2024秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE8-第三章3.13.1.13.1.2请同学们仔细完成练案[20]A级基础巩固一、选择题1．空间随意四个点A、B、C、D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于(D)A．eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]解法一：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．已知空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))，则下列结论正确的是(B)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))[解析]依据向量加减法运算可得B正确．3．(2024－2024学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的全部非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是(B)A．一个球 B．一个圆C．半圆 D．一个点[解析]平行于同一平面的全部非零向量是共面对量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的全部非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．4．如图所示，已知A、B、C三点不共线，P为平面ABC内肯定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的为(C)A．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]依据A、B、C、P四点共面的条件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).由图知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则(D)A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．(2024·福建泉州市一般中学质量检测)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，N是A1B的中点，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CN,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,2)(a＋b－c) B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a＋b＋eq\f(1,2)c D．a＋eq\f(1,2)(b＋c)[解析]本小题主要考查解空间向量的运算，若AB中点为D，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，故选B．二、填空题7．化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝__0__.[解析]解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.解法二：(利用向量的减法运算法则求解)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝__eq\f(7,6)__.[解析]如图所示，有eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→)).又∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,2y＝1,3z＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(1,2),z＝－\f(1,3))).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).三、解答题9．如图所示，在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(D′A′,\s\up6(→))＋eq\o(D′D,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→)).[解析](1)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).10．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE：EC′＝1：2，点F、G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x、y、z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AE：EC′＝1：2，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F为B′D′的中点，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.B级素养提升一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于(D)A．0 B．3C．2＋eq\r(2) D．2eq\r(2)[解析]利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(A)A．eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c B．a＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c[解析]eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c，故选A．3．(多选题)下列命题中假命题的是(ABD)A．将空间中全部的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B．若空间向量a、b满意|a|＝|b|，则a＝bC．若空间向量m、n、p满意m＝n，n＝p，则m＝pD．空间中随意两个单位向量必相等[解析]A．假命题．将空间中全部的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．B．假命题．依据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不肯定相同．C．真命题．向量的相等满意递推规律．D．假命题．空间中随意两个单位向量模长均为1，但方向不肯定相同，所以不肯定相等，故④错．4．(多选题)设{a，b，c}是空间的一个基底，则下列说法正确的是(BCD)A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．a，b，c两两共面，但a，b，c不行能共面C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zcD．{a＋b，b＋c，c＋a}肯定能构成空间的一个基底[解析]对于A选项，b与a，c都垂直，a，c夹角不肯定是eq\f(π,2)，所以A选项错误．对于B选项，依据基底的概念可知a，b，c两两共面，但a，b，c不行能共面，B选项正确．对于C选项，依据空间向量的基本定理可知，C选项正确．对于D选项，由于a，b，c是空间一个基底，所以a，b，c不共面．假设a＋b，b＋c，c＋a共面，设a＋b＝x(b＋c)＋y·(c＋a)，化简得(x＋y)c＝(1－y)a＋(1－x)b，所以a，b，c共面，这与已知冲突，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，可以作为基底．所以D选项正确．故选BCD．二、填空题5．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).正确的是__①②③④__.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正确；③明显正确；∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴④正确．6．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM：MC＝2：1，N为PD中点，则满意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x＝__－eq\f(2,3)__，y＝__－eq\f(1,6)__，z＝__eq\f(1,6)__.[解析]在PD上取一点F，使PF：FD＝2：1，连接MF，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答题7．已知三个向量a、b、c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p、[解析]假设存在实数λ、μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1,－3λ＋18μ＝1,－5λ＋22μ＝－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,3),μ＝\f(1,3))).即存在实数λ＝eq\f(5,3)，μ＝eq\f(1,3)，使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．8．如图所