时，f(x)＜x－1.归纳升华本题中，证明当x＞1时，f(x)＜x－1.只需构造函数F(x)＝f(x)－(x－1)，证明函数F(x)在[1，＋∞)上单调递减即可．一般地，假如证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[变式训练](2024·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－eq\f(1,x).由题设知，f′(2)＝0，所以a＝eq\f(1,2e2).从而f(x)＝eq\f(1,2e2)ex－lnx－1，f′(x)＝eq\f(1,2e2)ex－eq\f(1,x).当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥eq\f(ex,e)－lnx－1.设g(x)＝eq\f(ex,e)－lnx－1，则g′(x)＝eq\f(ex,e)－eq\f(1,x).当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．[例5]已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为eq\f(4,3)，求a的值．解：作出y＝x2－2x的图象如图所示．(1)当a＜0时，S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,a)(x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－x2))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(0,a)＝－eq\f(a3,3)＋a2＝eq\f(4,3)，所以(a＋1)(a－2)2＝0，因为a＜0，所以a＝－1.(2)当a＞0时，①若0＜a≤2，则S＝－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(a,0)(x2－2x)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－x2))|eq\o\al(a,0)＝a2－eq\f(a3,3)＝eq\f(4,3)，所以a3－3a2＋4＝0，即(a＋1)(a－2)2＝0.因为a＞0，所以a＝2.②当a＞2时，不合题意．综上a＝－1或a＝2.归纳升华(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就须要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，留意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先依据物理学问得出被积函数，再确定时间段，最终用求定积分方法求出结果．[变式训练](1)若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx＝____；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a＞0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为eq\f(8\r(2),3)，则a＝____．解析：(1)因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(x)，所以f′(1)＝3＋2f′(1)，所以f′(1)＝－3，所以eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x4＋\f(1,3)x3f′（1）))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝－4.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝a))可得A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，S＝(a－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(a)－\f(1,3)a\r(a)))＝eq\f(4a\s\up13(\f(3,2)),3)＝eq\f(8\r(2),3)，解得a＝2.答案：(1)－4(2)2专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．[例6]设f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数．(1)当a＝eq\f(4,3)时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝ex·eq\f(1＋ax2－2ax