2024-2025学年上海实验学校高三上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）_第1页
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文档简介

参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.2；11.；12.；11.定义表示实数中的较大者，若是正实数，

则的最小值是_______.【答案】【解析】按和分类:记,

当时,,

当且仅当时，等号成立；

当时,,

当且仅当时，等号成立。综上所述，的最小值是。12.椭圆的左焦点为，上顶点为A，若存在直线与椭圆交于不同两点的重心为，直线的斜率取值范围是_______.【答案】【解析】设椭圆的半焦距为，由已知设，因为重心为，所以，所以,又,两式相减可得:,所以，

所以直线的斜率,

又因为弦BC的中点应在椭圆内，故，解得，即所以在上严格增，故，所以.二、选择题13.A；14.A；15.B；16.D15.若点在圆上运动,为的中点.点在圆上运动，则的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】点在圆上运动,,中点到圆心的距离为,

由圆的定义可知，点的运动轨迹为以，半径1的圆，又点在圆的最小值为:.故选:B.16.已知函数,若有两个零点，则（）

A.B.C.D.【答案】D【解析】和差化积公式:,,

AB选项:,故AB错误

D选项:,故D正确

C选项:,矛盾,故舍去综上所述：选项D正确三、解答题17.（1）（2）（3）18.（1）证明略（2）19.（1）（2）20.若双曲线的一个焦点是,且离心率为2.

(1)求双曲线的方程;

(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合）,

①求直线的倾斜角的取值范围;

②在轴上是否存在定点,使得直线和的斜率之积为常数,若存在,求出的坐标，若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）①②见解析【解析】(1)由题意,

又,则,所以,双曲线的方程为.

（2）①（i）当直线斜率存在时，设直线,

联立，整理得:，由题得:解得或,此时，直线的倾斜角的范围为.

（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为。综上可知，直线的倾斜角的范围为.

②(i)当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，

由（2）①得:,又得:

对于任意都成立，所以

解得:或，即当坐标为时，；

当坐标为时，。

（ii）当直线斜率不存在时，此时当坐标为时，；当坐标为时，。综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数。21.已知函数。

（1）当时，，求实数的取值范围；

（2）若,求证:；

(3)若为正实数，且,求证:【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】(1)首先,,故,

设,则,由,

可知当时,在区间上单调递增,故,满足;当时,由在区间上单调递增,且,故存在,使得,且时,单调递减,此时,,与题设矛盾.综上所述，实数的取值范围.

(2)

由,可知,即

故只要证

设,

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