高考数学一轮复习高考大题专项练5高考中的解析几何含解析

高考大题专项练五高考中的解析几何

一、非选择题

1.设A,8为曲线。:片厂上两点，/与£的横坐标之和为4.

4

⑴求直线月8的斜率；

⑵设必为曲线C上一点,C在."处的切线与直线4?平行,且AMA.BM,求直线4?的方程.

解：（1）设A（xhyi）,B@,㈤,则汨羊也,刃〒，鹿干，小,彭泡，

于是直线力8的斜率女=^=」^=L

1-24

⑵由尸，得尸亍

设.1/（^3,y-s）,由题设知三=1,

解得照=2,于是M2,1）.

设直线48的方程为y=x+m,

故线段48的中点为川（2,2甸，/恻/=/m1/.

将y="■必代入万丁得x~4x~4加=0.

当A=165+1）加，即m>~l时，^2=2±2y/~+T.

从而lAB/=42/xi-x2/=1V2（—+1）.

由题设知力笈/2〃例”，

即4J57+1）=25柏,解得加=7.

所以直线力8的方程为尸”7.

2.已知曲线。:尸〃为直线尸-上的动点,过〃作C的两条切线,切点分别为A,B.

⑴证明：直线。过定点;

⑵若以《0,3为圆心的圆与直线力?相切，且切点为线段力?的中点,求该圆的方程.

答案：（1）证明设［，-；）,/（小,珀，则彳之儿

由于y，=x,所以切线DA的斜率为击,故上二汨.

r

整理得2以广2y㈤=0.

设4(照,㈤，同理可得2以「2%+1=0.

故直线力〃的方程为25-2W14).

所以直线14过定点(0,0.

⑵解由⑴得直线"的方程为y=tx^.

f=+；,

由12可得

于是不出2=2tty\-(-y2=t{x\+XL)+1=2#*1.

设必为线段AB的中点,则.«,2+J

由于一-；而一=(t,t2~2),―与向量(1,，)平行，

所以^(?-2)解得依或t=±l.

当£空时，/~所求圆的方程为-1)%;

当£-±1时，/~'他,所求圆的方程为-|7N

3.设抛物线C:寸心、点3(2,0),8(-2,0),过点力的直线1与C交于极3两点.

⑴当，与x轴垂直时,求直线掰的方程:

⑵证明：/48心乙仍M

答案：(1)解当，与x轴垂直时，/的方程为片2,可得J/的坐标为(2,2)或⑵-2).

所以直线砌的方程为片或尸5T.

⑵证明当/与才轴垂直时，力8为腑，的垂直平分线，

所以NABM=/ABN.

当/与x轴不垂直时，设1的方程为y=k(x-2)(A^O),Mxi,yi),N(x2,刑)，则汨Y,在见

由［-2),得〃於21回，

I=乙

可知必小=,

直线BM,例『的斜率之和为=一：①

1+22+2（［+2）（2+2）

将Xi—*2,及=2+2及乂/M%的表达式代入①式分子,可得

生力+汨%也（%^2）"」"（"2）=—4）.

所以k榭+kB\R,可知B礼外的倾斜角互补，

所以NABM=/ABN.

综上，4ABM=4ABN.

4.已知中心在原点0,左焦点为四（-1,0）的椭圆C的左顶点为A,上顶点为瓦£到直线力8的距离为

y/W

⑴求椭圆，的方程；

2222

⑵若椭圆61的方程为fd—（加才以）），椭圆C的方程为一jH—2=（“况且X工1）,则称椭圆Ci

是椭圆G的4倍相似椭圆.如图，已知G是椭圆。的3倍相似椭圆,若椭圆。的任意一条切线/交

楸圆G于两点瓶N,试求弦长/秘V/的取信范闱.

解：（1）设椭圆。的方程为一+一二1（9/水）），

，直线48的方程为^—I--1.

・"（T,0）到直线力4的距离d-.；?=如,才M=7（a-1）2.

V2+27

又lf=a-l,解得a=2,Z）=\/3,

故椭圆C的方程为；■+k=1.

43

⑵椭圆C的3倍相似椭圆Q的方程为《+二=1,

①若切线/垂直于X轴，则其方程为442,

易求得/腑/9通.

②若切线1不垂直于才轴,可设其方程为y=kx+b,

将尸府历代入椭圆C的方程，得（3用〉疗那劫尸4匕12力,

・•・A=（846）29（3尚芯）（4炉一12）工8（4足+3-历R,

即炉可N+3,（近

设M,N两点的坐标分别为（小,'），（*2,㈤，

将切代入椭圆G的方程,得（3片冷f用相次也9—364,

,LLn4,842-36

此时M,照二句"可小心工p下，

/,“3（122+9-2）

Mr?尸―一，

:.网■吗+看"存叫］+G

・・・3用★。3,・・.1<1停工/

即2遥<2^J1+7^-2^472.

综合①©,得弦长"W/的取值范围为［2遍,4方］.

5.已知椭圆C:+一=1（届功刈的离心率为今且过点4（2,1）.

⑴求。的方程:

⑵点制N在。上,且力肛例ADLMN,。为垂足.证明:存在定点Q,使得/%为定值.

答案：（1）解由题设得为+心力,—=

解得才8电所以。的方程为=+—刁

03

⑵证明设玳小,y）,MM,㈤.

若直线JW与x轴不垂直,设直线JW的方程为y=kx+m,代入;+J=1

06

得（1+2女2）x他kmx也#-6=0.

于是M泾三①

由力ML4V知--->•---->=0,

故（汨-2）（照-2）+（y】T）（度T）=0,

可得（/+1）小照+（〃0-4-2）（用+照）*（/»-l）2-M=0.

将①代入上式可得（人1）篇=-（既-公2）号^+（初-1）2陷4整理得（2右3"1）（25加-1）=0.

因为4（2,1）不在直线.机V上,所以2女加TWO,

故2k埒m+lR,21.

于是•映的方程为y="-|）一321）.

所以直线助V过点需,-?.

若直线助V与X轴垂直,可得以为，

由一k•一得（小-2）（汨-2）Ay.-1）（-yi-1）力

又一+一二1,可得3彳~8乂司R.

解得乂却舍去），若.此时直线榔过点电,6）.

令0为4的中点，即砥，g）.

若〃与尸不重合,则由题设知"是RtZ\4产的斜边，

故/因耳/474.

若〃与P重合,则IDQ/^IAPI.

综上,存在点祐，J使得/制/为定值.

6.已知椭圆△一+-=1（9加0）的离心率为也以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-

y^/6-O相切,过点一（4,0）且不垂直于x轴的直线1与椭圆C相交于48两点.

⑴求椭圆。的方程；

⑵求的取值范围;

⑶若8点关于X轴的对称点是£证明：直线AE与A■轴相交于定点.

答案:⑴解由题意知，一=舞"即鹏

又a=l)-f-c,所以a=2,Z?=\/3.

故椭圆。的方程为:+产=1.

⑵解由题意知直线1的斜率存在,

设直线/的方程为

=(一4),

由22可得(3掰如)/一32A"64*T2R.

(T+T=1>

设A(xhyi),8(x2,72),

则4-322A*-4(3V4A2)(64^-12)加,

所以

4

,322642-12公

则小块下厂‘乱"3『•①

所以*•＞和照力/i座

二为生小人小⑷仪⑷

=（1+1＜）M照~4分（小+照）+16/

E11）•喘生八言？16六

因为。或q,所以手忘―吁,

则YW25一〈号

即一.一中,胃

⑶证明因为B,£关于x轴对称,所以可设£（a-⑸,

则直线4?的方程为尸y=^（『小）.

2

令片0,可得广汨r1（「2）

因为（小Y）,%=A（X2Y）,

所I、j212-4(1+2)2x26得1

所以X上—y-=一吊”2什=1,

1+2-8.-8

3+42

所以直线力£与矛轴交于定点(1,0).

7.(2021新高考/,21)在平面直角坐标系宜/中，已知点£(向,0),E(X/H,0),点/满足/痂卜

/；物/=2.记"的轨迹为C.

⑴求轨迹C的方程；

⑵设点7在直线号上,过7的两条直线分别交轨迹C于4〃两点和P,0两点,且

/必/・/阳/=/9/・求直线48的斜率与直线用的斜率之和.

解：⑴•・•/班HMA/=2，且E(V17,0),((V17,0),

22

==忌

2=2+2,

2=i,1

.(

•••)2=16.

[2=17.

J。的方程为frj=l(x21).

10

⑵设/(；,),显然直线AB的斜率与直线PQ的斜率都存在.

设直线力6的方程为y=k{

得16H12-+3+2,-2卜6,

即（16-।）+{J-2A1Z7）x-j*hmdT6=0.

••ITA!•/TB/=(1^I)[(i-0(2-0]

设k*k?、同理可得/%/・/%/=("!)•普.

216

'：/TA!•lTBl=/TPl•iTQh

•••2V)'4^-

:.1-16j=j-16金

•2_2

••1-2-

,:k\手kz,：・k\=-kz.

:.k\+k?=Q.

8.如图，已知椭圆一+一口的左焦点为区过点尸的直线交椭圆于48两点,线段力4