2024-2025学年上海市西中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

参考答案一、填空题

1.已知集合,则_________.

【答案】

【解析】,则

2.如图所示,弧长为,半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周,所形成的几何体的表面积为__________.

【答案】

【解析】如图，弧长为，半径为1的扇形，则扇形的圆心角为，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体,该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积:.故答案为:.

3.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数__________.

【答案】2

【解析】因为，是纯虚数，所以.故答案为:2.

4.已知平面向量,则在方向上的投影坐标为_____.

【答案】

5.设，则方程的解集为__________.

【答案】

6.某校的"希望工程"募捐小组在假期中进行了一次募捐活动。他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元。要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天__________（结果取整）

【答案】14

【解析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天，

则,整理得:,又为正整数，当时,；当时，，的最小值为14,即这次募捐活动至少需要14天。故答案为:14.

7.已知集合.若""是""的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】解不等式即解,

因为是减函数，所以即，解得或，

所以或,解不等式即解，

因为是增函数，所以，解得，

所以.

因为""是""的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，

所以，所以实数的取值范围是.故答案为:.

8.奇函数满足对任意都有，且，则_________.

【答案】-e

【解析】因为,所以,

又因为为奇函数，所以，

即，则有，所以函数是以4为周期的周期函数，

所以,

因为奇函数的定义域为，所以，

在中，令，则有，所以，

在中,令,则有,所以,

所以,故答案为：-e.

9.直角三角形中,,点是三角形外接圆上任意一点,则的最大值为__________.

【答案】12

【解析】如图建立平面直角坐标系，，

三角形外接圆,设,则,，故答案为:12.

10.已知,若命题:"存在,使得"为假命题,则的最小值为____________.

【答案】8

【解析】因为命题："存在，使得"为假命题，则"任意,都有"为真命题,

对于,所以,

要使"任意,都有"为真命题,则,即,

因为,所以,

当且仅当,即,上式取等.所以的最小值为8。故答案为：8。

11.如图所示,在平面直角坐标系中,动点以每秒的角速度从点出发,沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为_______.

【答案】

【解析】当在大圆上半圆上运动时，，

由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为；

当点在小圆下半圆上运动时,,

可得点纵坐标为.动点的纵坐标关于时间的函数表达式为.故答案为:.

12.已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由,得,

记，则有，即为偶函数，

又当时,恒成立,即在上单调递增,

由,得,

于是即，

因此,即,解得,所以实数的取值范围是.

故答案为:

二、选择题

13.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中的真命题是（）

A.若，则B.若,则

C.若,则D.若，则

【答案】D

【解析】对于D选项，由平行的传递性可知D选项成立；

对于B选项，直线不一定相交，根据面面平行的判定定理，面面平行不一定成立，错；对于C选项，与也有可能相交，错；

对于D选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错。故选:D.

14.已知四条双曲线,,

关于下列三个结论的正确选项为（）

(1)的开口最为开阔；(2)的开口比的更为开阔；(3)和的开口的开阔程度相同.

A.只有一个正确B.只有两个正确C.均正确D.均不正确

【答案】

【解析】以双曲线的渐近线的夹角来衡量双曲线的开口大小，用来表示四条双曲线的开口大小，容易得出，，(1)，(2)，(3)判断都错误，所以选D.

15.已知与都是定义在上的奇函数,且当时,，若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】若恰有4个零点，即和有4个交点,画出函数的图象，如图，

结合图象得:,解得：，故选:C.

16.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的交点，若,则与的离心率之积的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】

【解析】设椭圆方程为,双曲线方程为,

如下图，连接，所以为平行四边形，

由得,设,在椭圆中，由定义可知：，由余弦定理可知：在双曲线中，由定义可知中：：，

由余弦定理可知:,,

,，当且仅当时取等号，所以,所以与的离心率之积的最小值为.

故答案为：

三、解析题

17.记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列。

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求的值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由题意,所以,当时,,两式作差得,

所以,则数列为常数数列,且,所以;

（2）由于,

所以，数列为首项为，公比为的等比数列，。

18.如图所示,等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt和Rt组成，.现将Rt沿所在的直线折起,点移至点,使二面角的大小为.

(1)求四棱锥的体积;

（2）求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知，有，所以.连接,由,有①；,有平面,所以,②；

由①②知,平面,所以就是四棱锥的高,在中,.故四棱锥的体积为：

(2)取的中点,连接,则，故既是与所成角或其补角.

在中，，则.故异面直线与所成角的大小为.

19.某商场零食区改造,如图,原零食区是区域,改造时可利用部分为扇形区域,已知米,米,区域为三角形,区域是以为半径的扇形，且。

(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带,求广告带的总长度;

(2)在区域中,设置矩形区域作为促销展示区,若设,求当取何值时,促销展示区的面积s取到最大值，并求出s的最大值。

【答案】(1)米(2)时,平方米

【解析】(1)因为,

所以,则,

所以弧长,

所以广告带的总长度为米;

(2)如图,连接,因为,所以,

因为,所以,所以,

所以,因为,当,即时取得最大值,所以,

所以S的最大值为平方米。

20.在双曲线中,分别为双曲线的左右两个焦点,为双曲线上且在第一象限内的点,的重心为，内心为。

(1)求内心的横坐标;

(2)已知为双曲线的左顶点，直线1过右焦点与双曲线交于两点，若的斜率、满足,求直线的方程;

(3)若,求点的坐标.

【答案】（1）2（2）（3）【解析】(1)依题意,双曲线的焦点,作出的内切圆,为圆心,切点分别为,,如图，设点的横坐标为,显然轴,，

由双曲线定义知，解得,所以内心的横坐标为2；

(2)点,显然直线不垂直于轴,否则由双曲线对称性得,

设直线的斜率为，则直线，

由，消去得：，

显然，设，

则,

解得，即直线，所以直线1的方程为;

(3)设点,则的重心,

因，则，而，

,

又，联立解得，

从而有,解得,即点,所以点的坐标为.

21.已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程;

(2)求的单调区间;

(3)若方程有解，求的取值范围。

【答案】（1）（2)(3)【解析】(1)由题,所以,

所以,又,所以曲线在处的切线方程为:,即；

（2）令得，所以，令得，