第11讲 三角形内角和 （教师版）

第11讲三角形内角和（教师版）一、第11讲三角形内角和1.如图，四边形ABCD为任意的四边形，求它的内角和．【答案】解：连结AC，四边形ABCD就划分成两个三角形，即ABC与ACD，

∴四边形ABCD的内角和就等于两个三角形内角和；

∵一个三角形的内角和为180°，

∴四边形的内角和为180°×2=360°．

【解析】【分析】本题通过连结AC，把一个四边形划分成两个三角形，这种方法可以推广，即一般地，要求n边形的内角和，可从它的一个顶点A1出发，连结A1A3，A1A4，…，A1An，将这个n边形划分成n-2个三角形．因此n边形的内角和为：180°×(n-2)(如图).

这个式子可以作为一个公式来用．如求100边形的内角和，则由上面的公式，得出它的内角和为：180°×(100-2)=17640°．2.求证：三角形的外角和等于360°．一般地，n边形的外角和等于360°【答案】证明：如图，

△ABC中，∠1、∠2∠3为三个内角，∠4、∠5、∠6为三个外角，我们有，

∠1＋∠4=180°，

∠2＋∠5=180°，

∠3＋∠6=180°．

所以∠4＋∠5＋∠6=3×180°-(∠1＋∠2＋∠3)

=3×180°-180°

=360°．

同理，若∠α1，∠α2…∠αn°是n边形的n个内角，∠β1，∠β2,…,∠βn是它们所对应的n个外角，则有，

∠α1＋∠β1=180°，

∠α2＋∠β2=180°，

……

∠αn+∠βn=180°．

所以

∠β1+∠β2+…+∠βn=n×180°-(∠α1+∠α2+…+∠αn)

=n×180°-(n-2)×180°

=360°．【解析】【分析】三角形有三个内角，根据其对应的外角是其邻补角，可知其外角和=3×180°-三角形的内角和；此方法可以推广，即一般地，要求n边形的外角和，可知由n对邻补角，而这个n边形的内角和为（n-2）×180°．因此n边形的外角和为：n×180°-180°×(n-2)=360°.3.已知一个四边形的第二个内角是第一个内角的3倍，第三个内角是第二个内角的一半，第四个内角比第三个内角大10°．求它的第一个内角．【答案】解：设它的第一个内角为x，则它的第二个内角为3x，第三个内角为x，第四个内角为x＋10°．由四边形的内角和为360°，知

x＋3x＋x＋(x＋10°)=360°，

解得x=50°．

答:它的第一个内角为50°.【解析】【分析】设第一个内角为x，根据题意分别表示出其他三个内角：3x；x；x+10°；再由四边形的内角和为360°列出方程，解之即可得第一个内角的度数.4.如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范围．【答案】解：设∠A是它的最小角，∠C是最大角，∠B是中间的角，则∠A≤∠B≤∠C，又∠C=4∠A．由

可得∠A＋∠A＋4∠A≤180°，即么A≤30°．

可得∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，即∠A≥20°．

所以最小角的取值范围为20°≤4≤30°．【解析】【分析】设∠A≤∠B≤∠C，根据题意知∠C=4∠A，再由三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，列出方程组，代入可得：∠A＋∠A+4∠A≤180°，或∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，解之即可得出最小角的取值范围.5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线．

求证：∠D=

∠A．

【答案】证明：根据三角形外角性质有∠3+∠4=∠1+∠2+∠A．因为BD、CD是∠ABC和∠ACE的平分线，

所以∠1=∠2，∠3=∠4．

从而2∠4=2∠1+∠A，即∠4=∠1+

∠A①

在△BCD中，∠4是一个外角，

所以∠4=∠1+∠D，②

由①、②即得∠D=∠A．【解析】【分析】根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形外角性质可得2∠4=2∠1+∠A，∠4=∠1+∠D,等量代换即可得证.6.如图，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】解：由三角形的外角性质，得，

∠1=∠C+∠F，

∠2=∠B+∠E，

∠4=∠D+∠G，

∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A．

从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=∠1+∠2+∠3

=180°．

【解析】【分析】本题中，所求的7个角很分散，直接求它们的和很困难．因此，我们利用三角形的外角性质，把它们集中到一个三角形中，从而解决问题．7.如图，D为△ABC中一点．证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．

【答案】证明：如图，延长BD，交AC于点E．因为∠BDC是△CDE的外角，

所以∠BDC=∠DEC+∠ACD．

又因为∠DEC是△AEB的外角，

所以∠DEC=∠A+∠ABD．

由以上二式得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．【解析】【分析】延长BD交AC于点E；利用三角形外角的性质可得∠BDC=∠DEC+∠ACD，∠DEC=∠A+∠ABD，等量代换即可得证.本题的结论常常用到，有人称之为“飞镖定理”．注意D必须在△ABC内(即四边形ABDC是一个在D点凹进去的凹四边形)．否则，结论不成立．8.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点G．若∠BDC=140°∠BGC=100°，求∠A的度数.

【答案】解:由上例得，∠BGC=∠A+∠2+∠4，①

∠BDC=∠A+(∠1+∠2)+(∠3+∠4)．②

又因为BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

所以②即∠BDC=∠A+2(∠2+∠4)．③

由①×1-③得∠A=2∠BGC-∠BDC=2×100°-140°=60°．【解析】【分析】根据“飞镖定理”可知∠BGC=∠A+∠2+∠4

①，∠BDC=∠A+(∠1+∠2)+(∠3+∠4)②，再根据角平分线性质得∠1=∠2，∠3=∠4；代入②式变形为∠BDC=∠A+2(∠2+∠4)

③，再由由①×1-③得即可求得∠A度数.9.如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE垂直AD于E．求证：∠ACE>∠B．

【答案】证明：延长CE交AB于点F．

因为AD是∠BAC的平分线，

所以∠1=∠2．

又因为CE垂直AD，

所以∠AEC=∠AEF=90°，

在△AEF中，∠AFC=180°-(∠1+∠AEF)，

在△AEC中，∠ACE=180°-(∠2+∠AEC)，

所以∠ACE=∠AFC．

因为∠AFC是△BCF的一个外角，

所以∠AFC=∠B+∠BCF>∠B．

从而∠ACE>∠B．【解析】【分析】延长CE交AB于点F．利用已知条件，构造∠AFC作为桥梁．一方面它等于∠ACE．另一方面，它又是△BFC的一个外角，它应大于不相邻的任一内角，从而解决问题．10.如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠CAE，∠DAE=

∠BAC．求∠BAC的度数．

【答案】解：设∠BAE、∠EAD、∠DAC分别为α，β，γ，则

β=即2β=γ+α

①又∠BDA=∠BAD=α+β，②

∠C