2024届山东济宁某中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2024届山东济宁一中高三第一次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（力=力。工一以2有两个极值点，则实数。的取值范围是（）

A.0,mB.C.（1,2）D.（2,e）

2.已知”=log,正，Z?=ln3,C=2《99,则。/,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

3.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为+.给出下

列四个结论：

①曲线C有四条对称轴；

②曲线C上的点到原点的最大距离为-；

4

③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为:；

X

7T

④四叶草面积小于一.

4

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①@B.①@C.①③④D.①②④

4.执行如图所示的程序框图若输入〃=!，则输出的〃的值为（）

2

/输出〃/

5.已知［为抛物线/=4）•的准线，抛物线上的点M到/的距离为d,点尸的坐标为（4,1）,贝！||照+"的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+V17

r2v2

6.已知斜率为-2的直线与双曲线。：彳一3=1（〃〉0力〉0）交于A8两点，若为线段A3中点且

kOM=-4（。为坐标原点），则双曲线。的离心率为（）

A.75B.3C・D.

4

7.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业

的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

我国新闻出版产业和数字出版业营收增长情况

□数字出版业营业收入《亿元）

□新闻出版业营业收入《亿元）

A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍

C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍

D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

8.下列说法正确的是（）

A.命题7叫）<0,2/<sin/"的否定形式是“Vx>0,2x>sinA”

B.若平面夕，y,满足。，九/?_Ly则

C.随机变量J服从正态分布N（l,cr2）（<T>0）,若P（0<J<l）=0.4,则PC>0）=0.8

D.设工是实数，“工<0”是“,<1”的充分不必要条件

x

9.已知等式（1一天+/）3.（［-2%2）4=加+4/+。/2++q/l4成立，贝|］%+。4+..+%4=（）

A.0B.5C.7D.13

10.小明有3本作业本,小波有4本作业本.将这7本作业本混放在•起.小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作

业本的概率为（）

12,118

A.-B.-C.-D.—

77335

11.已知函数是定义域为R的偶函数，且满足/（x）=/（2—x）,当xe［O,l］时，f（x）=x,则函数

r4-4

/"）=/（刈+一］在区间［-9,10］上零点的个数为（）

l-2x

A.9B.10C.18D.20

12.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2X

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知全集为R,集合4={^/一入=。},4={-1,0},则A|JB=.

14.如图，在体积为v的圆柱aa中，以线段aa上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

V4-V

匕，则」Y上的值是______.

15.已知｛4｝是等比数列，且4>0,“24+2%%+%。6=25,贝ij%+%=，4的最大值为

16.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示，四棱锥尸中，尸CJL底面4BC。，PC=CD=2,£为4〃的中点，底面四边形ABC。

满足NAOC=N&CB=90。，AD=lfBC=1.

(I)求证：平面77犯_1_平面PAC；

(n)求直线PC与平面尸。£所成角的正弦值；

(DI)求二面角D-PE-B的余弦值.

18.(12分)在锐角4AAe中，。力,c分别是角A,B,C的对边，m=(2b-c,cosC)f〃=(a,cosA),且加/〃.

(1)求角A的大小；

(2)求函数》=2sin23+cos(g-2B的值域.

ID7

19.(12分)已知函数/(x)=@sin才+cos22-,，(xGR).

222

（1）当xw[O,幻时，求函数的值域;

（2）的角A3,C的对边分别为。14且£=6，/（C）=1,求A8边上的高〃的最大值.

20.（12分）已知动圆。经过定点厂（（）M）,且与定直线/：），=一。相切（其中。为常数，且。＞0）.记动圆圆心Q的

轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点尸的坐标为（0,-々），过点尸作曲线C的切线，切点为4,若过点P的直线/〃与曲线C交于N两点,

则是否存在直线如使得NAFM=NAFN?若存在,求出直线机斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

x=2\/3+al

21.（12分）在平面直角坐标系X。）'中，直线/的的参数方程为（其中，为参数），以坐标原点。为极

y=4+底

点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为2,直线/经过点A.曲线。的极坐标方程为

koJ

psin?6=4cos6.

（1）求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）过点P（G,0）作直线/的垂线交曲线。于DE两点（。在式轴上方），求卷一，R的值.

cinx

22.（10分）已知函数f（x）=:-,0。＜兀.

X

（1）求函数/0）在x=W处的切线方程；

2

（2）当0＜加＜乃时，证明：/“）＜〃加工+色对任意xw（0,4）恒成立.

x

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

试题分析：由题意得了'(x)=lnx+l-2o¥=0有两个不相等的实数根，所以广(x)=--2。=0必有解，则。>0,

X

且f'i—>0,/.0<^7<—.

2

考点：利用导数研究函数极值点

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求F(X)—一>求方程r(x)=0的根一一>列表检验r(x)在r(x)=o的根的附近两侧的符

号一一>下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(X)在点(XO,yo)处取得极值，则r(X0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号

相反.

2、A

【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.

【详解】

因为logs6<log36=g，

所以。<—.

2

因为3〉已，

所以Z?=ln3>lne=1,

因为0>-0.99>—1,y=2、为增函数，

所以1<C=24"<1

2

所以匕>。>。，

故选：4

【点睛】

本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.

3、C

【解析】

①利用X，),之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为乂)'的

关系式，然后根据基本不等式求解出最大值：④根据乂)'满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面

积是否小于

4

【详解】

①：当X变为-工时，(/+)，2丫=/),2不变，所以四叶草图象关于),轴对称；

当)'变为一丁时，卜2+9)3=/),2不变，所以四叶草图象关于X轴对称；

当》变为x时，(x2+y2)3=x2),2不变，所以四叶草图象关于y=x轴对称；

当变为一工时，(f+)/丫=%2,2不变，所以四叶草图象关于丁=一了轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

/22、2

②：因为(f+y2)3=12),2,所以(/+力3=/),2«土上匕，

所以/+旷2工1,所以J，+y2工"取等号时£=k=),

42o

所以最大距离为!，故错误；

2

③：设任意一点尸(x,y),所以围成的矩形面积为冲，

因为任+)尸)3=戈2,2,所以fy2=(炉+),2)3之(2%»,所以孙

历I

取等号时工=>=在，所以围成矩形面积的最大值为A，故正确；

48

④：由②可知/+)，2《!，所以四叶草包含在圆/+),2=1的内部，

44

因为圆的面积为：S=「=R,所以四叶草的面积小于三，故正确.

444

故选：C.

【点睛】

本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲

线的对称性，可通过替换方程中x，)去分析证明.

4、C

【解析】

由程序语言依次计算，直到。时输出即可

【详解】

程序的运行过程为

\_25

n12

222

53_£

a21

222

m2

bln-0In2ln-

222

当〃=2时，l>ln2；〃=*时，—<In—,此时输出〃=—.

2222

故选：C

【点睛】

本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题

5、B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当P，M，F共线时，+d取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点尸(0,1),准线>=-1,

过M作MN_L/交/于点N,连接月必

由抛物线定义|MN|=|MF|=d,

:.\MP\-^d=\MP\+\MF\>\PF\=y/^=4,

当且仅当RM.F三点共线时，取“=”号，

・・・|函+1的最小值为4・

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

6、B

【解析】

设A（x，y）B（X2，y2），代入双曲线方程相减可得到直线A8的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到。，〃的等式，求

出离心率.

【详解】

—一二1

设4X,片）,8。2，%），贝I卜"，"，，

4->=i

[a~方

两式相减得a十七与一由一（y+?）L乃）=。,

a-b-

._y\-y_b\x^x）_b2x_b2（1}/I2

■■kI------2----------27—0--,~~-_2»—=8..,.e=J1+—b=3

%一々。-（）'I+为）a~V47crVT

故选：B.

【点睛】

本题考杳求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

7、C

【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.

【详解】

根据图示数据可知选项A正确;对于选项B：1935.5x2=3871<5720.9,正确;对于选项C：16635.3xl.5>23595.8,

故C不正确；对于选项D：23595.8x1^7865>5720.9,正确.选C.

3

【点睛】

本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.

8、D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；久/可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

1或工>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

【详解】

命题，咱/WO,2%Wsinx。”的否定形式是“VxKO,2x>sinx"，故A错误；aLyt

2,则名/可能相交，故B错误；若P（0<Jvl）=0.4,则Rl<4<2）=0.4,所以

1-04-041

<0）=--—-=0.1,故尸（4>0）=0.9,所以C错误；由一<1,得x<0或方>1,

2x

故,“<0”是“1<1”的充分不必要条件，。正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考有命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

9、D

【解析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.

【详解】

由（1—X+AT），,（1-2厂）4=&+Cl^X+d-yX~+…+可知：

令x=0,得1=g=>《）=1;

令1=1,得1=%+4+/++44n《）+q+〃2+…+。14=1（1）；

令X=-1,得27=%—。］+电+（—。3）++。［4=《）-4+〃2+（一。3）++。海=27⑵,

（2）+⑴得，2（%+。2+。4+…+%4）=28=>。0+。2+。4+・一+。14=14,而4=1,所以

%+。4+…+。14=13・

故选：D

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.

10、A

【解析】

利用P=”■计算即可，其中明表示事件A所包含的基本事件个数，〃为基本事件总数.

n

【详解】

从7本作业本中任取两本共有C；种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有C；种不同结果，

C1

由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为T=-.

C；7

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

11、B

【解析】

r-f-4

由已知可得函数/(X)的周期与对称轴，函数尸(x)=/(x)+一］在区间［-910］上零点的个数等价于函数f(X)

\-2x

r4-4

与g(x)=—一丁图象在［-9,10］上交点的个数，作出函数/(X)与g(X)的图象如图，数形结合即可得到答案.

1-2x

【详解】

Y+4r4-4*

函数尸(x)=f(x)+—］在区间上零点的个数等价于函数f(X)与g(X)=---图象在［—9,10］上交

l-2x1-2x

点的个数，

由f(工)=f(2-x),得函数/(x)图象关于x=l对称，

V/(x)为偶函数，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函数周期为2.

又丁当x£［0,1］时，f(x)=x,且f(x)为偶函数，，当-1,0］时，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—+-----,

\-2x2x-124x-2

作出函数/(X)与g(X)的图象如图：

由图可知，两函数图象共10个交点，

x+4

即函数F(x)=f(x)+—^在区间［-9,10］上零点的个数为10.

l-2x

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.

12、C

【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.），=3+2,值域为R,非奇非偶函数，排除；

B.y=sinxt值域为卜15，奇函数，排除；

c.>=A-X3,值域为R,奇函数，满足；

x

D.y=2t值域为（0,+e）,非奇非倡函数，排除；

故选：C.

【点睛】

本题考杳了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{-1.0,1）

【解析】

先化简集合A,再求AUB得解.

【详解】

由题得A={0,l},

所以AUB={・l,0,l}.

故答案为卜1,0,1}

【点睛】

本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

1

14、-

3

【解析】

根据圆柱口。2的体积为丫，以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

1111y+yI

由题得，匕+匕=s0tOO,4--S6OO2=-SqOR=-V，得一^=王

W-*»»_*

故答案为：I

【点睛】

本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

5

15、5-

2

【解析】

a2aA++=25=>。；+2%%+。；=25=>(%+死尸=25,ciH>0/.%+%=5

.•./=〃3。54(幺詈)2=勺=。44］，即知的最大值为g

16、1

【解析】

利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.

【详解】

第一次：x=4,j=ll,

第二次：x=5,y=32.

第三次：x=l,j=14,此时14>10xl+3,输出x,故输出x的值为L

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)证明见解析(n)(ni)-生叵.

317

【解析】

(I)由题知如图以点。为原点，直线C。、CB、CP分别为X、y、Z轴，建立空间直角坐标系，计算

DEAC=()>证明OE_LAC，从而拉E_L平面RIG即可得证；

(II)求解平面以旭的一个法向量〃，计算c。“几CP)，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

(DI)求解平面尸距的一个法向量加，计算cos(〃?,〃)，即可得二面角O・PER的余弦值.

【详解】

(I)PCJ■底面ABCD,DEA.PC,

如图以点。为原点，直线8、CB、CP分别为％、Az轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),0(2,0,0),4(0,3,0),尸(0,0,2),A(2,l,0),石(1,2,0),

/.D^=(-l,2,0),AC=(-2-l,0),：.DEAC=0f

.♦.£)EJ_AC,又"rC4=C,..QE_L平面ZMC,

£>Eu平面PDEt平面平面PAC；

(II)设〃=(X，X，zJ为平面POE的一个法向量，

又依=(1,2,-2bOE=(-1,2,0),CP=(0,0,2),

n­DE——x,+2y,=0,/、

则1%，取1=1,得〃=(2,1,2)

[〃尸E=x+2y—24=0')

/t「段n-CP2

cos(n,CP)=rr\—

\/4cp3f

2

二.直线PC与平面PDE所成角的正弦值§；

(W)设〃2=(占，％/2)为平面PBE的一个法向量,

又依=(0,3,-2),石8=(-1,1,()),

m-PB=3%-2z,=03、

则[小=S+取)"2,得，〃=(2,2,3),

/\〃•m45/17

/.cos(见f1/=—

'/n-tn17'

二•二面角D-PE-B的余弦值-生叵

17

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的

应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.

18、(1)A=—；(2)—,2

312」

【解析】

(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得cos4,进而得到4；

(2)利月两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为y=l+sin(23q｝根据8的范围可确定28-看的

范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.

【详解】

(1)•.m//n,/.(2Z?-c)cosA-6ZCOSC=0,

由正弦定理得：(2sin5-sinC)cosA-sinAcosC=0,

即2sinBcos4-sin(A+C)=2sin4cos4-sinB=0,

v^e|0,^I，.,.sinBwO,/.cos>4=—,

I2

又/.A=(.

7T7171

(2)在锐角中，A=一,一<B<一.

362

y=2sin2B+cos--2/?1=l-cos2/?+—cos2B+—sin2Z?=14--sin2/?--cos2B=l+sinf2^-—.

U)2222I6)

71八71乃cc45乃1.(cn)3

—<B<—：.—<2B——<——,.*.-<sin2B--<1,<y<2,

62f6662I6j2

.•.函数)，=2sin28+cos(5-28)的值域为$2.

【点睛】

本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换

公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.

【解析】

(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.

(2)由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得。力的最大值，可得边上的高〃的最大值.

【详解】

ginx+coH-L且inx+匕任」

解：(1)・・•函数/")==sinx+斗

222222I6j

71171.71

当X曰0,4］时，x+—G——,sinx+-G

666」I6J2

_71

(2)"叱中,c=5/3,/(C)=1=sinCH—c

\6)

由余弦定理可得髭=3=可+/一2ab•cosC=a2-ab..ah，当且仅当。=〃时，取等号,

即ab的最大值为3.

再根据S/sc=J・百/=•sinp故当取得最大值3时,3

/;取得最大值为大.

4JJ2

【点睛】

本题考查降塞公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰

当的公式是解题关键，本题属于中档题.

2

20、(1)x=4ayf抛物线；(2)存在，(Y),-l)U(l,y).

【解析】

(D设Q(x,y),易得jY+(y—〃)2=|y+d，化简即得；

(2)利用导数几何意义可得4(2〃,。)，要使NAEW=NAF7V,只需益汹+勺入,=。.

联立直线机与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.

【详解】

(1)设Q(x,y),由题意，得口+㈠―4力+小化简得工2=4少,

所以动圆圆心Q的轨迹方程为/=4砂，

它是以「为焦点，以直线/为准线的抛物线.

(2)不妨设Ar,—(r>0).

因为)，一工，所以y，=f

4a2a

从而直线小的斜率为4〃+"=1，解得，=2〃，即4(2〃,。),

t-02a

又尸(0,4),所以A/7/x轴.

要使NAEW=NAF7V,只需勺用+攵卬二。.

设直线办的方程为)，=依一%代入d=4”并整理，

得X?-4akx+4a2=0・

首先，A=16tr(F-l)>0,解得人<一1或2>1.

其次，设M(x，x),N(X2，%)，

2

则％+七=4ak,x)x2=4a.

%+G==+0/(…)+W「〃)

不

9-2a)+%(AX2-2a)24Z(x1+x2)

---乙K

中2「

故存在直线加，使得NAEM=NA网V,

此时直线m的斜率的取值范围为(YO,-1)U(1,田).

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.

21、(1)丫=瓜—2,/=4x；(2)-

•2

【解析】

X=QCOS。

(1)利用代入法消去参数可得到直线/的普通方程,利用公式■.八可得到曲线。的直角坐标方程;(2)设直线力E

y=psint/

x—y3t,

2

的参数方程为a为参数),

i

-V=2Z

代入)3=4X得/+86/一16百=0,根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

X=2石+3,

(1)由题意得点A的直角坐标为(6』)，将点A代入，得，

y=4++t.

则直线/的普通方程为)，=百工-2.

由4cos6得夕2sin?夕=4pcos。,即y2=4