北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末考试 数学 含答案

2025北京丰台高二（上）期末数学2025.01考生须知1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．已知向量，，则（A） （B） （C） （D）2．直线的倾斜角为（A） （B） （C） （D）3．与直线关于x轴对称的直线方程为（A） （B） （C） （D）4．已知圆与圆外切，则（A） （B） （C）7 （D）135．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（A） （B） （C） （D）6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（A） （B） （C） （D）7．在空间直角坐标系中，，，D是平面ABC内一点，若，则的最小值为（A） （B） （C） （D）38．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）9．在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的△是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，…，依次类推（其中点，，，，…共线，点，，，，…共线，点，，，，…共线）.由上述圆弧组成的曲线H与直线恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为（A） （B） （C） （D）10．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是（A）存在点Q，使得BQ平面（B）在棱上存在点Q，使得平面（C）在线段上存在点，使得直线与所成的角为（D）存在点，使得三棱锥的体积为2第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______.12直线：被圆：截得的弦AB的长为.13．.14．已知点，直线，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为_______；若直线及分别与曲线C交于异于原点的M，N两点.当直线MN过点F时，.15．已知方程所表示的曲线为C.给出以下四个结论：①曲线C与y轴有两个不同交点；②曲线C关于原点对称；③x轴及直线为曲线C的两条渐近线；④若曲线C与圆有公共点，则r的最小值为.其中，所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题14分）已知数列是等差数列，，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.17．（本小题14分）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）18．（本小题13分）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为.（Ⅰ）求直线l的斜率；（Ⅱ）若，求的值.19．（本小题15分）如图，四棱锥中，底ABCD，，平面，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．条件①：点B到平面PAC的距离为1；条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20．（本小题15分）已知椭圆过点，长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D.求证：直线AD过定点.21．（本小题共14分）已知无穷数列各项均为正数且.（Ⅰ请判断如下两个结论是否正确：①；②；（Ⅱ当时，证明：；（Ⅲ）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ABBCAACACD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．13．14．；15．①②③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，因为，，所以,所以，解得，所以.…………6分（Ⅱ）因为是等差数列，所以，由（Ⅰ）可知，，所以当时，有最小值.…………14分17.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆心C是直线与轴的交点，所以圆心C的坐标为，又因为圆C经过，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为. …………6分（Ⅱ）因为四边形CAMB为菱形，所以AB垂直平分CM，因为，所以又因为CM的中点坐标为所以直线AB的方程为.…………14分18.（本小题13分）（Ⅰ）设点A的坐标，因为点A到抛物线准线的距离是，所以，所以，代入抛物线方程得：所以点，又因为点，所以直线l的斜率. …………6分（Ⅱ）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为：由得：,可知恒成立，设点B的坐标，则，，所以.…………13分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD，平面ABCD，所以，，因为，，平面PAB，所以平面，因为PB⊂平面，所以，因为平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，所以，所以.…………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系.若选条件①：方法1：过点B作BMAC，交AC于点M，因为PA底面ABCD，BM⊂平面ABC，所以PABM，因为AC∩PA=A，所以BM平面PAC，又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1，在Rt△ABC中，AC=2，所以.因此，，，又，，所以，.设是平面PBC的法向量，则，，即取，则，，所以是平面PBC的一个法向量.因为BM平面PAC，所以是平面PAC的一个法向量.设平面ACP与平面BCP的夹角为，则，所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.方法2：，，设，则可求得平面PAC的法向量为，则，得.以下同方法1若选条件②：方法1：由（Ⅰ）知BC平面PAB，因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30°，所以即为PC与平面PAB所成的角，即=30°.在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，在Rt△PBC中，，=30°，所以，方法2：由条件①方法2得到，是平面的PAB的一个法向量，所以，得.以下同条件①.…………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆E过点（0,1），所以，又因为长轴长为4，所以，所以，所以.椭圆E的方程为：，离心率.…………6分（Ⅱ）由得：，由得：或设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标,由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：，令得：，所以直线AD过定点.…………15分21.（本小题14分）解