高考练习：随机事件的概率

1.事件的分类

必然在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事

确定事件件

事件不可能在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可

事件能事件

随机在条件S下，可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机

事件事件

2.概率与频率

(1)在相同的条件S下重复几次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试

验中事件4出现的次数以为事件A出现的频数，称事件A出现的比例启4)=半

为事件A出现的频率.

(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率4A)随着试验次数的增

加稳定于概率P(A),因此可以用频率启(A)来估计概率P(A).

3.事件的关系与运算

定义符号表示

包含如果事件A发生，则事件3一定发生,这时称事件8

关系包含事件4或称事件A包含于事件B)(或

相等

若334且A38,那么称事件4与事件8相等A=B

关系

并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则

(和事件)称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)（或A+B）

交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则4n8

(积事件)称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)（或AB）

互斥

若AC8为不可能事件,那么称事件A与事件8互斥AA8=0

事件

对立若A08为不可能事件,AU8为必然事件,那么称事AG8=0

事件件A与事件B互为对立事件且AU8=0

常用结论

概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)<1.

(2)必然事件的概率：P(A)=1.

(3)不可能事件的概率：?(A)=0.

(4)概率的加法公式

如果事件事与事件8互斥，则P(AU3)=P(A)+P(B).

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则AUB为必然事件.P(AUB)=1,P(A)

=1—P(8).

清易错

一、思考辨析

判断正误(正确的打“,错误的打“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)随机事件和随机试验是一回事.()

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.()

(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.()

(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.()

⑹两互斥事件的概率和为1.()

答案：⑴X(2)X⑶J(4)X(5)V(6)X

二、易错纠偏

常见误区I(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；

(2)频率与概率的关系理解不清致借.

1.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则

①恰有1个白球和全是白球；

②至少有1个白球和全是黑球；

③至少有1个白球和至少有2个白球；

④至少有1个白球和至少有1个黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为.

答案：①

2.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门

课3年来的考试成绩分布:

成绩人数

90分以上42

80〜89分172

70〜79分240

60~69分86

50〜59分52

50分以下8

经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的

信息估计他得以下分数的概率:

(1)90分以上的概率:

(2)不及格(60分及以上为及格)的概率:

4252+8

解析：(1石丽=007;⑵600=0.1.

答案：(1)0.07(2)0.1

3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件4=｛抽到一等品｝,事件B=｛抽

到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则

事件“抽到的不是一等品”的概率为.

解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品"，且P(A)

=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为尸=1-P(A)=1-0.65=0.35.

答案：0.35

考点探究题型突破

考点n

随机事件的关系(师生共研)

所从1,2,3,…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是()

A.①B.②④

C.③D.①③

【解析】③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从

1-7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇

数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇教”与“两个都是偶

数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.

【答案】C

恻管薪用

判断互斥、对立事件的2种方法

(1)定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互

斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一

定是互斥事件.

(2)集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；

②事件A的对立事件不所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的

结果组成的集合的补集.

限踪训练

1.设条件甲：”事件A与事件5是对立事件”，条件乙：“概率满足尸(A)

+尸(3)=1"，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.若事件A与事件8是对立事件，则AUB为必然事件，再由概

率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次，事件A:“至少出现一次

71

正面”，事件8:“3次都出现正面”，则尸(4)=d，P(8)=$,满足P(4)+P(8)

oo

=1,但A,8不是对立事件.

2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，

从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为需，则概率为焉的事

件是()

A.恰有一个红球B.两个小球都是白球

C.至多有一个红球D.至少有一个红球

737

解析：选C.因为m=1一而，所以概率为正的事件是“2个小球全是红球”

的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为

“至多有一个红球”.

考点2

随机事件的频率与概率(师生共研)

由某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元,

售价每瓶6元，未售出的酸％降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根

据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关.如果最高气温不

低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；

如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了

前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表.

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元)，当六月份这种酸奶一

天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率.

【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于

25,由表格数据知，最高气温低于25的频率为236=06,所以这种酸奶

一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25,则7=6X450-4X450=900:

若最高气温位于区间［20,25),则Y=6X300+2(450—300)—4X450=300;

若最高气温低于20,则7=6X200+2(450-200)-4X450=-100.

所以，丫的所有可能值为900,300,-100.

y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20

的频率为36+2^~7+4=Q8,因此丫大于零的概率的估计值为08

(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一

个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作

为随机事件概率的估计值.

⑵利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生

的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

跟踪训练;电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表.

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四

类电影的概率；

(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的

好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电

影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与

样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510

=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50.

故所求概率为瑞^=0.025.

(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1=56+10

+45+50+160+51=372.

372

故所求概率估计为1—拈=0.814.

⑶增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.

考点3

互斥事件、对立事件的概率(师生共研)

圆引某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张

奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.记1张奖券

中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为4B,C,求：

(1)1张奖券中奖的概率；

(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

【解】(1)设“1张奖券中奖“为事件"，则M=AU3UC,依题意，P(A)

=1000'000="100,P(0=l000=而,因为='BfC两两互斥'

1+10+5061

所以P(M)=P(AU8U0=P(A)+P(3)+P(C)=1000=1000,

故1张奖券中奖的概率为了丽.

(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖

券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

所以P"1-P(AU砂=1一岛5+忐/=翳・

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9瑞89江

画陶陶用

求复杂互斥事件的概率的两种方法

(1)直接法

府FI」根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的'

1.丁步月事件的和

利用有关概率计算公式分别计算这些彼此互,

巴十厂|斥的事件的概率

【第1步H运用互斥事件的概率加法公式计算所求概率:

(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)

判断事件4的概率计算是否适合用间接法、而

［第一步)-判断的标准是正向思考时分类较多，而其对

一L立面的分类较少，此时应用间接法

「第二«利用互斥事件或相互独立事件的概率计算公

巴亍巴［式计算事件4的对立事件彳的概率

［第2步H运用公式PM)=1-p(彳)求解:

跟踪训练

1.某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为03,0.2,

0.1,0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为.

解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A,B,C,D

表示，则事件A,B,C,O是互斥事件，P(AUD)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,

所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

答案：0.7

2.经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下.

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率;

⑵至少3人排队等候的概率.

解：记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件8,“2人排队

等候”为事件C,“3人排队等候”为事件O,“4人排队等候”为事件E,“5人

及5人以上排队等候”为事件尸，则事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+8+C,所以P(G)=P(A+

B+0=P(A)+P(B)+P(0=O.l+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：记“至少3人排队等候“为事件//,则H=D+E+F,所以P(H)

=尸(。+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：记“至少3人排队等候"为事件”，则其对立事件为事件G,所以

P(H)=1-P(G)=O.44.

每一

♦知能提升•分层演练P

[A级基础练]

1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事

件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

解析：选C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情

况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一

名女生，，与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.

2.把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人

一本，则事件4“甲分得语文书”，事件以“乙分得数学书”，事件C“丙

分得英语书”，则下列说法正确的是()

A.A与3是不可能事件

B.A+B+C是必然事件

C.A与8不是互斥事件

D.8与C既是互斥事件也是对立事件

解析：选C.“A,B,C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A,

B两项错误；“4,B”可能同时发生，故与“5”不互斥,C项正确；与"

既不互斥，也不对立，D项错误.故选C.

3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现

金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

解析：选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支

付”为事件5,“不用现金支付”为事件C,则P(Q=1A)-P(B)=1-0.45

-0.15=0.4,故选B.

4.抛掷一枚质地均匀的骰子的试睑，事件A表示“出现小于5的偶数点”，

事件3表示“出现小于5的点数”，若不表示8的对立事件，则一次试验中，

事件AU7发生的概率为()

A.gB.；

C,3D,6

解析：选C.抛掷一枚微子的试验有6种可能结果.

八”…21n42

依题意产(4)=5=§,P(8)=4=Q,

—21

所以P(B)=l-P(B)=l-§=§.

因为万表示“出现5点或6点”的事件，

因此事件A与否互斥，

——112

从而P(AUB)=P(A)+P[8)=1+1=§.

5.设A与3是互斥事件，4,3的对立事件分别记为W,B,则下列说法

正确的是()

A.4与B互斥B.4与8互斥

C.P(A+B)=P(A)+P(8)D.P(彳+豆)=1

解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A与万，彳与否都有可能同时发生，

所以A与不互斥，了与耳互斥是不正确的；P(A+8)=P(A)+P(8)正确；了与否既

不一定互斥，也不一定对立，所以D错误.

6.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲

夺得冠军的概率为右乙夺得冠军的概率为"，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠

军的概率为.

解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打电军”包括事件“甲夺得乳

军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按

互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概■率为

3l=j9

7+4=28-

19

答案:28

7.某城市2019年的空气质量状况如表所示，

污染指数73060100110130140

11\_721

概率P

而63301530

其中污染指数TW50时，空气质量为优；50<T^100时，空气质量为良；

100<7(150时，空气质量为轻微污染.则该城市2019年空汽质量达到良或优的

概率为.

1113

解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为〃=m+5+§=亍

答案：|3

8.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中

摸出1个球，摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28.若红球有21个,

则黑球有.个.

解析：由题意知，摸出黑球的概率为1一0.42—0.28=0.3.设黑球有〃个，则

0.420.3口_

故”=15.

答案：15

9.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线

的交叉点以及二角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经

验，一株该种作物的年收获量丫（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关

Y51484542

频数4

⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率.

解：⑴所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为

1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的

作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下,

Y51484542

频数2463

51X2+48X4+45X6+42X3690

所种作物的平均年收获量为=46.

1515

24

（2）由⑴知,p（y=5i）=记，p（y=48）=/.

故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为

242

P（Y248）=尸（Y=51）+P（y=48）=记+记=宁

10.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量H单位：万千瓦时）

与该河上游在六月份的降雨量x（单位：亳米）有关.据统计，当x=70时，r=

460；X每增加10,y增加5.已知近20年X的值为140,H0,160,70,200,

160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,

160.

(1)完成频率分布表；

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量70110140160200220

111

频率

20510

（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将

频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过

530万千瓦时的概率.

解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个,

为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量7011014016020()220

131731

频率

202052020W

v

（2）由已知可得y^+425,

故P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）

=P（y<490或E>530）=Pi：X<130或X>210）

=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）

1323

=m+指+布=布,故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时

3

或超过530万千瓦时的概率为正.

[B级综合练]

11.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中

每辆车的赔付结果统计如下，

赔付金额(元)01000200030004000

车辆数500130100150120

(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车

辆中，车主是新司机的占20%,估计在己投保车辆中，新司机获赔金额为4000

元的概率.

解：(1)设人表示事件“赔付金额为3000元”，2表子事件“赔付金额为4

000元”，以频率估计概率得P(A)=/熟=0.15,P(8)==意=0.12.

1vUv1UvU

由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为

3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(8)=0.15+0.12=0.27.

(2)设。表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，白已知，样本车辆中

车主为新司机的有0.1XI000=100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主

为新司机的有0.2X120=24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000

24

元的频率为而=0.24,由频生估计概率得P(Q=0.24.

12.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收

集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示，

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间

11.522.53

(分钟/人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

解：(1)由已知得25+y+10=55,

工+30=45,所以x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，

所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机

样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10、人

----------------丽---------------=1.9(分钟).

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,Ai,A2分

别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”“该顾客一次购物的结算

时间为3分钟”，将频率视为^率，得

201101