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文档简介

第二节多元函数的概念一、二元函数的定义与几何意义例1设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积xyz当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三元函数.1一、二元函数的定义与几何意义例2在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas生产函数为L＞0，K＞0分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量.当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数.以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义.这里

为常数，2类似地可定义三元及三元以上函数．多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.定义一、二元函数的定义与几何意义3再如,图形如右图.例如,球面.单值分支:5解所求定义域为求的定义域．例36二、二元函数的极限定义7证证明证毕．例4恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小.8例5在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用.9例6求解由基本不等式知由夹逼定理，10确定二重极限不存在的方法：11例7解沿

x

轴考察,

沿

y

轴考察,

12三、二元函数的连续性定义一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，内连续.13讨论函数在(0,0)的连续性．例814注意比较：(见例6)讨论函数在(0,0)的连续性．例815一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.例9所以对多元初等函数来说,可以用“代入法”求极限.例1016二元连续函数的性质（3）最值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值．（4）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（1）连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连

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