第五章 分式与分式方程（单元重点综合测试）

第5章分式与分式方程（单元重点综合测试）一、单选题1．分式有意义时的取值范围是（

）A． B． C． D．2．下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．3．如果分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的6倍C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的倍4．下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．5．若分式的值为0,则x的值为()A．1 B．0 C．-1 D．0或-16．下列计算结果正确的有（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知，，其中，下列说法正确的是（

）A． B．，互为倒数C．，互为相反数 D．以上均不正确8．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）A．2 B．3 C．4 D．59．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是(

)A． B．C． D．10．观察下列等式：第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；……，按这样的规律，第n个等式为（

）A． B．C． D．二、填空题11．约分：．12．，和的最简公分母是．13．新型冠状病毒（2019﹣nCoV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为米．（用科学记数法表示）14．计算：＝＝＝15．一项工作由甲单独做，需天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为天．16．若关于x的方程无解，则．17．若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为.18．计算：.三、解答题19．（1）通分：和；（2）约分：．20．计算：(1) (2)(3) (4).(5) (6).(7) (8).(9)21．解方程(1) (2)22．先约分，再求值：

其中．23．求代数式的值，其中x=1．24．已知，求A、B的值.25．已知关于x的分式方程．(1)当时，求这个分式方程的解．(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．26．从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择．方式1：打车从南北一号高架，全程，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程，平均速度是方式1的倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？27．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极相应对通往某偏远学校的一段全长为米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成道路改造任务．(1)求原计划每天铺设路面多少米？(2)若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？28．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；(2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由；(3)当整数取多少时，的值为整数？29．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．(1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；(2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．①求所代表的代数式；②求的值．30．阅读理解：材料1：已知，求分式的值．解：活用倒数，∵．∴．材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母，可设，则．∵对于任意上述等式成立，∴解得∴．根据材料，解答下面问题：(1)已知，则分式的值为．(2)已知，求分式的值．(3)已知，则分式的值为．

第5章分式与分式方程（单元重点综合测试）一、单选题1．分式有意义时的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求解即可．【解析】解：x-1≠0，解得x≠1，故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键．2．下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式方程的定义判断即可．【解析】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．3．如果分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大到原来的6倍C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的倍【答案】D【分析】先求出变形后的分式，再化简即可．【解析】变形后的分式为=3×3x+3×3y3x×3y故选D【点睛】本题考查了对分式的基本性质的应用，注意：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变．4．下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．【解析】解：（A）原式=，故A不是最简分式；（B）原式==x-y，故B不是最简分式；（C）原式==x-y，故C不是最简分式；(D)的分子分母都不能再进行因式分解、也没有公因式.故选D．【点睛】本题考查最简分式，解题关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．5．若分式的值为0,则x的值为()A．1 B．0 C．-1 D．0或-1【答案】A【分析】根据分式等于零的条件“分子为零，分母不为零”，进行计算即可.【解析】∵=0，∴x2﹣1=0，解得：x=±1，又∵当x=﹣1时，x2+x=0，∴x=1.故选A.【点睛】本题考查分式的值为零需要满足的条件：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可.6．下列计算结果正确的有（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可．【解析】解：①，正确；②，正确；③，正确；④，错误．故选：C．【点睛】本题考查了分式的混合运算等的应用，主要考查学生的计算能力，掌握分式的运算性质是解题的关键．7．已知，，其中，下列说法正确的是（

）A． B．，互为倒数C．，互为相反数 D．以上均不正确【答案】C【分析】把A、B先分别化简，然后观察比较．【解析】∵B=，且A=，∴A、B互为相反数，故选C．【点睛】本题考查分式的加减运算，这类题通常的解题思路是将A、B两个式子分别先化简，然后再根据化简的结果进行分析判断，得出结论.8．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．【解析】设这个数是a，把x=5代入得：（-2+5）=1-，∴1=1-，解得：a=5．故选D．【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键．9．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，列出方程即可得.【解析】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，由题意得－＝，故选B.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.10．观察下列等式：第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；……，按这样的规律，第n个等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据所给的等式，分析数字变化的规律，再进行总结即可．【解析】解：∵第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；……，可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2，按这样的规律，第n个等式为：故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚存在的规律．二、填空题11．约分：．【答案】【分析】根据分式的约分解答即可．【解析】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．12．，和的最简公分母是．【答案】【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【解析】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6，三个分式的最简公分母为．故答案为：．【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．13．新型冠状病毒（2019﹣nCoV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为米．（用科学记数法表示）【答案】1×10-7【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】∵1米＝109纳米，∴100纳米＝100÷109米＝1×10-7米，故答案为：1×10-7【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．计算：＝＝＝【答案】【分析】①根据分式的乘法运算法则计算即可；②根据分式的加法运算法则和平方差公式计算即可；③根据分式的四则混合运算法则计算即可；④根据分式的性质化简即可．【解析】解：①．②．③．④．【点睛】本题考查了分式的性质，分式的四则混合运算，平方差公式，负整数指数幂等知识．解题的关键在于正确的化简计算．15．一项工作由甲单独做，需天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为天．【答案】【分析】设总工作量为单位“1”，由工作效率=工作总量÷工作时间可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而求解．【解析】∵一项工作由甲单独做，需a天完成，∴甲的工作效率为，又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，∴甲、乙的合作效率为，∴乙的工作效率为，∴乙单独完成该项工作需要的天数为，故答案为：．【点睛】本题考查列分式以及分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率×工作时间=工作总量”的等量关系．16．若关于x的方程无解，则．【答案】【分析】先去分母得到整式方程，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入即可求出m的值．【解析】解：去分母得，解得，∵关于x的方程无解.∴x=3，∴∴m=.故答案为.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.17．若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为.【答案】【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可．【解析】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得，∵原不等式组有解且最多4个整数解，．解分式方程得解为，∵当是原分式方程无解，．，且，∵为整数，或4，当时，，当时，，∴．故答案为：18．计算：.【答案】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【解析】∵，……∴原式===.【点睛】此题考查分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.三、解答题19．（1）通分：和；（2）约分：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．【解析】解：（1），；（2）．【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．20．计算：(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)；(7)；(8)；(9)【分析】（1）根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案；（2）先因式分解再根据分式的乘法运算法则计算即可；（3）先将除法转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算即可；（4）先寻找2个分式分母的最小公倍式，将最小公倍式作为的公分母；然后在进行减法计算，最后进行化简；（5）找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可；（6）有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案；（7）先通分，然后根据分式除法的运算法则计算即可；（8）先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可；（9）先将减号后面两个分式的分子和分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算乘法，继而通分、计算减法即可．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式===；（4）原式=====；（5）=====；（6）原式；（7），，，，，；（8）原式；（9）原式，，，，，．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，属于基础题型，掌握分式的混合运算法则以及因式分解的知识是解答本题的关键．21．解方程(1)(2)【答案】(1)(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．【解析】（1）解：，去分母，得，解得，经检验，是原分式方程的根，；（2），去分母，得，解得，经检验，是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．22．先约分，再求值：

其中．【答案】【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．【解析】解：原式===当时原式==．【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．23．求代数式的值，其中x=1．【答案】，0【分析】运用分式的混合运算法则先行化简，再代入求解即可．【解析】解：原式=====，当时，原式=．【点睛】本题考查分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．24．已知，求A、B的值.【答案】A=，B=【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.【解析】解：∵,又∵，∴，∴，解得.∴A=，B=.【点睛】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.25．已知关于x的分式方程．(1)当时，求这个分式方程的解．(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．【答案】(1)；(2)小明的结论正确，理由见解析．【分析】（1）按照解分式方程的步骤求解即可；（2）按照解分式方程的步骤求解即可．【解析】（1）解：去分母，得，当时，得，解得，经检验，是原方程的根；（2）解：小明的结论正确，理由如下：去分母，得，当时，，解得，经检验，是原方程的增根，原方程无解，∴小明的结论正确．【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤与方法．26．从合肥火车站到合肥高铁南站通常有两种出行方式可以选择．方式1：打车从南北一号高架，全程，交通比较拥堵；方式2：乘坐轨道交通1号线，路程，平均速度是方式1的倍，用时比方式1少2分钟，求按方式1从合肥火车站到高铁南站需要多长时间？【答案】32分钟【分析】设方式1的用时为x分钟，根据方式2的平均速度是方式1的倍，列出方程，解之即可．【解析】解：设方式1的用时为x分钟，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解，∴按方式1从合肥火车站到高铁南站需要32分钟．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是掌握路程，速度与时间的关系．27．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极相应对通往某偏远学校的一段全长为米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成道路改造任务．(1)求原计划每天铺设路面多少米？(2)若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？【答案】(1)原计划每天铺设路面80米；(2)完成整个工程后承包商共支付工人工资元．【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，根据工作总量=工作效率时间结合共用列方程即可得到答案；（2）根据（1）求出时间，再根据金额=单价时间即可得到答案．【解析】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，由题意可得，，解得：，经检验：是方程的解，答：原计划每天铺设路面80米；（2）解：由（1）得，（天），（天），∴总费用为：，答：完成整个工程后承包商共支付工人工资元．【点睛】本题考查分式方程解决实际应用中的工程问题，解题的关键是找到等量关系式．28．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；(2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由；(3)当整数取多少时，的值为整数？【答案】(1)①③(2)是，理由见解析(3)【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案；（2）将式子化简变形即可得到答案；（3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案；【解析】（1）解：∵①，是“和谐分式”；②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；③，是“和谐分式”，故答案为①③；