第30章二次函数-单元综合达标测试题

冀教版九年级数学下册《第30章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a2+a）是二次函数，那么（）A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝32．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．3．为了得到函数y＝3x2的图象，可以将函数y＝﹣3x2﹣6x+1的图象（）A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位4．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7，其中﹣1≤x≤4，现有下列说法：①当x＝2时，y有最大值7；②当x＝2时，y有最小值7；③当x＝﹣1时，y有最小值﹣2；④当x＝4时，y有最大值3．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝6．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共8小题，满分32分）9．抛物线y＝2x2+8x+5的顶点坐标为．10．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．11．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．已知二次函数y＝mx2+（m2﹣3）x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝．13．已知一次函数+m与二次函数，若满足y1＞0且y2＜0时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数，则m的取值范围是．14．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是m2．15．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为．16．已知抛物线y＝ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1＝．三．解答题（共6小题，满分56分）17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）分别求出a、b、c的值．18．某药店购进一批成本为每件30元的医用级免洗洗手液，当售价为每件35元时，每天可销售90件，经调查发现：该洗手液销售单价每增长2元，销售量就减少4件．（1）若该药店按单价不低于成本单价，且不高于50元销售，当销售单价x（元）定为多少时，才能使销售该洗手液每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（2）若该药店要使销售该洗手洗每天获得的利润不低于800元，每天的销售量最少应为多少瓶？19．如图1，若在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣x﹣8与x轴交于点A、C，与y轴交于点B．（1）设抛物线的顶点为D，求四边形OADB的面积；（2）如图2，动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设t秒时△OPQ的面积为S．①求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值时，△OPQ的面积最大，最大面积是多少？20．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：（1）求抛物线的表达式；（2）小球落点为A，求A点的坐标；（3）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．21．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC于点M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2解得a＝3或﹣1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a＝3．故选：D．2．解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．3．解：函数y＝﹣3x2﹣6x+1＝﹣3（x+1）2+4，顶点的坐标为（﹣1，4），函数y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），∴点（﹣1，4）先关于x轴对称，向右平移1个单位，再向上平移4单位可得（0，0），故选：A．4．解：由函数图象可知，当x＝2时，y有最大值7，故①正确；当x＝﹣1时，y有最小值﹣2，故③正确；故选：A．5．解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，即∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE∴∠BAC＝∠DAE又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC＝DE，AC＝AE，设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a，CF＝AC﹣AF＝AC﹣DE＝3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2＝CD2，即（3a）2+（4a）2＝x2，解得：a＝，∴y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝×（DE+AC）×DF＝×（a+4a）×4a＝10a2＝x2．故选：C．6．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．7．解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．故选：C．8．解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵﹣＝＞0，∴2a＝﹣3b，∵a＞0，∴b＜0，2a﹣3b＞0，∴ab＜0，由此看来①②是正确的，而④是错误的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴③a﹣b+c＞0是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴⑤c﹣4b＞0正确．其中正确信息的有①②③⑤．故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．10．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+k中a＝1＞0，图象的开口向上，又∵二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＞0，解得：k＜4，故答案为：k＜4．11．解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴当x＝﹣3时，y1＝2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+c＝30+c，当x＝2时，y2＝2×22﹣4×2+c＝c，当x＝3时，y3＝2×32﹣4×3+c＝6+c，∵c＜6+c＜30+c，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．12．解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．13．解：令y2＝0，即x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，∴满足y2＜0时自变量x的取值范围为1＜x＜4．∵满足y1＞0且y2＜0时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数，∴，∴﹣＜m≤﹣1．故答案为：﹣＜m≤﹣1．14．解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积＝x＝﹣x2+10x，∴最大面积为＝＝50即最大面积是50m2．15．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，∴抛物线的对称轴是直线x＝＝2，即顶点坐标为（2，0），设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+0，把（﹣2，4）代入得：4＝a（﹣2﹣2）2+0，解得：a＝，即y＝（x﹣2）2+0＝x2﹣x+1，故答案为：y＝x2﹣x+1．16．解：把点（﹣2，4）代入y＝ax2﹣3x+c，得4a+6+c＝4，∴4a+c＝﹣2，∴4a+c﹣1＝﹣3，故答案为﹣3．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）观察图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，所以当x＞2时，y随x的增大而减小；（3）∵抛物线经过（1，0），（2，2），（3，0），∴，解得．18．解：（1）由题意，得：∵﹣2＜0，∴当x＜55时，w随着x的增大而增大．又∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝1200．销售单价定为50元时，使得销售该洗手液每天获得的利润最大，最大利润是1200元，（2）由（1）得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得40≤x≤70，∴当x＝70时，销售量最少，∴每天的销售量最为y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．19．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣8与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，∴点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣8）．∵y＝x2﹣x﹣8＝（x﹣2）2﹣，∴顶点D的坐标为（2，﹣）．在图1，过D作DE⊥x轴于E，则OE＝2，DE＝，AE＝6﹣2＝4，OB＝8，∴S四边形OADB＝S梯形OEDB+S△ADE，＝×（8+）×2+×4×，＝40．（2）①∵AB2＝OA2+OB2＝62+82＝100，∴AB＝10．设t秒时，P、Q两点相遇，则：2t+4t＝6+8+10，解得：t＝4．点P在OA上运动的时间为：6÷2＝3（s），点Q在OB上运动的时间为：8÷4＝2（s）．当0≤t≤2时，如图2，点P在OA上，点Q在OB上，OP＝2t，OQ＝4t，∴S＝OP•OQ＝×2t×4t＝4t2，即S关于t的函数关系式为：S＝4t2（0≤t≤2）；当2＜t≤3时，如图3，点P在OA上，点Q在BA上，OP＝2t，BQ＝4t﹣8，过点Q作QF⊥OB于F，由△QFB∽△AOB得：＝，即＝，∴FB＝（4t﹣8），∴OF＝8﹣（4t﹣8），∴S＝OP•OF＝×2t×[8﹣（4t﹣8）]＝﹣t2+t，即S关于t的函数关系式为：S＝﹣t2+t（2＜t≤3）；当3＜t≤4时，如图4，P、Q两点都在AB上，AP＝2t﹣6，BQ＝4t﹣8，PQ＝AB﹣（AP+BQ）＝10﹣（2t﹣6+4t﹣8）＝24﹣6t，∵△AOB的AB边上的高＝＝＝，∴S＝×（24﹣6t）×＝﹣t+，即S关于t的函数关系式为：S＝﹣t+（3＜t≤4）．综上所述：S关于t的函数关系式为：S＝．②当0≤t≤2时，S最大＝4×22＝16；当2＜t≤3时，S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S最大＝；当3＜t≤4时，S最大＝﹣×3+＝．综上所述，当t＝时，△OPQ的面积最大，最大面积为．20．解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，解得：a＝﹣，∴抛物线的表达式为；（2）解方程，得x1＝0，x2＝7，当x＝7时，y＝，所以A（7，）；（3）当x＝2时，，＝6，∵6﹣1＞4，∴小球M能飞过这棵树；（4）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度h＝＝，∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为．21．解：（1将C（0，5）B（5，0）代入y＝ax2﹣6x+c得：∴，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC的为直角三角形，理由如下：由方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0），∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线x＝3，A、B关于直线x＝3对称，∴△APB为等腰三角形，即AP＝BP，∴∠ABP＝∠PAB，∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，而∠BOC＝90°，∴∠ABP＝45°，∴∠ABP＝∠PAB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠APC＝180°﹣90°＝90°，∴△APC的为直角三角形；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图：∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1，∴∠AM1B＝2∠ACB，即M1是满足条件的点，设M1在直线y＝﹣x+5上，设M1（t，﹣t+5），又A（1，0），C（0，5），由M1A＝M1C可得M1A2＝M1C2，∴（t﹣1）2+（﹣t+5﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣t+5﹣5）2，解得t＝，∴M1（，），∵M1关于N点的对称点是M2，∴AM1＝AM2，∴∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，即M2是满足条件的点，由（2）知∠ABN＝45°，∴△ABN是等腰直角三角形，∵NH⊥x轴于H，∴AH＝BH