安徽省十联考2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学答案

数学参考答案1.平面中两条直线l与l₂垂直，已知直线l₁的倾斜角为45°,则直线l₂的斜率为()【详解】因L₁⊥l₂,所以直线l₁与l₂的斜率之积为-1,易知直线l的斜率为1,故直线l₂的斜率为-1,2.在四面体O-ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若【详解】由空间向量基本定理可得又由题干MN=xOA+yOB+zOC,则A.x±2y=0B.√5x±y=0C.x±√5y=0介,则介,【详解】设等比数列{a}的公比为9,若q=1,则a₄+as+a₆=3a₁=S₃,矛盾，所以∠OFM=120°,则p=()A.1A.55B.75C.91不难发现a₂-a₁=2×2,a₃-a₂=2×3,a₄-a₃=2×4,…,a-a-=2n(n≥当n=1时，也符合上式，所以a=n²+n+1(neN'),切线，切点分别为A、B,则四边形PACB的外接圆的面积的最大值为()易知四边形PACB的外接圆的直径为PC,因为P是圆x²+y²+2x-15=0上一动点，所以PC的最大此时四边形PACB的外接圆的半径为r=3,所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为S=πr²=9π.8.如图，四边形ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的平面角大小时，直线AD与BC所成角的余弦值是()【详解】取BD中点E,连接CE,AE,易知∠AEC为二面角A所以直线AD与BC所成角的余弦值是9.记等差数列{a,}的前n项和为S,若a₄=-3,S₁=11,则()A.{a,}是递增数列B.a₅+a₆<0【详解】对于A,由题意可得故{a,}是递增数列，故A正确；对于B,a=a₁+(n-1)d=2n-11,as+a₆=-1+1=0,故所以当n=5时，S,取到最小值-25,故C正确；因为n∈N°,所以使S,>0的n的最小值为11,故D正确.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为BD的中点，且点P满足 BP=λBC+μBB,则下列说法正确的是()A.若点P与C₁重合，则λ=2,μ=2B.若D₁P//平面A₁BD,则λ+μ=1C.存在唯一的点P使得OP⊥平面A₁BDD.若λ=1,,则点P到平面A₁BD的距离为√3【详解】对于A,因为BC₁=BC+BB₁,所以λ=1,μ=1.故A错误.而BP=ABC+μBB,则λ+μ=1.故B正确.A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A₁(2,0,2),B₁(2,2,2),D₁(0,0,2),0(1,1,0),C₁(0,则DP=DB+BP=DB+λBC+μBB₁=(2,2,0)+a(-2,0,0)+μ( DA₁=(2,0,2),DB=(2,2,0),设平面ABD的法向量为π=(x,y,z),则故可设n=(-1,1,1), OP=(1-22,1,2μ),若OP⊥平面A₁BD,则OP//n对于D,当λ=1,时，此时OP=(-1,1,1).由C知，此时OP⊥平面A₁BD, 所以点P到平面A₁BD的距离为oPl=√3.故D正确.11.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1,设圆锥轴截面的顶角为2α,用一个平面T去截该圆锥面，随着圆锥的轴和T所成角β的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为,比如，当α=β时，e=1,此时截得的曲线是抛物线.如图2,在底面半径为2,且的圆锥中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上除端点外的一点，用过E,A,B三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是()A.圆锥的体积B.若,则平面EAB与圆锥底面的夹角为30°,对于B,连接EO,因AB⊥平面SOC,所以平面ABE⊥平面SOC,【答案】√6=va²+|5²+8²+2ld.b)cos60°+21dacos60+25【详解】因为a,+a+=2,所以S₂=(a₁+a₂)+(a₃+a₄)+…+(az-1+a₂n)=2n,,解得k=16.故答案为：16.14.已知曲,P(x₀,yo)为C上一点，则|x₀+√3y₀-3|的取值范围【详解】曲画出图形如下，其中直线x+√3y=0为曲线C对应双曲线的渐近线，|xo+√3y₀-3|表示曲线C上点P(x₀,yo)到直线x+√3y-3=0的距离的2倍，又直线x+√3y-3=0与直线x+√3y=0平行且距离为,则P(x₀,yo)到直线x+√3y-3=0的距离为,当且仅当时取等号，15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线x-y-3=0上，且圆M与直线x-y-1=0相切于点P(0,-1).(2)过Q(2,1)的直线l被圆M截得的弦长为2,求直线l的方程.【详解】(1)易知过点P(0,-1)且与直线x-y-1=0垂直的直线斜率为-1,故圆心M与切点连线方程为x+y+1=0,联立解得所以M(1,-2);所以圆M的半径为|MP|=√(1-0)²+(-2+1)所以圆M的方程为(x-1)²+(y+2)²=2.6分(2)由(1)可知圆M的方程为(x-1)²+(y+2)²=2,因为直线l被圆M截得的弦长为2, 所以M到直线1的距离为d=√2-1²=1,8分若直线l的斜率不存在，则方程为x=2,此时圆心到直线的距离为1,符合题意，10分若直线l的斜率存在，设方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,即k²-6k+9=k²+1,解得所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.13分b₁+b₂+b₃+…+b=n(n+2),(neN).【详解】(1)2S,=3a-3(n∈N*),又当n=1时，2S₁=2a₁=3a₁-3,得a₁=3,故数列{a,}是以3为首项3为公比的等比数列，(2)由(1)可得13分15分15分17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD/PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且(3)在棱PB上，是否存在点G,使得A,G,E,F四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为AD⊥CD,PA∩AD=A,PA,ADC所以AE⊥CD.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(因为E为PD的中点，所以E(0,1,1),所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为10分 (3)设PG=APB=a(2,-1,-2)=(2λ,-2,-22),所所以在棱PB上，存在点G,使得A,G,E,F四点共面，此时15分(2)已知点A(-2,0),过点F₂且斜率不为0的一条直线，交曲线C于P、Q两点，直线AP,AQ分别与直线x=4交于M,N两点.①求证：直线F₂M与直线F₂N的斜率之积为常数；②求△MNF₂面积【详解】(1)(1)设动圆的半径为R,由题意|PF|=R+1,PF₂|=3-R又FF₂|=2<4,故P的轨迹为椭圆.,同理可得.所以直线FM与直线FN的斜率之积所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值-1.13分15分所以△MNF₂面积的取值范围是(9,+○).17分19.若有穷数列a,a2,…,a,(n是正整数),满足a,=a₀-+t(i∈N,且1≤i≤n),就称该数列为(1)已知数列{b}是项数为7的对称数列，且b,b₂,b₃成等比数列，b₂,b₃,b₄成等差数列b₂=2,b₄=6,试写出{b,}的每一项；3的等差数列，数列{c,}的前2k项和为S₂k,则当k为何值时，S₂k取到最小值?最小值为多少?S,为数列{d,}的前n项和.若d₁=2187,S₂m-1=2187,求m的最小值.【详解】(1)因为b₁,b₂,b₃