2025年外研版2024高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高一数学上册月考试卷684考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设m；n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）

①②

③④．

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.①和④

2、【题文】设函数在区间上的最大值与最小值之差为则（）A.B.2C.D.43、【题文】下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A.B.C.D.4、【题文】已知函数若实数满足则()A.－2B.－1C.0D.25、过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A.x﹣y+1=0B.x﹣y﹣3=0C.2x﹣y=0D.2x﹣y﹣3=0评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、在（0，1）区间内任意取两实数，则它们的和大于而小于的概率为____．7、函数恒过定点，其坐标为．8、【题文】函数的定义域为____.9、【题文】（5分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为____．10、【题文】若则____．11、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则=____．12、定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（）=0，则满足f（）＜0的集合为______．13、向量=（2，3），=（4，-1+y），且∥．则y=______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)14、某商店将进价为100元的某商品按120元的价格出售；可卖出300个；若商店在120元的基础上每涨价1元，就要少卖10个，而每降价1元，就可多卖30个．

（1）若该商品在120元基础上涨价x元，求所获利润y1（元）与x（元）之间的函数关系式；

（2）若该商品在120元基础上降价x元，求所获利润y2（元）与x（元）之间的函数关系式；

（3）为获利最大，商店应将价格定为多少元？15、计算下列各式的值；写出计算过程。

（I）2log32-log3+log38-

（II）（lg2）2+lg20×lg5．

16、已知向量且（为常数），求：（1）及（2）若的最小值是求实数的值.17、【题文】函数f(x)＝x2＋x－

(I)若定义域为[0,3]；求f(x)的值域；

(II)若f(x)的值域为[－]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值.18、已知一圆经过点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），且圆心C在直线l：x﹣2y﹣3=0上，求此圆的方程．19、（1）已知求a，b的值．

（2）已知求a的取值范围．20、如图；在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．

（1）求证：DE∥平面PAC；

（2）求证：AB⊥PC．评卷人得分四、计算题(共4题，共12分)21、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．22、如图，已知在△ABC中，若AC和BC边的长是关于x的方程x2-（AB+4）x+4AB+8=0的两个根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三边的长？23、函数中自变量x的取值范围是____．24、如图，两个等圆圆O1，O2外切，O1A、O1B分别与圆O2切于点A、B．设∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）为抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点，则b=____，c=____．评卷人得分五、证明题(共1题，共7分)25、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)26、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．27、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？28、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】

①为假命题；因为由线面垂直的判定定理，要得m⊥α，需要m垂直α内的两条相交直线，只有m⊥n，不成立．排除A；D，②为面面垂直的判定定理，正确．故选B．④中，m∥n或m与n异面．

故选B．

【解析】【答案】准确把握立体几何中定理公理的条件．

2、D【分析】【解析】

试题分析：因为所以是增函数，所以=解得故选D.

考点：对数函数的单调性，对数方程【解析】【答案】D3、C【分析】【解析】

试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性；从而可得结论．

选项A中在上是减函数。

选项B中在上是增函数。

选项C中在上是减函数。

选项D中在上是增函数。

故选C

考点:函数单调性的概念【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】

试题分析：

是奇函数．函数的定义域为．由函数单调性的定义可得函数为上的增函数，又是上的增函数，故复合函数为上的增函数．由已知．

考点：函数的性质（奇偶性、单调性）．【解析】【答案】D5、A【分析】【解答】解：过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为：即x﹣y+1=0．

故选：A．

【分析】直接利用截距式方程求解在方程即可．二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

设所取的两个数分别为x，y，则其对于的区域是边长为1的正方形，面积为1

记所取的它们的和大于而小于为事件A，则A：所对应的区域如图所示的阴影部分。

其面积为S=1-S△EBF-SOMN=1-××-××=

∴P（A）=

故答案为：

【解析】【答案】由已知中在区间（0，1）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足它们的和大于而小于对应的平面区域的面积大小；代入几何概型公式，即可得到答案．

7、略

【分析】试题分析：根据对数函数性质，的图象过定点函数中，无论底数取范围内任意值，故时，过定点考点：对数函数图象与性质【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于则要有意义，满足同时x-1使得根式有意义，则可知函数的定义域为

考点：函数的定义域。

点评：解决的关键是根据对数真数大于零来求解，属于基础题。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：用配方法将圆的方程转化为标准方程；求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．

解：直线方程为y=kx；

圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1

即圆心坐标为（1，2），半径为r=1

因为弦长为2；为直径，故y=kx过圆心，所以k=2

所以该直线的方程为：y=2x

故答案为：2x﹣y=0

点评：本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．【解析】【答案】2x﹣y=010、略

【分析】【解析】因为所以【解析】【答案】11、2【分析】【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lgx+lgy；

∴解得．

∴=2．

故答案为2．

【分析】根据对数的运算法则和其定义域即可求得进而求出．12、略

【分析】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0；+∞）上单调递减；

∴偶函数f（x）在（-∞；0]上单调递增；

又∵f（）=0；

∴f（-）=0；

若f（）＜0

则＜或＞

解得x＞2，或0＜x＜

故答案为：（0，）∪（2；+∞）

根据偶函数在对称区间上单调性相反，可判断出函数的单调性，结合f（）=0，可将不等式f（）＜0转化为＜或＞进而根据对数的性质解得答案．

本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中由已知分析出函数的单调性，进而将抽象不等式具体化是解答的关键．【解析】（0，）∪（2，+∞）13、略

【分析】解：∵=（2，3），=（4，-1+y），且∥

∴12=2（-1+y）；解得：y=7；

故答案为：7．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，属于基础题．【解析】7三、解答题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）根据利润=每件商品的利润×商品的售量进行计算；

（2）根据利润=每件商品的利润×商品的售量进行计算；

（3）根据二次函数的图象的顶点坐标公式求得上述两种方法中的最大值，再进一步比较求解．【解析】【解答】解：（1）y1=（120+x-100）（300-10x）=-10x2+100x+6000；

（2）y2=（120-x-100）（300+30x）=-30x2+300x+6000；

（3）当涨价x=5（元）时，所获利润y1的最大值=6250（元）；

当降价x=5（元）时，所获利润y2的最大值=6750（元）．

∴为获利最大，应降价5元，即将价格定为115元．15、略

【分析】

（I）2log32-log3+log38-

=log34-log3+log38-

=log3（4××8）-3

=log39-3

=2-3

=-1．

（II）（lg2）2+lg20×lg5

=（lg2）2+（2lg2+lg5）lg5

=（lg2）2+2lg2•lg5+（lg5）2

=（lg2+lg5）2

=1．

【解析】【答案】（I）根据对数的运算性质；即可得到结果．

（II）把lg20运用积的对数展开；乘以lg5后构成完全平方式，然后运用对数的和等于乘积的对数得结论．

16、略

【分析】本试题考查了向量的数量积的运算，以及结合三角函数的性质求解最值的运用。第一问中利用向量的数量积公式可知第二问中利用【解析】

因为向量且所以【解析】【答案】（1）（2）1.17、略

【分析】【解析】

试题分析：解：∵f(x)＝(x＋)2－∴对称轴为x＝－

(1)∵3≥x≥0>－

∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－]；

(2)∵x＝－时，f(x)＝－是f(x)的最小值；

∴x＝－∈[a，b]，令x2＋x－＝

得x1＝－x2＝根据f(x)的图象知b－a的最大值是－(－)＝

考点：函数的值域。

点评：求函数的值域，只要确定函数的最小值和最大值即可，最小值与最大值之间的范围就是值域。【解析】【答案】(I)[－](II)18、解：（解法一）因为圆经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，﹣4），又所以线段AB的垂直平分线的方程是y=﹣2x﹣4．

联立方程组解得．

所以，圆心坐标为C（﹣1，﹣2），半径r=|CA|=

所以，此圆的标准方程是（x+1）2+（y+2）2=10．

（解法二）解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；

由题意可得

由（2）﹣（1）可得2a+b+4=0，∵∴

综上所述，圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10【分析】【分析】（解法一）：先求出线段AB的中垂线的方程，再把它和圆心C在直线l的方程联立方程组，求得圆心坐标，可得半径，从而求得此圆的方程．（解法二）：待定系数法，设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由条件联立方程组求出a、b、r的值，从而求得此圆的方程．19、略

【分析】

（1）通过数列的极限的运算法则，推出a，b的方程求解即可．

（2）利用数列的极限推出不等式求解即可．

本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查转化思想以及计算能力．【解析】解：（1）可得=b；

可得解得a=2，b=4．

（2）已知

可得=

可得

解得a∈（-4，2）．20、略

【分析】

（1）推导出DE∥AC；由此能证明DE∥平面PAC．

（2）连结PD；CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PDC，由此能证明AB⊥PC．

本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】证明：（1）∵在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点．

∴DE∥AC；

∵DE⊄平面PAC；AC⊂平面PAC；

∴DE∥平面PAC．

（2）连结PD；CD；

∵正三棱锥P-ABC中；D是AB的中点；

∴PD⊥AB；CD⊥AB；

∵PD∩CD=D；∴AB⊥平面PDC；

∵PC⊂平面PDC，∴AB⊥PC．四、计算题(共4题，共12分)21、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．22、略

【分析】【分析】首先由根与系数的关系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC•BC=4AB+8（2），然后由（1）2-2（2）得AC2+BC2=AB2；

然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接着利用三角函数可以得到=sinA；

由25BC•sinA=9AB可以得到sinA•=，然后就可以求出sinA=，也就求出=，设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，这样利用（1）即可解决问题．【解析】【解答】解：依题意得：AC+BC=AB+4（1）

AC•BC=4AB+8（2）；

由（1）2-2（2）得：AC2+BC2=AB2；

∴△ABC是直角三角形；且∠C=90°；

在Rt△ABC中，=sinA；

由题意得：sinA•=；

∵∠A是Rt△ABC的锐角；

∴sinA＞0；

∴sinA=；

∴=；

设BC=3k；AB=5k，由勾股定理得AC=4k；

结合（1）式得4k+3k=5k+4；解之得：k=2．

∴BC=6，AB=10，AC=8．23、略

【分析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解析】【解答】解：根据题意得：x-4＞0；

解得：x＞4．

故答案为x＞4．24、略

【分析】【分析】连接O1O2，O2A，O2B，根据切线的性质得到直角三角形，再由直角三角形中边的关系得到角的度数，确定A，B两点的坐标，用待定系数法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如图：

连接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切线，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因为两圆是等圆，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B两点的坐标代入抛物线得：

；

解方程组得：．

故答案为：-，．五、证明题(共1题，共7分)25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．六、综合题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】（1）根据根与系数的关系；列出方程组解答；

（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．【解析】【解答】解：（1）根据题意列方程组得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分别代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

当k=12时原方程可化为x2-10x+24=0；

解得x=4或x=6；

∵3AB=2BC；∴AB=4，BC=6．

当k=时原方程可化为x2+x+=0，解得x=-或x=-1（不合题意舍去）．

故AB=4；BC=6；

∵△AED的面积是△DEM的高相同；

∴△AED的面积是△DEM面积的3倍则AE=3ME；设

ME=x；则AE=3x，设BM=y．

在Rt△AED与Rt△MBA中；∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故两三角形相似；

由勾股定理得AB2+BM2=16x2①，解得BM=；

即=，即=②；

整理得x4-4x2+4=0，解得x2=2，x=．

于是BM===4．

当点M离开点B的距离为4时，△AED的面积是△DEM面积的3倍．27、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

综上所述；m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即为y=2x+1；

y=0，x=-；即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点；

②当m-2≠0；即m≠2，函数为二次函数，依题