高考练习：参数方程

参数方程

1.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过

消去参数,从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数/的关系，例如正曲，把它代入普

x=f(f),

通方程，求出另一个变数与参数的关系＞=侬，那么,、就是曲线的参

数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使X,y的参数方程中参数的取

值范围保持一致.

2.直线、圆和圆锥曲线的参数方程

名称普通方程参数方程

x=xo+/cosa,

直线y—yo=k（x—xo）（/为参数）

y=vo+/sina

x=xo+rcos0,

圆（X—xo）2+（y—火）2二户।.八（。为参数且OW*2TI）

y—vo+rsmu

?2x=acost,

椭圆'+方=1(。乂>())~~~。为参数且0《/<2兀）

y=bsint

[x=2pi2

抛物线y2=2px（P>0）\.f（/为参数）

[y=20

常用结论

x=M)+/cosa，

经过点P(xo，yo),倾斜角为a的直线/的参数方程为彳.Q为参

+isma

数).若43为直线/上的两点，其对应的参数分别为〃，亥，线段AB的中点为

M,点M所对应的参数为如则以下结论在解题中经常用到：

力+亥

⑴Zo=-2-

力+上

（2）|尸M]=|fol=2

（3）|AB|=k2-ril;

（4）|B4|.|PB|=ki-t2\.

清易错扫除盲点

一、思考辨析

判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)

x=f⑺,

(1)参数方程，、中的羽y都是参数，的函数.()

b，=g(r)

JC=JCO+/COSa,

⑵过M)(xo,州)，倾斜角为。的直线/的参数方程为＜,.。为参

J=yo+/sina

数).参数i的几何意义表示：直线I上以定点M)为起点，任一点M(x,y)为终

点的有向线段疯■的数量.()

x=2cosa

(3)已知椭圆的参数方程彳..。为参数)，点M在椭圆上，对应参数/

y=4smt

=小点0为原点，则直线OM的斜率为由.()

答案：(1”(2)V(3)X

二、易错纠偏

常见误区I(1)不注意互化的等价性致误；

(2)直线参数方程中参数，的几何意义不清致误;

⑶交点坐标计算出错致错.

x=1+cos2仇

若曲线C的参数方程为,(。为参数)，则曲线C上的点的

y=sin26>

轨迹是()

A.直线x+2y—2=0

B.以(2,0)为端点的射线

C.圆。-1)2+产1

D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

解析：选D.将曲线。的参数方程化为普通方程得x+2)，-2=0(0WxW2,0

WyWl).故选D.

x=x()-\-at

2.已知直线彳工，t[为参数)上两点A,8对应的参数值是力，团则H8|

[)'=州+初

=()

A.|力+力|B.\t\-t2\

C.。，+/土一亥|D.

受层+小

解析：选C.依题意，A（XQ+M,州+4I），3（沏+。亥，川+%），则|A3|=

q,o+。/］―（沏+勿2）］2+［），o+4］一（泗+62）］2=^/«2+/?2|/1―力|•故选C.

3.在平面直角坐标系xO），中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立

极坐标系.曲线Ci的极坐标方程为"（cosO+sin夕）=-2,曲线C2的参数方程为

尸尸，

‘尸2、②"为参数）’则©与。2交点的直角坐标为.

解析：由以cos。+sin6）=—2,得x+y=-2①.

=p

又｛x'厂消去f,得）?=8x②.

ly=25

x=2,

联立①②得彳即交点坐标为Q,—4）.

bj=-4,

答案：（2,-4）

考点探究F题型突破

考点II

参数方程与普通方程的互化（师生共研）

屈m（D将下列参数方程化为普通方程.

①，____（t为参数）；

［k7正—1

x=2+sin2。，

②，尸T+8S2/为参如

（2）已知曲线。川尸x=-34+s+icno,st,”为参数）'曲线x=8cos仇

尸3疝。（°为参

数）.化G,。2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线.

【解】（1）①由尸一120今/21或fW—l=0<xWl或一lWx〈0.

p=7（*），

由j（*）式代入（**）式得f+,2=1.

［尸yx/1-i（**）,

0<xWl,(―1

箕中V或V

'〔OWy<l[―lvy<().

②由工=2+sin?。，OWsi/OWl

=>2<2+sin20<3=>2Wx<3,

x=2+sin2^,[x—2=sin2^,fx-2=sin2^,

=>=>02x+y—4=

y=-14-cos20[y=—1+1—2sin2^[y=-2sin2^

0(2«).

92

(2)曲线G：(x+4)2+(y-3)2=l,曲线。2：^+]=L

所以曲线Ci是以(一4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线。2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8,短半轴长是3

的椭圆.

恻倒用阳

将参数方程化为普通方程的方法及注意点

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的

消参方法.常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等.对于

含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2^+cos2^=l

等.

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.

跟踪训练

x=2+f,|x=3cosa,

1.求直线11(，为参数)与曲线1(。为参数)的交点个数.

y=-1~ty=3sina

x=2+r,

解：将[=_[_，消去参数f得直线x+y—l=0;

x=3cosa,

将，,消去参数a得圆片+产=9.

j=3sina

又圆心(0,0)到直线x+)—1=0的距离〃=乎＜3.

因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点.

2.如图，以过原点的直线的倾斜角。为参数，求圆/+产一了=0的参数方

程.

解：圆的半径为宏记圆心为戏，0）,设直线与圆的交点分别为O,P,连

接CP（图略），则ZPCx=23,故xp=T+；cos20=coC。,

yp=1sin20=s\nOcos0（0为参数）.

x=cos2^,

所以圆的参数方程为4.八式。为参数）.

j=smGeos0

考点2

参数方程的应用（师生共研）

画②（2021•沈阳市数学质量监测（一））在平面直角坐标系白，以坐标原点为极

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C的极坐标方程为/）=4cos/

x=3+2r,

直线/的参数方程为一（，为参数），直线/与曲线。交于M,N两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）若点尸（3，-1）,求.|PN|的值.

仿cos6=x,

【解】（1）由/=4pcos仇\得«+丁=4心

2sin0=y

所以曲线。的直角坐标方程为2）2+/=4.

x=3+2f,

由直线/的参数方程为彳,。为参数），

ly=-i+/

消参得直线/的普通方程为x-2y-5=0.

[—2小

（2）直线，的标准参数方程为〈r（〃为参数），

"1+电

代入曲线。的方程（X—Zp+Vn%得〃2+*^〃-2=0,则有/=g>0,设

M,N两点对应的参数分别为〃],〃2,

2/s

则〃l+〃2=一―^一，W|M2=—2<0,可知〃1与〃2异号，

1_1〃l+〃2V5

所以

两一两MilMlll\U25,

画倒罚用

（1）解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与

参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题,

如最值、范围等.

（2）根据直线的参数方程的标准式中，的几何意义，有以下常用结论：过定点

Mo的直线与圆锥曲线相交，交点为Mi,M2,所对应的参数分别为小①①弦

长/=|力一百；②M为弦MM2的中点合力+尬=0;③IMoMil・|赫此|="同

跟踪训练;

1.（2020・四省八校第二次质量检测）在平面直角坐标系X。），中，己知直线/：

x=l+；r,

x=\/2cos9,•,“

小”为参数），曲线G：«c（。为参数）.

j=sm6

y=2f

⑴设/与G相交于A,B两点,求|A8|；

x=cosa,

（2）若。是曲线C2：“.（。为参数）上的一个动点，设点尸是曲线G

十sma

上的一个动点，求IPQ的最大值.

解：（1）曲线G的普通方程为曰+产=1.

将直线/的参数方程代入曲线Ci的普通方程中得7/+41—4=0.

设A,3两点对应的参数分别为以，为，

44

则〃+力=_'，..=一亍,

所以|4阴=|〃—加|=,（〃+加）2—4以•加=^^.

（2）设尸（x,y）.曲线C2的普通方程为/+。-3）2=1,

所以曲线Q是以。2（0，3）为圆心，1为半径的圆，

所以|PC2|=«?+（厂3）2=yf—0+3）2+20,

因为一11,

所以IPC2I的最大值为4,

所以|PQ|的最大值为5.

x=fcosa,

2.（2020•广州市阶段训练）已知曲线G的参数方程为J-.（f为参数）,

y=i-rts\na

x=sin0,

曲线Ci的参数方程为《i------------（0为参数）.

、y=W+cos20

（1）求。与C2的普通方程；

（2）（一题多解）若Ci与C2相交于A,B两点,且N阴=也，求sina的值.

fx=rcosa,

解：（1）由J。为参数），得xsina—ycosa+cosa=0,

y=1+fsina,

所以曲线Ci的普通方程为“sina-ycosa4-cosa=0.

x=sin仇

由彳i------------（0为参数），

j=q14-cos20

得2x2+y2=2（y^0）.

所以曲线。2的普通方程为2x2+y2=2（y^0）.

x=tcosa,

（2）方法一：把j代入2^+）2=2,

y=l十fsina,

得Qcos^a+si/Gy+Zrsina—1=0»

由于J=（2sina）2+4（2cos2a+sin2a）=8>0,

设4,8两点对应的参数分别为力，d

.,2sina1

则"十f2=一五嬴寿豆，Z,Z2="2cos2a+sin2a

则.B|=|〃一，2|=Y（〃+，2）2-4,也=2cos密sin2a.

由于阴=的则2cos2aL产］近解得疝。=0・

经检验，sina=0符合题意，所以sina=0.

方法二：由（1）可知G是直线，且过点（0,1）,

。2是椭圆2?+尸=2在J轴上方（包括与x轴的两个交点）的部分，

如图，若G与。2有两个交点，

y

i\o

则G的斜率1],

设G：y=kx+1,A(xi,yi),B(xz>”),

\y=kx+1,

由彳°,9得(炉+2)f+2区一1=0,

,2JT+/=2,

由于/=(2k)2+4(F+2)=8d+8>0,

.2k1

则Xl+X2=一百工，X1X2=一百zy

\AB\=y](1+Zr)[(xi+x2)2—4xi%2]

7(1+-卜差)+&=2皿*7)

।厂2y[2(F+l)

由H5|=也，得Ya?—=也r，

解得2=0.则tana=0,得sina=0.

考点3

极坐标与参数方程的综合问题（师生共研）

画⑶（一题多解）（2020-贵州省适应性考试）曲线Ci的参数方程为

x=2+2cosa,

c.（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐

j—2sina

标系中，曲线。2的极坐标方程为pcos2j=sin。.

（1）求曲线Ci的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为磷3的射线/与曲线。2分别相交于A,B两

点（A,8异于原点），求|。4卜|0周的取值范围.

【解】（1）曲线Ci的普通方程为。-2）2+9=4,

即f+y2—4冗=0,

故曲线Ci的极坐标方程为p2=4pcos即p=4cos0.

由曲线C2的极坐标方程为pcos2^=sin仇两边同乘以p,得p2cos2®=psin仇

故曲线Ci的直角坐标方程为r=y.

TT7T

(2)方法一：射线/的极生标方程为6=(z,

把射线/的极坐标方程代入曲线Ci的极坐标方程得|OA|=p=4cosa,

把射线/的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|08|=p=黑/，

所以|OAHO8|=4cosa•^^=4tana,

因为T所以|。4|・|。5|的取值范围是仲手，4.

X=tCOS«,兀7T

方法二：射线/的参数方程为〈“为参数，7<a^7)«把射线/的

y=ts\na04

参数方程代入曲线Ci的普通方程得产一4/cosa=0.

解得/i=0,/2=4COSa.故|OA|=|0=4COSa.

同理可得|08|=吃卷，所以|OAHO8|=4COSa・朋=4tana,

wvzoCXwvzoCX

因为*所以|OAHO用的取值范围是呼，4.

恻倒用阳

处理极坐标、参数方程综合问题的方法

(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通

方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用一

和。的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.

Sfci七到EA(2020・六校联盟第二次联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C

x=3cosa，

的参数方程为.(。为参数)，在以原点为极点，x粕正半轴为极轴的极

j=sina

坐标系中，直线/的极坐标方程为psin(j-?=，i

(1)求曲线C的普通方程和直线I的倾斜角；

(2)设点P(点2),直线/和曲线C交于A,B两点,求解|十|「风

x=3cosa,r2

消去参数a,得d+V=l，

{产sina,v

即C的普通方程为§+)2=1.

由psin(。一：)=啦，得psin9—pcos6=2,(*)

(x=pcos6

将1八，代入(*)，化简得y=x+2,

ly=psin0

所以直线/的倾斜角为今

(2)由(1)知，点P(0,2)在直线/上，

71

x=tcos不

可设直线/的参数方程为彳（t为参数）,

兀

y=2+/sin

(t为参数),

[y=2十2t

代入方"+9=1并化简，得5»+18啦/+27=0,

J=（18V2）2-4X5X27=108>0,

设A,B两点对应的参数分别为A,d

则，|+/2=一噌<0,32=¥>0，

所以EiVO,r2<0,所以附|+|PB|=|川+同=一（力+/2）=粤3

知能提升•分层演练

[A级基础练]

1.(2020・高考全国卷I)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

。为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极粕建立极坐标系，曲

线。2的极坐标方程为4pcos16psin0+3=0.

(1)当2=1时，G是什么曲线？

(2)当左=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

x=cosr,

解：（1）当k=l时，Ci：消去参数/得f+V=l,故曲线G是圆

y=sint,

心为坐标原点，半径为1的圆.

Y=COS"P,

(2)当&=4时，G:*消去参数，得G的直角坐标方程为小+6=

、y=s】n力

1.C2的直角坐标方程为4x—16y+3=0.

1

X=4J

田=1，

由'G+;.解得

[4x-16y+3=01

4,

故G与。2的公共点的直角坐标为（"，1）.

2.（2020•开封市第一次模拟考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数

x=y]2cos3，

方程为"为参数）.以坐标原点。为极点，x粕的正半轴为极轴建

y=sin（p

立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为°=啦.

（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

⑵设P是曲线Cl上一点，此时参数3=；,将射线OP绕坐标原点O逆时针

旋转5交曲线C2于点。记曲线G的上顶点为点。求△07。的面积.

2

解：⑴由已知可得G：—+j2=l,

由x=pcos/y=psin仇

可得Ci的极坐标方程为p2（l+sin20=2.

由p2=f+）2可得曲线Ci的直角坐标方程为f+9=2.

（2）设点。的横坐标为出，

则由已知可得S„OTQ=^On\XQ\，

且点尸的直角坐标为（1,乎），

点尸的极坐标为（半，0）,

其中sin。=看，cos0=3，

点。的极坐标为俄伊局，

则有k而。s(6+*吟唔

所以S^OTQ=^\OT]-\XQ\

_lv.、/3啦一2小3啦一2小

-2X1X6-12-

3.(2020•南充市第一次适应性考试)在极坐标系中，己知曲线G：p=2cos。

和曲线C2：pcos6=3,以极点0为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角

坐标系.

(1)求曲线Ci和曲线。2的直角坐标方程；

(2)若点P是曲线G上一动点，过点P作线段0P的垂线交曲线C2于点Q，

求线段尸。长度的最小值.

112

解：(1)因为X=QCOS。，x+y=pf所以曲线G的直角坐标方程为(x—1产

+/=1,

曲线。2的直角坐标方程为x=3.

(2)设曲线G与x轴异于原点的交点为A,

因为PQLOP,所以P0过点A(2,0),

x=2+rcosa,

设直线尸。的参数方程为彳。为参数)，

,y=/sina

代入Ci的直角坐标方程可得产+2fcosa=0,解得力=0,亥=-2cosa,由

题意可知HP|=|3=|2cosa\t

代入C2的直角坐标方程可得2+fcosa=3,解得尸」一.

cosa

由题意知|AQ|=M=—，

所以「Q=l”l+gQ=|2cosa|+±22啦，

当且仅当|2cosa|=-^―时取等号.

Wlo(A

所以线段PQ长度的最小值为2a.

4.(2020•福建省质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

x=cosa,

3为参数)，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

j=sma

12

曲线。2的极坐标方程为"2=3+；器20.

(1)求曲线C|的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线Cl相切于第二象限的点尸，与曲线。2交于4,B两点,

7

且照WB|巧，求直线I的倾斜角.

x=cosa,

解：(1)因为曲线Ci的参数方程为J.(a为参数)，

y=sina

所以曲线G的普通方程为^+/=1.

2=22

因为曲线。2的极坐标方程为p2=3+:；2。'p^+y»psin6=yf

所以曲线C2的直角坐标方程为，+三=1.

(2)如图，设直线/的倾斜角为夕,

7[

则P在曲线Cl中的参数a=S+5,

故P(—sin£,cos6),

x=-sinB+icosB，

所以可设直线/的参数方程为1nl.z>。为参数).

j=cos夕-Hsinp

把直线/的参数方程代入今+5=1,

得(sii?£+3片+2(sin伙os£»+cos2^-9=0,

设A,8对应的参数分别为h，d

COS勿一9

则t\t2=

sii?/?+3'

cos2s-99—cos2^

则解|俨5|=|m2|=

sin2/?4-3siM夕+3'

又引=4

..9—cos2^7

所以sin2s+3=?

所以sinp=

2，

故£=$

即直线1的倾斜角为争

[B级综合练]

5.(2020•湖北八校弟一次联考)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为a的直

x=2+rcosat

线/的参数方程为r-.(f为参数).以坐标原点为极点，X轴正半轴为

y=Q3+，sina

极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=2〃cos®+8.

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C交于4,B两点，且-阴=4啦，求直线/的倾斜角.

x=24-rcosa,

解：(1)因为直线/的参数方程为，【产3+协/,为参数）'

所以当时,

直线I的普通方程为x=2,

当aw]时，直线/的普通方程为y-V3=tana(x—2).

将p?=f+产，pcos0=x代入p?=20cosJ+8,

得f+_/=2x+8,

所以曲线C的直角坐标方程为f+产-2x-8=0.

(2)由(1)知曲线。的直角坐标方程为f+)2一统-8=0,

将直线/的参数方程代入曲线。的直角坐标方程整理，

得i2+(2y[3s\na+2cosay_5=0.

易知/=(2，§sina+2cosa)2+20>0,

设该方程的两个根分别为小力，

则/i+/?=-(2Ssina+2cos«)»t\b=-5.

所以=|/|-/2|=\(/|+Z2)2—4/1/2

=4［一(2V§sina+2cosa)f+20=4啦,

整理得(，5sina+cosa>=3.

故2sin(a+5)=±\/§.

因为0Wa〈兀，所以

o66

所以0+聿=胃或。+5=与，

解得a=奈或a=2r

所以直线1的倾斜角为笈片.

02

6.(2020•昆明市三诊一模)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，

极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程是l+2si/0=提，直线/的极坐

标方程是pcos(。-3一6=0.

(1)求曲线C和直线/的直角坐标方程；

(2)设点P(2,0),直线/与曲线C相交于点M,N,求一祈+高的值.

解：(1)曲线C可化为02+2储5吊2。=6,

将1122代入上式，得《+3炉=6,

iy+y=p/

22

整理，得曲线C的直角坐标方程为*+5=1.

由Acos。一；)一正=0,得坐?cos。+坐psin9一啦=0,

x=pcos仇

八代人上式，化简得x+y—2=0,所以直线/的直角坐标方程

{y=psin0

为x+y—2=0.

(2)由⑴知，点P(2,0)在直线I上，故可设直线I的参数方程为

f3K

Ix—2।fcos4,

”.371（f为参数），即（f为参数）,

y=tsm

代入曲线。的直角坐标方程，得52—2啦f+d+BX/AnG,

整理，得』一也/一1=0,

所以/=（一啦）2+4Xl=6>0,/ir2=-1<0,

由题意知，焉+看=]^+力

lx=/cosa,

7.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.

ly=/sma

「为参数且分0,aefo,矶，曲线C'2的参数方程为厂一：°：，

I