第18讲 逻辑推理（二）（教师版）

第18讲逻辑推理（二）（教师版）一、第18讲逻辑推理(二)1.160人站成一行，自1起至160依次报数.然后，所有报奇数的离开.留下的再从1起报数，报奇数者又离开.这样继续下去.最后留下一个人.问这个人第一次报的数是多少?

【答案】解：每一个正整数都可以写成的形式，其中s、k都是0或正整数.第一次报数后，报奇数的人离开，也就是所有报的数中s=0的人全部离开.第二次报数时，第一次报的人，现在报.报完后，离开的人是第一次报的数中s=1的人.依此类推，最后留下的人，第一次报数时，报的数中s为最大。

·因为27<160<28所以最后留下的人，第一次报27即128.【解析】【分析】160是偶数，根据题意可知第一次报数时奇数的有80人离开，留下80人重新报数；第二次报数中奇数有40人离开，留下40人重新报数；第三次报数中奇数有20人离开，留下20人重新报数；第四次报数中奇数有10人离开，留下10人重新报数；第五次报数中奇数有5人离开，留下5人重新报数；第六次报数中奇数有3人离开，留下2人重新报数；第七次报数中奇数有1人离开，留下那人所报数字是2，据此即可得出答案.2.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张取走，把第二张放在最底层，再把第三张取走，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩一张牌，则所剩的这张牌是哪一张牌?

【答案】解：将牌编上号码1-108，第一轮取走54张号码为奇数，留下的54张号码为偶数.第二轮留下27张，号码为4的倍数；注意27是奇数；

第三轮取走14张，留下13张；取走的最后一张是427=108；剩下的是：8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，104.接下去应取走16(而不是8，因为108下面就是8)，32，48，64，80，96，8，40，72，104，56，24，最后留下的是88.88-54-2-13-13=6.即最后剩下的是方块6.【解析】【分析】将牌编上号码1-108，根据只有2n张牌的情况，按此规则取牌：第一轮取走54张牌号码为：1、3、5……，留下的54张号码为偶数；第二轮取走27张牌号码为：2、6、10……；第三轮取走14张牌号码为：4、12、20……；最后剩下的一定是2n，分析即可得出答案.3.某学校举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同等得了前五名。发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.A说：B第三名，C第五名.B说：E第四名，D第五名.C说：A第一名，E第四名.D说：C第一名，B第二名.E说A第三名.D箱四名.老师说：每个名次都有人猜对.问这五位同学的名次是怎样排列的？【答案】解:依题意列表如下：由上可见，被猜为第二名的只有B一人，而每个人名次都有人猜对.所以可以断定B是第二名，而不是第三名.

由此推知A是第三名，由A是第三名推知C是第一名，继而确定D是第五名，最后可知E是第四名。因此，五位同学的名次排列为：C是第一名，B是第二名，A是第三名，E是第四名，D是第五名。【解析】【分析】说明通过列表，可以使一此逻辑推理问题的条例及内在关系变得更加清楚.有的问题各部分之间如同多米诺骨牌，只要找准突破口，问题就迎刃而解了.4.甲、乙、丙、丁四人比赛象棋，每两人都比一盘，结果乙胜丁，并且甲、乙、丙胜的盘数相同，问丁胜了几盘？

【答案】解：比赛有甲乙、丙甲、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共计6盘，根据已知条件，丁已败给乙，所以丁胜的盘数只能少于3.

若丁胜1盘，则甲、乙、丙共胜5盘；

若丁胜2盘，则甲、乙、丙共胜4盘；

因为4与5都不是3的倍数，

所以这两种情况都不能使甲、乙、丙的盘数相同.

因此，只能丁胜0盘，甲、乙、丙三人各胜2盘.【解析】【分析】根据题意先算出总共比赛场数为6，然后根据甲、乙、丙胜的盘数相同及乙胜丁，分析推理即可.5.人的血型通常为A型、B型、O型、AB型：子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B；每个孩子的父亲、母亲戴着同样颜色的帽子.帽子的颜色也分为红、黄、蓝三种，这三种颜色的帽子依次表示所具有的血型为AB、A、O.

问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?【答案】解：因为每个孩子的父母二人戴着同样颜色的帽子，所以父母二人的血型相同，并且没有B型血.因而，可以得出下面的简表：从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子；划去简表的第一行及子女血型中的O.

由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子.

最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子.【解析】【分析】因为每个孩子的父母二人戴着同样颜色的帽子，所以父母二人的血型相同，这样血型表只需留一、五、八、十这4行；又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，没有B型，所以第八行也可划去；这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个划5行的简表就不难得出血型间的关系，从而得出题目结论.6.在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相的正整数.求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，使得每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10.

【答案】证明：设a、b分别为这324个正整数中的最小者和最大者.由这些数互不相等，所以b-a≥323.①当a和b所在的方格既不同行又不同列时，从a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻小方格(上下或左右)的移动而达到b所在的方格.如图1所示.由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两条路线途经的方格无一相同)，由a所在的方格达到b所在的方格.显然，无论是路线甲,还是路线乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34(次).

若在路线甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则

323≤b-a≤34×9=306，矛盾!因此路线甲上必有两个相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10；路线乙也是如此.②当a和b所在的方格同行或同列时.

与情况1类似，如图2所示.同样可以找到两条完全不同的。移动次数不太于34次的路线甲和路线乙.一条由与a、b同行(或同列)的方格组成.另一条由a、b及上或下一行(左或右一