2024秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示达标练习含解析新人教A版选修2-1

PAGE5-空间向量的正交分解及其坐标表示A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任何三个不共面的向量都可构成空间的一个单位正交基底B．不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C．单位正交基底中的基向量的模为1，且相互垂直D．不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析：因为单位正交基底中的三个向量必需是模等于1，且两两相互垂直．故只有C正确.答案：C2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12，14，10) B．(10，12，14)C．(14，12，10) D．(4，3，2)解析：eq\o(OA,\s\up14(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.答案：A3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：在空间坐标系中，点P关于x轴的对称点横坐标不变，其余坐标为原来的相反数．答案：B4.如图所示，在四面体O-ABC中，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：连接ON，eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(ON,\s\up14(→))－eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B5．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.eq\o(OA,\s\up14(→)) B.eq\o(OB,\s\up14(→)) C.eq\o(OC,\s\up14(→)) D.eq\o(OA,\s\up14(→))或eq\o(OB,\s\up14(→))答案：C二、填空题6．已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1，3，4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．答案：(2，－1，4)7.如图所示，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))分别记为a，b，c，则eq\o(OG,\s\up14(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：如图所示，连接OE.eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\o(OE,\s\up14(→))＋eq\o(EG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(EA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))－eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c8．三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BP,\s\up14(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up14(→))的坐标为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系．eq\o(BA,\s\up14(→))＝(1，0，0)，eq\o(BP,\s\up14(→))＝(0，0，1)，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(0，1，0)．eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\o(BN,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up14(→))，即eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))三、解答题9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．解：M(1，－2，3)关于坐标平面xOy，xOz，yOz对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)关于x轴、y轴、z轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．10．如图所示，四棱锥P-OABC的底面为一平行四边形，设eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OC,\s\up14(→))＝b，eq\o(OP,\s\up14(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用向量a，b，c表示eq\o(BF,\s\up14(→))，eq\o(BE,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→)).解析：eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CE,\s\up14(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up14(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→))＋eq\o(PE,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a.B级实力提升1．若向量eq\o(MA,\s\up14(→))，eq\o(MB,\s\up14(→))，eq\o(MC,\s\up14(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up14(→))，eq\o(MB,\s\up14(→))，eq\o(MC,\s\up14(→))成为空间一组基底的关系是()A.eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up14(→))B.eq\o(MA,\s\up14(→))＝eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→))C.eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))D.eq\o(MA,\s\up14(→))＝2eq\o(MB,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→))答案：C2．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出访其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．解析：构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．答案：③④⑤3．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥平面α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与平面α所成的角为30°，求CD的长．解析：由AC⊥平面α，可知AC⊥AB，如图所示，过点D作DD1⊥平面α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与平面α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°.因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，所以〈eq\o(CA,\s\up14(→))，eq\o(DB,\s\up14(→))〉＝60°，所以〈eq\o(CA,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))〉＝120°.又eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))，所以|eq\o(CD,\s\up14(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))2＝|eq\o(CA,\s\up14(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up14(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＋2eq\o(CA,\s\up14(→))·eq\o(BD,\s\up14(→))＋2eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BD,\s\up14(→)).因为BD⊥A