重难点32 分式方程及其应用

重难点32分式方程及其应用第156天增根定义是密钥1.增根是一个数学用语,其定义为在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程.(1)若该分式方程有增根,则增根为________.(2)在(1)的条件下,求出的值.解:(1)3或-3;(2)将方程等号两边同乘,得,当时,;当时,.故的值为或6.第157天方程无解易失解2.若关于的方程无解,求的值.解:核心是要了解方程无解的情况下,可以得出哪些信息,无解可是分两种哦!由题意可知该方程的最简公分母为去分母,整理得:,关于的方程无解,或,解得或,将代人,解得,将代人,解得,综上所述,的值为或.第158天工程预算早谋划3.某市为改善交通现状,市政府决定修建地铁,甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作,从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍;若由甲队先做20天,剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成.(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?(2)已知甲队每天的施工费用为15.6万元,乙队每天的施工费用为18.4万元,工程预算的施工费用为500万元,为缩短工期,拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需增加多少万元?解:地铁修建既要准时完成,又要保证质量,小鹿看了看,你们可以的,根据题目信息,你们就可以列出关于申、乙两队所盉天数的分式方程.(1)设乙队单独完成这项工程需天,则甲队单独完成这项工程需天,依题意,得,解得,经检验,是原分式方程的根且符合题意.答:乙队单独完成这项工程需20天,甲队单独完成这项工程需60天;(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要天,则有,解得.需要的施工费用为万元,工程预算的施工费用不够用,需增加10万元.数学家简介朱世杰(1249年~1314年),元代数学家,字汉卿,号松庭.著有《算学启蒙》3卷、《四元玉鉴》3卷.《算学启蒙》是当时一部较有影响的启蒙数学书,曾流传到日本和朝鲜.现存的《算学启蒙》就是根据1660年朝鲜刻本于1839年翻刻的.他在数学上的重大成就有:高次方程组(最多可包括4个未知数)的作法,高阶等差级数求和、招差法等.第159天平地电梯的奥妙4.如图(1)是某机场的平地电梯,电梯的长度为120米,如图(2)所示,若两人不乘电梯在地面匀速行走,小米每分钟的路程是大米的倍,且分钟后,小米比大米多行走30米.(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米?(2)若两人在平地电梯上行走,电梯向前行驶,两人保持原来在地面上匀速行走的速度也同时在电梯上行走,当小米到达处时,大米还剩米.(1)求平地电梯每分钟行驶多少米?(2)当小米到达处时,发现有一袋行李忘在处,此时的时间为7点55分,小米马上从地面返回处,拿了行李后立即乘平地电梯同时行走)去处,问小米能否在8点前和大米汇合,并说明理由.解:根据题意,设大米每分钟行走米,则小米每分钟行走米,依题意得.,解得米.答:大米每分钟行走40米,小米每分钟行走60米;(2)(1)设平地电梯每分钟行驶米,依题意得,解得,经检验,是原分式方程的根且符合题意.答:平地电梯每分钟行驶30米;(2)不能,理由如下(分钟)，(分钟,分钟,设小米经过分钟可以追上大米,依题意得,解得,小米不能在8点前和大米汇合.第160天神奇的输液过程5.输液时间与输液速率问题:静脉输液是用来给病人注射液体和药品的.在医院里,静脉输液是护士护理中最重要的一项工作,护士需要依据输液速率,即每分钟输人多少滴液体,来计算输完点滴注射液的时间(单位:分钟).他们使用的公式是:,其中,是点滴注射液的容积,以毫升(mL)为单位,是点滴系数,即每毫升(mL)液体的滴数.(1)一瓶点滴注射液的容积为360毫升,点滴系数是每毫升25滴,如果输完这瓶点滴注射液需要180分钟,那么护士给病人注射的输液速率为每分钟多少滴?(2)如果遇到的病人年龄比较大时,护士会把输液速率缩小为原来的,则在和保持不变的条件下，输完这瓶点滴注射液的时间将会发生怎样的变化?解:(1),,解得,经检验,是原分式方程的根且符合题意,.答:护士给病人注射的输液速率为每分钟50滴;(2)设输液速率每分钟为滴,输完点滴注射液的时间为分钟,则,当输液速率缩小为每分钟滴时,输完点滴注射液的时间延长到分钟,则.答:在和保持不变的条件下,缩小为原来的时,输完这瓶点滴注射液的时间是原来的2倍.综合强化练321.若关于的分式方程的解为非负数,则的取值范围是()A.B.C.且D.且D【解析】原分式方程的解为非负数,且且,解得且.2.(“希望杯”邀请赛试题)已知关于的分式方程有解,则字母的取值范围是()A.或B.C.D.且D【解析】,去分母整理得原分式方程有解,且,解得且.3.若关于的分式方程的解为正数,且关于的一元一次不等式组有解,则符合条件的所有整数的和为()A.1B.2C.3D.4【解析】解关于的分式方程得分式方程的解为正数且且,即且.解关于的不等式组得不等式组有解,,即.满足且的所有整数解为.4.(“希望杯"邀请赛试题)已知关于的方程无解,求的值.解:方程无解是求值的关键.将分式方程去分母,整理得:,小鹿来了,想我了没,还是那句话,无解一定分两种情况，关于的方程无解，或,解得或,把代人中,得,把代人中,得,综上所述,的值为或-2.5.1罐咖啡甲、乙两人一起喝10天喝完,甲单独喝则需12天喝完,1包茶叶甲、乙两人一起喝12天喝完,乙单独喝则需20天喝完,假如甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡,而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶叶,问两人一起喝完1包茶叶和1罐咖啡需要多少天?解:首先我们要知道甲、乙两个小可爱单独喝茶叶的时间,再去体会一起喝茶的快乐.设甲单独喝完一包茶叶的时间为天,乙单独喝完一罐咖啡的时间为天,根据题意列方程得,解得.,解得.因此30天后甲喝完茶叶,而乙只喝完咖啡的一半,故剩下的咖啡变成两人一起喝,由题意可知,他们两人还能喝(天).两人用天才全部喝完.答:两人一起喝完1包茶叶和1罐咖啡需要35天.6.某学校校门口有一个长为的长条形长方形电子显示屏,学校的有关活动都会在“电子显示屏”播出,由于各次活动的名称不同,字数也就不等,为了制作及显示时方便美观,负责播出的老师对有关数据作出了如下规定:若字数在8个以下,边空:字宽:字距;若字数在8个以上(含8个),边空:字宽:字距,如图所示：(1)某次活动的字数为9个,求字距是多少?(2)如果某次活动的字数为,问字数是多少个?解:(1)字数在8个以上,边空:字宽:字距,总长,总共9个字,可知总长度被分成了2个边空,9个字宽,8个字距,则字距为.答:字距为.(2)设字数为个,(1)字数在8个以下,则,解得(不合题意,舍去)；(2)字数在8个以上含8个,则,解得.经检验,是原分式方程的解且符合题意.答:字数是18个.7.某商场在一楼至二楼间安装一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果将男孩与女孩都作为匀速运动考虑,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍,已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部(设男孩、女孩每次只跨1级台阶).(1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与扶梯的级数相等,两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离),则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?解:小可爱们,有没有上扶梯的时侯向上走的经历,有吧,我们一起来研究一下速度吧!根据题意列出相应的方程组.设女孩速度为级/分,电梯速度为级/分,楼梯露在外面的部分有级,则男孩速度为级/分.由题意得解得.答:扶梯露