重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（含答案）

1PAGE第1页重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一期末测试数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，．若，则（）A.4 B.2或2C.2 D.23.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.4.若且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.若幂函数的图象过点，则的定义域是（）A. B. C. D.7.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.58.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.为了得到函数的图象，只需（）A.将函数的图象向左平移个单位长度B.将函数的图象向左平移个单位长度C.将函数的图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度10.若定义域为.对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）A.是倒数函数B.是倒数函数C.若在上是倒数函数，则D.若存在m>0，使得在定义域上是倒数函数，则11.已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是（）A.若，，则，，，B.设，若，则实数的取值范围为0,2C.设，若，则实数的取值范围为D.已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________.13.已知函数，且，则______．14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设全集，集合．（1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值；（2）若，求．16.设函数.（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）解关于的不等式；17.某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：时间月1234浮萍的面积35917现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中均为常数，且.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．19.函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，．（1）求并证明函数为奇函数；（2）证明：函数在上单调递增；（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一期末测试一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.【答案】ACD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】①.②.13.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解】【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解；（2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解.【小问1详解】解：因为集合，且集合A恰有一个元素，所以，解得；【小问2详解】因为集合，且，所以，，解得，，所以，则．16.【解】【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值.（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.【小问1详解】函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设，所以的取值集合为.【小问2详解】依题意，，整理得，当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.【解】分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后计算可求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算可求解.【小问1详解】应选择函数模型②.依题意，得，解得，所以关于的函数解析式为.【小问2详解】，理由如下：依题意，得，，，，.18.【解】【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.【小问1详解】对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.【小问2详解】因为在上递增，故，即，，由，故，得，从而在上单调递增，故.【小问3详解】①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；②若，故在上单调递减，从而，解得(舍)或，从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得.由，可得，又在单调递减，故当时，，从而，解得，综上，故实数的最大值为.19.【解】【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数；（2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明；（3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可.【小问1详解】因为，令，则，得；令，则，得；，令，依题意得，即，所以是奇函数.【小问2详解】由得，即，，，，则，