第五章 特殊平行四边形（压轴题专练）

第五章特殊平行四边形（压轴题专练）一．选择题（共11小题）1．（2024•浙江模拟）将两张全等的等腰直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张正方形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD，同时形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（）A．△BEF的面积B．△CDF的面积C．平行四边形ABCD的面积D．剩余部分的面积之和与正方形EFGH面积和2．（2022秋•武义县期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为（）A． B． C． D．3．（2023秋•温州期末）如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E，F，G，M，N在长方形ABCD的边上．已知，EF＝BE+FC，则长方形ABCD的周长为（）A．52 B．50 C．48 D．464．（2023秋•安化县期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为（1+）a，③BE2+DG2＝EG2；④当BE＝a时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④5．（2023春•东阳市期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，点O为对角线AC的中点，MN过点O，分别交CH，AF于点M，N，若MG＝3MH，AC＝2MN，连CF，则的值为（）A． B． C． D．6．（2023秋•奉化区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，作EF∥AB，交对角线BD于点O，连结EC．取OB中点P，取CE中点Q，连结PQ．若AD＝6，AB＝8，则PQ的长度为（）A． B． C． D．8．（2023春•镇海区校级期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．矩形纸片的面积C．四边形EFGH的面积 D．四边形JGKE的面积9．（2023春•鄞州区期末）将6张宽为1的小长方形如图1摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的周长为（）A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8二．填空题（共8小题）10.已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．11．（2023秋•鹿寨县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，ECG．若，BC+GD＝9，则△AEG的面积为．12．（2023春•镇海区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别为边AD和BC上的两个动点，满足DE＝BF．将四边形ABFE沿直线EF翻折，得到四边形GHFE，其中G为A的对称点．当点G落在直线CD上时，AE的长为．13．（2023秋•黄岩区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为．14．（2023•头屯河区模拟）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．15．（2023秋•金华期中）如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD，测得AB＝10cm，AD＝24cm．如图1，当挂牌水平悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP＝DP＝20cm，此时点P到BC所在直线的距离为cm，将该门挂的挂绳长度缩短4cm后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了．16．（2023•龙湾区开学）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形ABCD，使得，点N为PQ的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形EFGH作为印章区域（EH∥AD，HG∥CD），形成一幅装饰画，则矩形ABCD的周长为cm．若点M，N，E在同一直线上，且点H到AD的距离与到CD的距离相等，则印章区域的边长为cm．17．如图，有一张平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，点E，F分别在边AD，BC上，DE＝1cm．现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′上．当点C′恰好落在边AD上时，线段CF的长为cm．在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC'与边AD交于点M，则点M相应运动的路径长为cm．三．解答题（共9小题）18．（2023秋•新民市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）用含有t的代数式表示EF的长．（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．（2023春•柯桥区期末）根据以下素材，完成探索任务：如何故剪出符合要求的矩形纸片？素材1如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上．素材2甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为800cm2的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．任务1计算矩形纸片的边长请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长任务2计算矩形纸片的面积请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积任务3计算矩形纸片的最大面积请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积21．（2024•鹿城区校级开学）如图，正方形ABCD中，E为BC边上的点，连结AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，连结GE．已知．（1）若正方形的边长为4，求BG的长．（2）求证：．22．（2023春•诸暨市期末）有两块腰长为20cm的等腰直角△ABC白铁皮．（1）按图1裁出一块正方形DEFG，四个顶点都在△ABC边上．求裁出正方形的边长．（2）按图2裁出面积总和为125cm2的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：步骤1：在等腰直角△ABC白铁皮上裁下一块长宽不等的矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为△AEF，△BDE．步骤2：取其中一块零料△BDE，从零料上裁下一块正方形GHMN，正方形的四个顶点都在零料边上．求裁下的正方形GHMN边长．23．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，则这个准矩形的面积是．24．（2023春•柯桥区期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形．（2）如图1，▱ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．①求证：四边形ABCE是准等边四边形；②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．25．（2023春•镇海区校级期中）【基础巩固】（1）如图1，P是矩形ABCD内部一点，求证：PA2+PC2＝PB2+PD2.请你将下面的证明过程补充完整．证明：过P分别作边AB，AD的平行线EF，GH交AD于E，交BC于F，交AB于G，交CD于H．设PE＝a，PF＝b，PG＝c，PH＝d．（请在框内证明：四边形AGPE是矩形）同理可证四边形DHPE，四边形BGPF，四边形CFPH均是矩形∴PA2+PC2＝PB2+PD2＝（用关于a，b，c，d的代数式填空）【尝试应用】（2）如图2，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC＝1：，求∠PAB的大小．【拓展提高】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E是斜边BC上的三等分点．若AD＝3，AE＝4，求BC的长．26．（2023春•镇海区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°．将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜60°），得到菱形AEFG，EF与BC，CD分别交于点I，J，AE与BC交于点H，FG与AD交于点K，连接AI．（1）用含α的代数式表示∠BIE；（2）求证：AI平分∠BIF；（3）在α从0°到60°的变化过程中，①△CIJ的周长是否变化？若不变，请求出△CIJ的周长；若变化，请说明理由．②直接写出点K的运动路径长．

第五章特殊平行四边形（压轴题专练）一．选择题（共11小题）1．（2024•浙江模拟）将两张全等的等腰直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张正方形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD，同时形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（）A．△BEF的面积B．△CDF的面积C．平行四边形ABCD的面积D．剩余部分的面积之和与正方形EFGH面积和【分析】如果我们只知道阴影部分的面积，那么我们可以直接求出△CDF的面积，因为△CDF是等腰直角三角形，其面积等于阴影部分的面积的一半．所以选项B可以求出．可以直接求出平行四边形ABCD的面积，因为平行四边形ABCD的面积等于两个等腰直角三角形的面积之和的2倍．所以选项C可以求出．因为剩余部分的面积之和与正方形EFGH面积和等于平行四边形ABCD的面积减去阴影部分的面积．所以选项D能求出．只有A中△BEF的面积无法求出．【解答】解：如图，连接HF，∵△ABH，△CDF是等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形，∴∠ABH＝∠AHB＝∠EHF＝45°，∠CDF＝∠CFD＝∠HFG＝45°，∴AB∥HF∥CD，∠BAH＝∠AHF＝∠HFC＝∠FCD＝90°，∴S△ABH＝S△ABF，S△CDF＝S△CDH，∴S△ABH+S△CDF＝S△CDH+S△ABF，设阴影部分面积为a2，∵△ABH，△CDF全等，∴S△ABH＝S△CDF＝a2，故△CDF的面积可求；∴AB＝BH＝CD＝CF＝a，延长CF交AB于点M，则四边形AMFH是矩形，∴AH＝FM＝a，CM⊥AB，∴SABCD＝AB•CM＝a•2a＝2a2，故平行四边形ABCD的面积可求；∴剩余部分的面积+正方形EFGH的面积＝a2，故D选项正确；故选：A．2．（2022秋•武义县期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为（）A． B． C． D．【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：B．3．（2023秋•温州期末）如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E，F，G，M，N在长方形ABCD的边上．已知，EF＝BE+FC，则长方形ABCD的周长为（）A．52 B．50 C．48 D．46【分析】过点P作PK⊥BC于点K，先证△PKF和△FCN全等，得出KF＝CN，PK＝FC，同理可证△PKE≌△EBG≌△GAM，得出PK＝EB＝GA，EK＝GB＝MA，设KF＝CN＝x，EK＝GB＝MA＝y，表示AD、BC、AB、CD的长，得到2x+y＝10，x﹣3y＝﹣16，解方程组即可，从而求出长方形的周长．【解答】解：过点P作PK⊥BC于点K，∴∠PFK+∠KPF＝90°，∵四边形FNHP是正方形，∴PF＝FN，∠PFN＝90°，∴∠PFK+∠CFN＝90°，∴∠KPF＝∠CFN，∵四边形ABCD是长方形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴∠PKF＝∠C＝90°，在△PKF和△FCN中，，∴△PKF≌△FCN（AAS），∴KF＝CN，PK＝FC，同理可证△PKE≌△EBG≌△GAM，∴PK＝EB＝GA，EK＝GB＝MA，设KF＝CN＝x，EK＝GB＝MA＝y，∵，∴DN＝8，∴CD＝DN+CN＝8+x，AD＝AM+DM＝y+10，∵EF＝EK+KF，∴EF＝x+y，∵EF＝BE+FC，∴BE+FC＝x+y，∴BC＝BE+EF+FC＝2（x+y），∵AD＝BC，∴y+10＝2（x+y），即2x+y＝10①，∵AB＝GA+BG＝AG+y，CD＝8+x，AB＝CD，∴GA+y＝8+x，∴GA＝8+x﹣y＝PK＝EB＝FC，∵EB＝EF﹣FC＝x+y﹣（8+x﹣y）＝2y﹣8，∵EB＝GA，∴2y﹣8＝8+x﹣y，即x﹣3y＝﹣16②，联立①②得，，解得，∴BC＝2（x+y）＝2×（2+6）＝16，CD＝8+x＝8+2＝10，∴长方形ABCD的周长为2×（16+10）＝52，故选：A．4．（2023秋•安化县期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°，②△AEG的周长为（1+）a，③BE2+DG2＝EG2；④当BE＝a时，G是线段AD的中点，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【分析】①如图1，在BC上截取BH＝BE，连接EH，之后证明△FAE≌△EHC即可求解；②③如图2，延长AD到H，使DH＝BE，则△CBE≌△CDH，之后再证明△GCE≌△GCH即可求解；④当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝a+x，之后运用勾股定理EG2＝AG2+AE2建立等式解出x，即可求解．【解答】解：①如图1，在BC上截取BH＝BE，连接EH，∵BH＝BE，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°∵BA＝BC，BE＝BH，∴AH＝HC，∴△FAE≌△EHC，∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确；②③如图2，延长AD到H，使DH＝BE，则△CBE≌△CDH，∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH，∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误；∵△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，∴②错误；④∵当BE＝a时，设DG＝x，∴EG＝a+x，∵在Rt△AEG中，EG2＝AG2+AE2，∴，解得x＝a，∴AG＝GD，即G是线段AD的中点，故④正确，综上所述，正确的有①④．故答案为：B．5．（2023春•东阳市期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，点O为对角线AC的中点，MN过点O，分别交CH，AF于点M，N，若MG＝3MH，AC＝2MN，连CF，则的值为（）A． B． C． D．【分析】如图，连接GE，过H作HQ∥MN交EF于Q，证明△MGO≌△NEO，四边形QNMH是平行四边形，可得HM＝QN，HQ＝MN，设MH＝a，MG＝EN＝3a，NQ＝MH＝a，EQ＝2a，GH＝HE＝4a，MN＝HQ＝＝2a，AC＝4a，AB＝BC＝AC＝2a，由题意可设DH＝CG＝AE＝BF＝m，由等面积法可得：m＝2a，再利用面积公式可得答案．【解答】解：如图，连接GE，过H作HQ∥MN交EF于Q，∵CH＝AF，GH＝EF，∴CG＝AE，∵CH∥AF，∴四边形CGAE是平行四边形，∴GH，AC互相平分；∵正方形EFGH，∴OG＝OE，GH∥EF，∴∠MGO＝∠NEO，∠GMO＝∠ENO，在△MGO和△NEO中，∴△MGO≌△NEO（AAS），∴GM＝EN，∵HM∥QN，HQ∥MN，∴四边形QNMH是平行四边形，∴HM＝QN，HQ＝MN，∵MG＝3MH，AC＝2MN，设MH＝a，∴MG＝EN＝3a，NQ＝MH＝a，EQ＝2a，GH＝HE＝4a，∴MN＝HQ＝＝2a，AC＝4a，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝AC＝2a，由题意可设DH＝CG＝AE＝BF＝m，由等面积法可得：（2a）2＝（4a）2+4×m（4a+m），解得：m＝2a，（负根舍去），∴CG＝BF＝2a，∴＝＝，故选：A．6．（2023秋•奉化区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，根据勾股定理得到BC的长，求得AD＝BC＝4，过Q作QH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝QH，根据全等三角形的性质得到CH＝CD＝3，于是得到问题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，∵∠BCD＝∠QCP＝90°，∴∠QCH＝∠PCD，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝4，∴AD＝BC＝4，过Q作QH⊥BC于H，∴∠QHB＝∠QHC＝90°，∵BE平分∠ABC交AD于点E，∴∠QBH＝45°，∴△BQH是等腰直角三角形，∴BH＝QH，∵CP⊥CQ，∴∠QCP＝90°，∵△PCQ为等腰三角形，∴CQ＝CP，∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD，∴△CQH≌△CPD（AAS），∴CH＝CD＝3，∴BH＝QH＝1，∴PD＝QH＝1，∴AP＝AD+PD＝5，故选：B．7．如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，作EF∥AB，交对角线BD于点O，连结EC．取OB中点P，取CE中点Q，连结PQ．若AD＝6，AB＝8，则PQ的长度为（）A． B． C． D．【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，AD∥BC，AB∥CD，则AE＝DE＝AD＝3，而EF∥AB，∠A＝90°，则四边形ABFE是矩形，所以BF＝AE＝3，∠OFB＝∠OEA＝90°，可证明△OFB和≌△OED，得OB＝OD，所以OE＝AB＝4，连结OC，取OC的中点G，连结PG、QG，由勾股定理得BD＝＝10，则OC＝OB＝OD＝5，由P、Q分别是OB、CE的中点，得PG∥BC，PG＝BC＝3，GQ∥OE，GQ＝OE＝2，再证明∠PGQ＝90°，则PQ＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，E为AD中点，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，AE＝DE＝AD＝3，AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，EF∥CD，∵∠A＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF＝AE＝3，∠OFB＝∠OEA＝90°，∴CF＝BF＝DE＝3，∠OFB＝∠OED＝90°，在△OFB和△OED中，，∴△OFB和≌△OED（AAS），∴OB＝OD，∴OE＝AB＝4，连结OC，取OC的中点G，连结PG、QG，∵∠BCD＝90°，∴BD＝＝＝10，∴OC＝OB＝OD＝BD＝5，∵P、Q分别是OB、CE的中点，∴PG∥BC，PG＝BC＝3，GQ∥OE，GQ＝OE＝2，∴GQ∥CD，∴∠OGP＝∠OCB，∠OGQ＝∠OCD，∴∠PGQ＝∠OGP+∠OGQ＝∠OCB+∠OCD＝∠BCD＝90°，∴PQ＝＝＝，故选：B．8．（2023春•镇海区校级期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．矩形纸片的面积C．四边形EFGH的面积 D．四边形JGKE的面积【分析】根据题意设MD＝x，GH＝y，则MH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AM＝x+y，先用面积和表示图中阴影部分的面积，并化简，即可得出正确的选项．【解答】解：设MD＝x，GH＝y，则MH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AM+2（x﹣y）＝4x，∴AM＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S△MJE+S▱JEKG+S△NGK＝x（x﹣y）+xy+x（x﹣y）＝x（x﹣y）+xy＝x2﹣xy+xy＝x2，∴若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出正方形纸片的面积．故选：A．9．（2023春•鄞州区期末）将6张宽为1的小长方形如图1摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的周长为（）A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，由图形可知AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，则△AFB与△CED都是直角边为4的等腰直角三角形，得AB＝CD＝4，即可得出结论．【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，CE⊥BC，∴四边形AFCE是矩形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，由图形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，∴△AFB与△CED都是直角边为4的等腰直角三角形，∴AB＝CD＝4，∴平行四边形ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝2×（4+4+4）＝16+8，故选：D．二．填空题（共8小题）10.已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．【分析】连接BD，如图3，根据菱形的性质可得BD＝h1，由∠AOB＝120°，可得∠DAB的度数，在Rt△DAB中，解直角三角形可得AD的长度，连接DF，如图4，由题意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD，解直角三角形即可算出FD的长度，即可得出答案．【解答】解：连接BD，如图3，由题意可得，BD＝＝＝30（cm），∵∠AOB＝120°，∴∠DAB＝30°，在Rt△DAB中，AD＝＝30×2＝60（cm），连接DF，如图4，由题意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，∴FD＝ED•sin45°＝60×＝30，∴h2＝2•FD＝2×≈85（cm）．故答案为：85．11．（2023秋•鹿寨县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，ECG．若，BC+GD＝9，则△AEG的面积为．【分析】由正方形的性质得出CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，证明△ABC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，过点E作EH⊥BG于点H，得出EH＝AB，由勾股定理和三角形面积公式可得出答案．【解答】解：∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵四边形ACFG是正方形，∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，∴∠ACB＝∠FCD，在△ABC和△FDC中，，∴△ABC≌△FDC（SAS），∴AB＝DF＝，过点E作EH⊥BG于点H，则∠EBH＝∠ACB，∠EHB＝∠BAC＝90°，BE＝BC，∴△ABC≌△HEB（AAS），∴EH＝AB＝，∵BC+GD＝9，∴BC+（AC﹣AB）＝+（AC﹣AB）＝9，∴+（AC﹣）＝9，解得AC＝6，∴S△AEG＝AG•EH＝AC•AB＝＝．故答案为：．12．（2023春•镇海区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别为边AD和BC上的两个动点，满足DE＝BF．将四边形ABFE沿直线EF翻折，得到四边形GHFE，其中G为A的对称点．当点G落在直线CD上时，AE的长为．【分析】设GH分别交BC于点M，EG交CD于点O，由折叠可知BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，FH∥EG，于是DE＝BF＝HF，易得∠HFM＝∠DEO，即可利用ASA证明△HFM≌△DEO，则FM＝EO，当点G落在直线CD上时，FO＝FG＝AE＝FM，因此可知此时即此时M（G）与点C重合，设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理建立方程，求解即可．【解答】解：如图，设GH分别交BC于点M，EG交CD于点O，∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，BC∥AD，根据折叠的性质可得，BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，FH∥EG，∵DE＝BF，∴DE＝BF＝HF，∵BC∥AD，FH∥EG，∴∠HFM＝∠DEO，在△HFM和△DEO中，，∴△HFM≌△DEO（ASA），∴FM＝EO，当点G落在直线CD上时，FO＝FG＝AE＝FM，即此时M（G）与点C重合，如图，设AE＝CE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2，∴（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，∴AE＝．故答案为：．13．（2023秋•黄岩区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为．【分析】取AD的中点E，连接BE、QE，由矩形的性质得∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，则AE＝2，由勾股定理求得BE＝，再证明∠ADQ＝∠PAB，可求得∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝90°，则∠AQD＝90°，所以QE＝AD＝2，由BQ≤BE+QE，得BQ≤+2，则BQ的最大值是+2，于是得到问题的答案．【解答】解：取AD的中点E，连接BE、QE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴AE＝DE＝AD＝2，∴BE＝＝＝，∵∠ADQ+∠BAQ＝180°，∠PAB+∠BAQ＝180°，∴∠ADQ＝∠PAB，∴∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝180°﹣∠BAD＝90°，∴∠AQD＝90°，∴QE＝AD＝2，∵BQ≤BE+QE，∴BQ≤+2，∴BQ的最大值是+2，故答案为：+2．14．（2023•头屯河区模拟）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此选项不正确．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+，故此选项正确．故答案为：①③⑤．15．（2023秋•金华期中）如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD，测得AB＝10cm，AD＝24cm．如图1，当挂牌水平悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳AP＝DP＝20cm，此时点P到BC所在直线的距离为cm，将该门挂的挂绳长度缩短4cm后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B的高度下降了．【分析】如图1，过点P作PE⊥AD于点E，PE的延长线交BC于点F，先根据等腰三角形的性质求出AE＝12cm，在Rt△APE中由勾股定理求出PE＝16cm，据此可得出点P到BC所在直线的距离；如图2，连接AC，过点P作PH⊥AC于点H，过点B作BG∥AC交AH的延长线于G，过点B作BI⊥AC于I，先求出PA＝PC＝23cm，再求出AC＝26cm，进而得AH＝13cm，则PH＝cm，然后由三角形的面积公式求出BI＝cm，进而得PG＝cm，最后再求出PG﹣PF即可得出点B的高度下降的高度．【解答】解：如图1，过点P作PE⊥AD于点E，PE的延长线交BC于点F，∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，AB⊥BC，∴EF＝AB＝CD＝10cm，∵PA＝PD＝20cm，PE⊥AD，AD＝24cm，∴AE＝AD＝12cm，在Rt△APE中，PA＝20cm，AE＝12cm，由勾股定理得：PE＝＝16（cm），∴PF＝PE+EF＝16+10＝26（cm），即点P到BC所在直线的距离为26cm；如图2，连接AC，过点P作PH⊥AC于点H，过点B作BG∥AC交AH的延长线于G，过点B作BI⊥AC于I，∵PA+PD＝20×2﹣4＝36（cm），点P、D、C三点在同一直线上，∴△APD为直角三角形的，设PD＝x，则PA＝36﹣x，在Rt△APD中，PD＝xcm，PA＝（36﹣x）cm，AD＝24cm，由勾股定理得：PA2＝PD2+AD2，即：（36﹣x）2＝x2+242，解得：x＝10，∴PD＝10cm，∴PC＝PD+CD＝10+10＝20（cm），在Rt△ACD中，AD＝24cm，CD＝10cm，由勾股定理得：AC＝＝26（cm），由三角形的面积公式得：S△PAC＝AC•PH＝PC•AD，∴PH＝＝＝（cm），在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：AC•BI＝AB•BC，∴BI＝＝＝（cm），∴PG＝PH+HG＝PH+BI＝+＝∵PG﹣PF＝＝（cm）．即点B的高度下降了（cm）．故答案为：26，cm．16．（2023•龙湾区开学）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形ABCD，使得，点N为PQ的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形EFGH作为印章区域（EH∥AD，HG∥CD），形成一幅装饰画，则矩形ABCD的周长为cm．若点M，N，E在同一直线上，且点H到AD的距离与到CD的距离相等，则印章区域的边长为cm．【分析】根据“台灯”的造型及图1，可求出AB的长，进而可求出矩形的周长；延长MN经过点E并与AD相交于点L，连接DH，可得出四边形DKEH是平行四边形，求出DL长即可解决问题．【解答】解：由图1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3，正方形和平行四边形的短边长都是3．过点N作AD和BC的垂线，垂足分别为J，K，则NJ＝3+3+3＝9，又MN＝，且△NMK是等腰直角三角形，所以NK＝3，故JK＝9+3＝12．又∠A＝∠B＝∠BKJ＝90°，所以四边形ABKJ是矩形，所以AB＝JK＝12．又，所以BC＝20，故矩形ABCD的周长为2×（12+20）＝64．延长MN经过点E与AD交于点L，连接DH，因为∠NMC＝4°，且AD∥BC，所以∠ALM＝45°．又点H到AD和CD的距离相等，所以点H在∠ADC的角平分线上，则∠ADH＝．所以∠ADH＝∠ALE，所以LE∥DH，又LD∥EH，所以四边形LEHD是平行四边形．又AJ＝6+1.5＝7.5，JL＝JN＝9，所以AL＝7.5+9＝16.5．所以DL＝20﹣16.5＝3.5．则EH＝DL＝3.5．故答案为：64，3.5．17．如图，有一张平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，点E，F分别在边AD，BC上，DE＝1cm．现将四边形CFED沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′上．当点C′恰好落在边AD上时，线段CF的长为cm．在点F从点B运动到点C的过程中，若边FC'与边AD交于点M，则点M相应运动的路径长为cm．【分析】当点C′恰好落在边AD上时，易得C′E＝C′F＝CF，过点E作EG⊥C′D′于点G，求出D′G，EG的长度，进而求出C′G的长度，勾股定理求出C′E的长度，即可得到CF的长；分别求出F与B重合时，AM的长，以及C′在AD上时，AM的长，作差即可得出点M相应运动的路径长．【解答】解：（1）当点C′恰好落在边AD上时，如图：∵平行四边形纸条ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，∴CD＝AB＝2cm，∠D＝60°，∠BCD＝120°，AD∥BC，∴∠CFE＝∠C′EF，∵折叠，∴C′D′＝CD＝2cm，DE＝D′E＝1cm，∠D′＝∠D＝60°，∠CFE＝∠C′FE，CF＝C′F，∴∠C′FE＝∠C′EF，∴C′E＝C′F＝CF，过点E作EG⊥C′D′于点G，则：∠EGD′＝∠C′GE＝90°，∴，∴，，∴，∴（厘米）；（2）当点F与点B重合时，此时AM最短，如图：∵，C′D′＝2，D′E＝1，∴D′E2+C′E2＝4＝D′C′2，∴∠C′ED′＝90°，∴∠EC′D′＝30°，∴∠MC′E＝∠BC′D′﹣∠EC′D′＝∠BCD﹣∠EC′D′＝90°，同（1）法可得：BM＝ME，设BM＝ME＝x，则：C′M＝BC′﹣BM＝BC﹣BM＝5﹣x，在Rt△MC′E中，ME2＝C′E2+C′M2，即：x2＝3+（5﹣x）2，解得：，∴，∴；当点C′在AD上时，此时M与C′重合，AM最大，由（1）可知，，∴点M运动的路径长为4﹣﹣＝（2.8﹣）（厘米）．故答案为：，．三．解答题（共9小题）18．（2023秋•新民市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）用含有t的代数式表示EF的长．（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形．【分析】（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，（2）根据全等三角形的判定和性质证得GF＝HE，GE＝HF，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定．（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案为：5﹣2t或2t﹣5；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（3）解：如图所示，连接GH，由（2）可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5，即：当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，∴CE+CG＝4是定值．20．（2023春•柯桥区期末）根据以下素材，完成探索任务：如何故剪出符合要求的矩形纸片？素材1如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上．素材2甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为800cm2的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．任务1计算矩形纸片的边长请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长任务2计算矩形纸片的面积请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积任务3计算矩形纸片的最大面积请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积【分析】任务1：证明△CFE为等腰直角三角形，得出EF＝CF，设AF＝xcm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，得出x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，得出甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；任务2：分两种情况讨论：当MQ：PQ＝1：2时，当MQ：PQ＝2：1时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别求出能够裁剪出的矩形的最大面积，然后比较即可．【解答】解：任务1：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵四边形ADEF为矩形，∴AD＝EF，DE＝AF，∠AFE＝90°，∴∠CFE＝180°﹣90°＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形，∴EF＝CF，设AF＝xcm，则EF＝CF＝（60﹣x）cm，∴x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，当AF＝20cm时，EF＝60﹣20＝40（cm），当AF＝40cm时，EF＝60﹣40＝20（cm），即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为20cm和40cm；任务2：当MQ：PQ＝1：2时，设MQ＝NP＝xcm，则PQ＝2xcm，∵△ABC为等腰直角三角形，∴，∠B＝∠C＝45°，∵四边形MNPQ为矩形，∴∠MQP＝∠NPQ＝90°，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴△MBQ和△CPN为等腰直角三角形，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝x，∴，解得：，即，，即此时矩形面积为；当MQ：PQ＝2：1时，设MQ＝NP＝2xcm，则PQ＝xcm，∵四边形MNPQ为矩形，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝2xcm，∴，解得：，即，，即此时矩形面积为；综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为900cm2或576cm2．任务3：当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为ycm2，AF＝xcm（0＜x＜60cm），则EF＝CF＝（60﹣x）cm，根据题意得：y＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，∴当x＝30时，y最大，最大值为900当按照图3方式裁剪时，设矩形的面积为Scm2，MQ＝tcm（0＜t＜30cm），则BQ＝CP＝MQ＝tcm，∴，根据题意得：，∴当时，S最大，且最大值为900，即此时矩形的最大面积为900cm2；综上分析可知，矩形纸片的最大面积为900cm2．21．（2024•鹿城区校级开学）如图，正方形ABCD中，E为BC边上的点，连结AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，连结GE．已知．（1）若正方形的边长为4，求BG的长．（2）求证：．【分析】（1）利用正方形的性质可得AB＝4，∠B＝90°，再根据已知可设BG＝3x，则BE＝4x，从而在Rt△BEG中，利用勾股定理求出GE的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得AG＝GE＝5x，从而可得AB＝8x，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）设FG与AE交于点M，过点G作GH⊥CD，垂足为H，根据垂直定义可得∠CHG＝∠FHG＝90°，再根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝8x，∠B＝∠C＝90°，从而可得四边形BCHG是矩形，进而可得BG＝CH＝3x，BC＝GH＝8x，GH∥BC，然后利用平行线的性质可得∠AGH＝∠B＝90°，从而可得∠AGF+∠FGH＝90°，再根据已知易得：∠AMG＝90°，从而可得∠BAE+∠AGF＝90°，进而可得∠BAE＝∠FGH，最后利用ASA证明△ABE≌△GHF，从而可得BE＝FH＝4x，进而可得CF＝7x，再利用线段的和差关系可得DF＝x，从而进行计算即可解答．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝4，∠B＝90°，∵，∴设BG＝3x，则BE＝4x，∴EG＝＝＝5x，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE＝5x，∴AB＝AG+BG＝8x，∴8x＝4，解得：x＝，∴BG＝3x＝，∴BG的长为；（2）证明：设FG与AE交于点M，过点G作GH⊥CD，垂足为H，∴∠CHG＝∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝8x，∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCHG是矩形，∴BG＝CH＝3x，BC＝GH＝8x，GH∥BC，∴∠AGH＝∠B＝90°，∴∠AGF+∠FGH＝90°，∵FG⊥AE，∴∠AMG＝90°，∴∠BAE+∠AGF＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∵∠B＝∠FHG＝90°，AB＝GH＝8x，∴△ABE≌△GHF（ASA），∴BE＝FH＝4x，∴CF＝CH+FH＝3x+4x＝7x，∴DF＝CD﹣CF＝8x﹣7x＝x，∴．22．（2023春•诸暨市期末）有两块腰长为20cm的等腰直角△ABC白铁皮．（1）按图1裁出一块正方形DEFG，四个顶点都在△ABC边上．求裁出正方形的边长．（2）按图2裁出面积总和为125cm2的两块矩形铁皮，裁剪过程如下：步骤1：在等腰直角△ABC白铁皮上裁下一块长宽不等的矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上，留下两块等腰直角三角形零料，分别记为△AEF，△BDE．步骤2：取其中一块零料△BDE，从零料上裁下一块正方形GHMN，正方形的四个顶点都在零料边上．求裁下的正方形GHMN边长．【分析】（1）设正方形的边长为xcm，根据等腰直角三角形的性质表示出相关线段长，再由等腰直角三角形ABC的性质及腰长为20cm列方程求解即可得到答案；（2）设正方形GHMN边长为ycm，如图所示，在等腰直角三角形BDE中，由（1）的求解过程可知BD＝D＝y，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝20cm，从而求出CD＝20﹣y，表示出矩形CDEF的面积和正方形GHMN的面积，由按图2裁出面积总和为125cm2，得到（30y﹣y2）+y2＝125，即7y2﹣60y+250＝0，配方后直接开平方即可得到．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm，如图所示：在正方形DEFG中，DE＝EF＝FG＝DG＝xcm，∠DEF＝∠EFG＝∠FGD＝∠GDE＝90°，∵等腰直角△ABC的腰长为20cm，∴AC＝BC＝20cm，∠A＝∠B＝45°，在△ADG和△BEF中，∠ADG＝45°，∠BEF＝45°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴△ADG和△BEF是等腰直角三角形，即AG＝GF＝BF＝3xcm，∴AB＝3xcm，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB＝AB＝xcm，，解得x＝，即正方形的边长为cm；（2）设正方形GHMN边长为ycm，如图所示：在等腰直角三角形BDE中，由（1）的求解过程可知，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝20cm，∴，∴矩形CDEF的面积为CD•DE＝（20﹣）×y＝30y﹣y2，正方形GHMN的面积为GH2＝y2；∵按图2裁出面积总和为125cm2，∴，即，配方得，直接开平方得，∴或，即正方形GHMN边长为cm或cm．23．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，则这个准矩形的面积是．【分析】（1）利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可得证；（3）作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，∴AC＝＝＝，∵四边形ABCD是准矩形，∴BD＝AC＝2．故答案为：2；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠EBC＝90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∴∠EBF＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴四边形BCEF是准矩形；（3）解：作DF⊥BC，垂足为F，∵准矩形ABCD中，AC＝BD，∵△ADC为等腰三角形，∴AC＝DC，∴BD＝CD，∴BF＝CF＝BC＝，∴DF＝＝＝，∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD＝FC×DF+（AB+DF）×BF＝××+（2+）×＝+．故答案为：+．24．（2023春•柯桥区期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形．（2）如图1，▱ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．①求证：四边形ABCE是准等边四边形；②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．【分析】（1）由图可知：AB＝AC，所以只要作出与AB、AC相等的线段再连接就可；（2）①根据平行四边形和旋转的性质证明AB＝BC＝CE即可；②延长EC至点H，根据等边对等角得到∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，推出∠BCD＝2∠BED，结合∠ACB＝∠ACD，即可证明；（3）过点B点D分别作BC和CD的垂线交于点F，连接AF，证明四边形BCDF是正方形，根据正方形的性质推出△ABF是等边三角形，得到∠FAB＝ZAFB＝60°，AF＝FB＝DF，计算出∠DAB的度数，再过点A作AG⊥CD点G，交BF于点K，利用S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC计算四边形ABCD的面积．【解答】（1）解：由图可知：AB＝AC，∴只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，故作图（1），由四种画法，任选其中两种即可．（2）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，由旋转得：CD＝CE，∴AB＝BC＝CE，∴四边形ABCE是准等边四边形．；②延长EC至点H，如图2，∵BC＝CE＝CD，∴∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，∴∠DCH＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∠BCH＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，∴∠DCH﹣∠BCH＝2∠CED﹣2∠CEB＝2∠BED，∴∠BCD＝2∠BED，由①得：∠ACB＝∠ACD，∴∠BCD＝2∠ACB，∴∠BED＝∠ACB．（3）解：如图3，过点B、点D分别作BC和CD的垂线交于点F，连接AF，∵BF⊥BC，DF⊥CD，∠C＝90°，∴四边形BCDF是矩形，∵CD＝BC，∴四边形BCDF是正方形，∴DF＝FB＝AB＝2，∵∠ABC＝150°，∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，∴△ABF是等边三角形，∴∠