高中平面向量知识点详细归纳总结

向量的概念

一、高考要求，

理解rr向线段及向量的市关概念，驾驭求向量:和及差的三角形法则和平行四边形法则，

铭驭向信加法的交换律和结合律.

二、学问要点，

1.行向线段：具有方向的线段叫做疗向线段，在行向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以

A为始点,B为终点的行向找段记作A乩留意:始点肯定要月在前囱.已知八6,线段AB的K

度叫做有向线段人/；的长（或模）,八8的长度记作AB.有向纹段包含三个要素：始点、方向

和长度.

2,向量:具有大小和方向的量叫做向量，只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到

向量，如不特殊说明，指的都是自由向量.一个向量可用后向线段来找示，行向线段的长设

茨示向量的大小，有向线段的方向表示向用的方向.用有向线段48表示向品时，我们就说

向昆力乩”外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、*，••等表示向ft;手写时可写作带甑头

的小写字母〃、。、c、…等.及向量有关的概念有二

（1）相等向量:同向口等匕的有向线段左小同响量或相等的向量.向量。和/＞同向H.等K,

即。和〃相笔记作。二人

Q）零向量:长度等于零的向国叫做零向山记作。.手向枭的方向不确定.

⑶位置向量:任给肯定Ao和向量一，过点0f1由向线段3=a,则点A相对于点0的位置

一向量£所唯一确定,这时向量a又常叫做点A相对于点0的位置向S.

⑷相反向量及向量u等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量，记作明显，

«+（-0）=6.

⑸单位向量：长度等于1的向量，叫做单■位向最,记作*•.及向量。同方向的单位向量通常

记作《，简单■看出:.

⑹共线向量（平行向量）：假如表示一些向显的G向戌段所在的直设相互平行或重合,即

这些向量:的方向相同或相反，则称这些向量为共纹向量（或平行向量）.向母a平行干向

呆M记作。〃3.等向景及任一个向后共找（平行）.

三、典型例题：

例:在四边形ABCD中.假如AQNOCIU/WI三旧Cl.那么四边影ABCD是嫌种四边形？

四、归纳小结：

】.用位置向量可确定一点相对于另一点的位置，这是用向虽探讨几何的依据.

2.共线向量（平行向量）可能行卜列状况：（1）仃一个为零向量：（2）两个都为零向量；（3）方

向相同.模相等（即相等向量＞：M）方向相同,模不等；（5）方向相反.模相等；（6）方向相反.

模不等.

五、基础学问训练；

（一）选择题：

1.下列命题中：（I）向盘只含有大小和方向两个要获（2）只有人小和方向而无特定的位置

的向辰叫白他向鼠.（3）同向且等长的有向线段表示同向后或相等的向轨⑷点A

相对•于点B的位置向量是披山正确的个数是（）

A.］个B,2个C,3个由4个

2.设0是正AABC的中心，则向量人0.03,0。是（）

A.有相同起点的向量R.平行向量C.模相等的向量D.相等向量

3"=b的充要条件是（）

A.|a|=|/>lB.|3|=|6|且口IC.a//hI）.I”1=1}I且。及。同向

4./U'=«/r是叫边形AKHX是平行四边膨的（）

A.充分条件比必燮条件C.充要条件D.既非充分乂非必要条件

5.依据卜列条件，能推断四边形ABCD是菱形的是（）

A.M)=HCB.Al)fJHC且人打〃⑺

C.AH=/）C]^\AH\=\Al）\bAB=IX'^AD=RC

6.下列关于零向量的说法中.错误的是（）

A.不向吊没有方向B.不向破的K度为。

C.零向量及任一•向量平行D,早向量的方向的意

，设及已知向量a等长11方向相反的向量为3则它们的和向量等F（）

A.0B.0C.2«D.2l

（二）填空题：

8.下列说法中：（1）4。及曲的长度相等⑵长度不等且方向相反的两个向;S不肯定共线

（3）两个有共同起点且相等的向量，线点必相同（4）长度相等的两个向量必共线.错误的说

法有.

9.下列命题中：（1）单位向后都相等（2）单位向鼠部共线（3）共线的单位向策必相等

（4）及一非号向量共线的单位向量有且只行一个.中正确的借期的个数有个.

10.下列命题中：（I）若㈤=0,则"=0.⑵若㈤=阔，则或（3>若”及「是平行

向盘,则la"IM.⑷若”=0,则-.=0.其中正确的命题是（只增序号）.

（三）解答题：

11.如图，四边形ABCD±ABDE都是平行四边形.

（1）若AE=a，求OB;

（2）若C£=A,求A";

（3）写出和八8相等的全部向成；

⑷写出和,3共线的全部向昆.

向量的加法及减法运算

一、高考要求：

驾驭求向星和及差的三角形法则和平行四边形法则.驾驭向量加法的交换律及结合律.

二、学问要点：

1.已知向量。、〃，在平面上任取一点A.作好=a,8C”,作向量AC,则向量AC叫做向量”

及6的和（或和向量），记作即““=AB+加=/.这种求两个向质和的作图法则,叫

做向量求和的三角形法则.

2.已知向昆八以在平面上任取•点A,作人8=“，ADM,找如A、B、D不共”则以AB、AD

为邻边作平行四边形AIO,则对用线上的向呈衣入地YBJD.这种求两个向量和的作

图法则，叫做向量求和的平行四边形法则.

3.已知向量a、/>,在平面上任取一点0,作痴=%（用=4则/二/向量8人叫做向量。及白

的均并记作a-方，即从t-C-b=OA-OB.由此推知：

⑴假如把两个向战的始点放在•起,则这两个向量的差是减向量的终点到被诚向量的

工的向量；

⑵一个向量必等于它的终点相对于点0的位置向酸。人减去它的始点相对于点0的位

置向刑08；

（3）♦个向月:减去用•个向鼠等于加上这个向最的相反向景.

4.向显:加法满意如下运算律：（】）〃+。=/,+4；（2）l"+〃）+r=a+（6+«-）.

三、典型例题：

例1:已知随意两个向量£、九不等式|a+6|於lal+BI是否正确?为什么？

例2:作图验证：/+历=-。-£

四、归纳小结：

1.向鼠的加法有三角形法则（48/8「=4「）或平行四边形法则（/^十人/）=片。）,向最的减法

法则《八8=08-OA）.

2,向量的加款法完全不同于数量的加减法.向量加法的三加形法则的特点也各个加向量的

苜尾相接,和向*是首指向尾.向fit减法的.向形法则的特点,：L减向量和被减向量同起点,

差向盘是由减向量指向被充向量.

3.任一向盘等于它的终点向量标去它的起点向量（相对F一个基点）.

五、基础学问训练：

（一）选择题：

1.化简小8-人C+8D+X的结果为（）

A.ACB.ADC.0D.0

2.任ZkABC中，BC-亿。I・b,则八6等于（）

A.4J4-6B.-（a4/>）C.a-bt）.b-a

3f列四式中不能化而为AD的是（）

A.{/4tf+C«）+fiCB.（Ab+MH）^-（HC+CM）

C.MB+AD-BMD.OC-CA+CD

4如图，平行四边形ABQ）中，下列等式错误的是（）

A.AD=AB+BDB.AD=AC^CDC.4D-Atf+^C+CDD.AD=LK'^CA

5.F列命题中，错误的是（）

A.对Rfijft两个向最£、一都有|♦♦川SlikUIB.在ZUliC中，A/J+6C+CA=0

C.已知向呆人以对平面上随意一点0,AR=Oft-OA

0,若三个非零向量£、b、r满意条件。+力+（：=。,则表示它们的有向线段肯定能构成三蒯

形

6.下列等式中，正确的个数是（）

（1>。+0=。；②小十“=”十万；③一（一。）=";（1,a+<-a>=0;®a+（-/»）=a-Z?.

A.2B.3C.lD.5

C二）填空题：

"△ABC中，八A+C、=,BC-AC=.

7.化/：AB-AC4-BD-CD=,M4+&f=.

（三）解答题；

8.若某人从点A向东位移fiOm到达点B,乂从点B向东僻北30方向位移50m到达点€,再从点

C向北偏西60方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.

数乘向量

一、高考要求:

驾取数乘向量的运算及其运算律.

二、学问要点：

1.数乘向员的一般定义:兴数2对向员a的族枳是一个向后.记作

当A>0时，Aa及a同方向，IAa\-IAl|a|;

当/vO时,AaRa反方向.|Aa\=IAl|a|；

当4=0或a=0时,0a=20=0.

2.数乘向量满意以下运算律：(1)la=a,<-l)a=-/i;⑵/(">=(办W：

⑶(4+=入a+N(I：(1)/«a+6)=2a+Ab.

三、典型例题：

例1：化简:—(</+2/>)——(5fl-2b)+•一〃例2：求向ns'x:2(.t——a)=—S-3.v+c)-c

46342

四、归纳小结：

向量的加法、减法及倍枳的综合运算,通括叫做向量的线性运算.

五、基础学问训练：

C-)选择题；

1.下列关于数乘向量的运算祁错误的一个足()

A.(/+〃W=2a+〃aC.4(a+B)=4a+4bD.JL(a^b)=Aa-i-b

2D,E,F分别为△ABC的边BC,CA_,AB上的中点，11SC■a6."给出b列命题,其中正确命题

的个数是0①:②;③:④AD+8E+M.0.

A.1B.2C.3I).4

3.已知AM是ZkABC的BC边上的中线.若AB=a,AC^b,则AM等手(>

A.B.C.D.

4.设四边形ABCD中，有，且设01Tbe,则这个四边形是(

A.平行四边形B.矩形C,等腰梯形D.菱形

C二)填空题;

5.化询：21%-9，6-3(2"+6-犷产，

6,若向早A满意等式;1+2«a+二)=。，则.<=,

7.故乘向吊痴的几何意义是，

(三)解答题；

8.已知向量(也称矢量)/瓦求作向量.

a

9.已知一、8不平行，求实数x、y使向量等式

3xa+(IO-y)/>=(4y+7)d+2m怛成立.

10.随意四边形ABCD中，E是AD的中点.F班BC的中点，求证:.

平行向量和轴上向量的坐标运算

一、高考要求：

驾取向最平行的条件.理解平行向后战本定理和轴上向后的坐标及其运算.

二、学问要点：

1.平行向量西本定理：假如向量bwO,则“〃/，的充分必要条件是，存在唯一的实数，使

”=26该定理是验证两向量是否平行的标准.

2.已知轴，，取单位向量乙使e及，同方向，对轴，上随意向电明肯定存在唯一实数泉使。=/.

这里的x叫做£在轴，上的坐标(或数量)，x的肯定值等于“的长,当。及;同方向时,x是正

数.当。及e反方向时,x是负数.

{1}设a=.y,b-=xze,则①”》当II仅当演=与：②a，£=(内+%M.

这就是说，轴I•.两个向最相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向导和的坐标等

于两个向量的坐标的和.

(2)向量A8的坐标通常用AB表示，常把轴上向量运算转化为它f］的坐标运算.得网名的

沙尔公式:AB+BCMC.

(3)轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等r・它的终点坐标减去•起点坐

标.即住轴x.匕岩点A的坐标为小点B的坐标为％则AB-内3.可得利数轴上两点的用离

公式:|人身・|马-力.

三、典型例跟：

例1:已知:卅是△ABC的中位缘求证：MN」8CMN〃nc.

2

例2：己知:，试问向量G及1是否平行?并求lahlW.

例3:己知：A、B、C、I)是轴，上随意四点，求

证：A8+Hr+(7)+/M=0

四、归纳小结；

1•平固对量基本定理给出「平行向量的男等价的代换式,可以通过向量的运算端决几何申

的平行何题,即推断两个向后平行的掂本方法是,一个向呆是否能写成另一向累的数乘形

式.

2.数轴上任一点p相对「原点o的位置向量o『的坐标.就是点P的坐标，它建立r点的坐标

及向呈坐标之间的联系.

五、基础学问训练：

C-)选择题：

1.假如。=，汕("jw/?./»*6),那么。及6的关系肯定是()

A.相等B.平行C.平行11同向D.平行且反向

2.若人“="C/)=-5,；,HI八D|=|CM,则四边形ABCD是(

A.平行四边形B..梯形C.等幅梯形D.菱惚

3.“qq+〃：G=O+是“4=0旦％=0*的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

(二)填空题：

4.a=3e.b=-6e,那么。及6的关系是.

5.在他上，若A&-£8d・23,®JAC=.

6.已知:数轴上三点A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则以=,|C8|=.

(三)解答题；

，已知;点E、八G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证:EF=HG.

向量的分解

一高条尊或，

,理解平面对俄的分解定理.

二、学问要点，

1.平面对量的分解定理:设4,a是平面上的两个不共畿的向量，则平面上随意一个向量，陡

唯一地表示成q,az的线性，IL合,即+为〃；（小士GR）.

2.内线的向量参数方电

（I为参数）：①A夕=〃后：②。户=~+川方；③。0=特

殊地.当I=：时,.此为中点向或表达式.

三、典型例题：

例I:如图,在AABC中，M是AB的中点,E是中线CM的中点,AE的

延长线交BCTE.MH/7AF,交BC于点H,设八4=“.AC=b,试用基底

a.b表示BH、MH、EC.

例2:如图,A、B是白线，上触息两点,0是外一点，求证:点P在

直线I.的充要条件是：存在实数t,使»=（1）3+〃用.

四、归纳小结：

平面对量分解定理名♦为我们：平面上取定两个不平行的向量

作为基向及，则平面上的任一向星都可以表示为荔向量的线性组

介.「是，向量之向的运算转化为对两介向4：的线性运算.

五、基础学问训练：

（一）选择题।

1.如图,用基底向俄6、4表示向量a,h、c、4.不正确的一个是

（）.J

A.4=-f,^2e2B.b=2et^3e,C.c=3e^e,D.ti=el+3/2

2.在平行四边形ABCD中,0是对用线AC和口）的交点，A/?=2e,>C=4r,，则勿—等于（

A.AOB.HOC.COI).DO

3.己知平行四功形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点M.设八"=〃,"）="则用基底向量*

b分别表示MA、M/?、MC、M7）中，错误的一个是（）

A.B.C.D.

4.若点P满意向后方程4户=38,当［在R内的意取值时，点P的轨迹是（）

A.直线0AB.直线OBC.直线ABD.一条地物线

（二）填空题：

S.已知0、A、R三点不共线，则用向量04、分别表示线段AB的三等分点P、q相对于点0

的位置向量为.

6.在aABC中,DE〃BC,并分别及边人氏K文于点D、E,假如AD=；AB,AA=a.AC=〃，则用*

b表示向量OE为.

7.正方方ABCD中，E为DC的中点，AA=a"）=力，则施三.

8.平行四边形的边BCWCD的中点分别为E、"把向员".表示成人8、A。的线件组合为.

C三）解答题：

9.ABCD是梯形,AB〃CDH.AB=2CD,M,N分划足DCftAB的中点，AR=u.AD=b.求BC和ZN.

向量的直角坐标

~"、高考要求1

驾驶向量的收角坐标和点的坐标之间的关系，娴熟驾驭向量的n角坐标运算,会求满意

肯定条件的点的坐标.穹驭平行向电坐标间的关系.

二、学问要点：

1.在直向坐标系XOY内，分别取及乂轴、及y轴方向相同的两个单位向量e；、o,在X0丫平面

上任作一向呈。，由平面对量分解定理可知，存在唯一的有序实数对(0士),使得

则但,“叫做向量。住直向坐标系中的坐标,记作“=(西,.).

a=xIel4-x,^,XOY

2.向最的直角坐标;随意向量AR的坐标等T•终点B的坐标减去起点A的坐标,即若AU,.y,)、

则八七一心■>>;).向段。的直角坐标(%%).也常依

B(x:,v2),E=tWiQ4=(x；C-a.y)=(4

据向量的长度和方一代求：I<:|co吆勺

3.向量的坐标运算公式:设a・g.g)$・0")，则；

■■■■

也)=(4+4•4-%):〃4。=(4.%)・(4.生)二(〃]一%・"：・幻;

zo=2(吗•％)=(&,〃]1・

三、典型例题：

例1：已知A(-2,D、B(l,3),求线段AR的中点M和三等分点P、Q的型标及向量PQ的地标.

例2;若向星a=a/)，=(I.T)、3=(T.2),把向星c表示为。和，，的线性级合.

四、归纳小结；

1.向员隹直用坐标系中的坐标分别是向量在'轴和y轴上投影的数显，向量的直用坐标运兑

公式是通过时转向国的运算得到的.

2.要求平面上一点的坐标，只须求出该点的位置向量的坐标.

五、基础学问训练：

(一)选择题；

1.已知向量。=亿3),向量♦=(-□),下列式子中错误的是()

A.a♦/>=(l,4)B.«-/>=(3,2>C.=(10,15)D.-2*；=<4,6)

2.已知“二日四工人二色也)，则”=方的充要条件是()

A.q-h,B.a,-b2C.a,=htfl.a.=A,D.a,-h,«!ca.-h,

3.己知点A(-L,1),B(F,5),若EC=384,则点C的坐标是()

A.(70,13)B.(9.-12)C.(-5,7)D.(5,-7)

4.已知点A(l,2),8(7,3),OAf=2OA,。*=寅/，则A'&的坐标是()

A.(-5,5)B.(5,-5)C.<-l,13)D.(1,-13)

5.已知A(】，5),B(-3,3),则的重心的坐标为()

A.B.C.D.

6.已知向量a=(l.-2),向量/>=(-2.3),则3吁2/>等于()

A.(-1,-12)B.(3,-5)C.(7,-12)D.(7,0)

7.已知。二(・4,4),点A(1,T),B(2「2),那么()

A.a=AfiB.alAfiC.|Z|=M。D.it//Afi

8.已知点A(l,2).B(k.-lO),C(3,8).且此氏C三点共线.则k=()

A.-2B.-3C.-4

9.tlX0rw=(3.2),rt=(x,4),m//n,则K=()

A.6B.-6C.--D.-

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(二)填空题:

10.设平行四边形ABCD的对角战交于点0,Afj=G.7),48=(-2*,则加的坐标是.

11.己知〃=(-1.2)为=。.-1).?=3-2),且3=074妙则以4的值分别为.

12.若向昆>=(2,M及人〃小81是方向相反的向指则m-.

(三)解答题：

13.已知a=(1.2).7>=(-2.-3),实数x,y满意等式、a+M=(3.~4),求X,y.

14.已知向员OAT3.4),将向负：0人的长度保持不变绕隙点。沿逆时针方向旋转q到Qf的位

置,求点H的坐标.

(1)向量1=(-3.4),/1),点A的坐标为(1,0).求+力;⑵若,求B点的坐标.

向量的长度和中点公式

一,高考要求：

,娴熟驾驭.录的长度(梗)的计算公式(即两点间的距离公式)、中点公式.

二、学向要点：

1.向量的长度(模)公式:若」=回吗)，则京1=而77：

若A(A|,.V|)>则IA&Z♦(,%・,/•

2.中点公式;若点M(x,y)是线段AB的中点，M,

三、典型例题：

例I:已知平行四边形ABCD的顶点A<-l.-2),«(3,1),C(0,2),求顶点I)的坐标.

例2:已知A(3,8),B(-ll,3),C(-8,-2),求证:AABC为等腰三角形.

四、归纳小结，

向量的长度公式、距离公式是几何度量:的最基本公N,中点公式是中心对称的坐标表示.

五、基础学问训练：

C-)选择题；

1.已知向量。=(3,5)的长度是1则m的侑为()

A.4B.-4C.±4D.16

2.若A(】，3),B(2.5),C(4.2),D(6,6),HliJ()

A.AR=CDB.IAfiHCDIC.AKflCDD.ARLCD

3.已知平行四边形ABCD的顶点A(3.0),B(2,-2),C(5.2),则顶点D的坐标是()

A.(0,4)B.(2,2)C.(-1,5)D.(1,5)

4已知点P的横坐标是7,点P到点N(-l,5)的距离是10,则点P的坐标是()

A.(7,11)B.(7,-1)C.(7,1D或(7,T)D.(7,71)或(7,1)

(二)垠空题：

5.已知A(-3.4),B(4.-3),则人6=,I人由=,线段AB的中点坐标是.

6.已知点P(x,2).Q(・2,3),MU,且I而I=I尸为，则x的值是.

C三)解答厥：

7,已配平行四边形ABCD的顶点A(H.-2),B(3,-1),C(3,I),求顶点I)的坐标.

8.已知点A(5,D,B(l,3),及,,求人皆的坐标和长度，

平移公式

一、高考要求；

驾!仅平移公式,会求满意肯定条H的点的坐标.

二、学问要点：

1.平移是一种基本的几何(保距)变换，它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的

平移

2.在图形F上任取一点PG,y),设平移向量。=(%外)到图形尸'上的点〃",力，则点的平移

公式为：f=x+q.)，=>+。,.

三、典型例题：

例1:种函数)，=/的图aF平移向我。=(2.-3)到尸的位置.求图象尸，的函数解析式.

例2:已知抛物线F:y・x、6x+”经一平移变换为广：y■己求平移变换公式.

四、归纳小结；

点的¥移法则：函数y=「(x)的图痣平移向量曲)后，得到新图形的方程是:y%=Ux«,>.

这就是说,在方程y=f(x)中,把K,y分别换成x-4,y-卬即可得到图象尸的方程.

五、基础学问训练।

(一)选择题：

1.点A(-2,1)平移向量a=(3,2)后，得到对应点A的坐标是()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

2,将函数),=不］的图象F,平移向量。=(-3,1)到图象尸，则尸对应的解析式是()

A.y=2(#+3-+IB.y=2(4+3)：-lCy=2(*-3):+lD,)=2(月・3户7

3,将函数y=2x的图象，，平移向量。乂0,3)到八则，，的方程是:()

A.y=yxB.y=2(x+3)€.y=6xD.y=2x+3

4.将函数_v=sinn的图豕右移1个单位，平移后对应的函数为()

A.B.C.^'=a)s«-,rD.y=-oos/TA

5.将函《(y=sin2x的图象平移向展“得到函数的图象,则〃为()

A.(--,0)B.(-,0)C.(--,0)D.(-,0)

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6.将方程xTx-4y-8=0表示的图形经过平移向蚩Z变换到x：=4y的图形,则>()

A.(2,3)B,(-2.3)C.(2,-3)I).(-2,-3)

7.函数j・=2a+2)-的图象平移向量］后得到函数)・=2F的图象，则1为()

A.(2,I)B.(-2.1)C.(2,-1)I).(-2,-1)

C二)填空题；

8.在平移交换下,点A(1,0)变为A(4,3),则平移向量2=.

9尸：抛物线y=/-l4h57经一平移变换到八y=x:其平移变换公式为.

10.把图形F平移向最7=(2,3)后得到图象尸,已知尸的解析式为y=/-6.v+l4,则F对应的函

数解析式为.

(三)解答题：

11.已知函数的图象为F,把F平移向量。=(3,2)到图单/，求图单产的表达式.

向量的射影及内积

一、高考要求；