2024届江苏省淮阴区高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届江苏省淮阴区高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各

边的中点已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少

是()

A.8B.7C.6D.4

2.已知集合加二卜次2一3%-10<0},2=机,=59r2卜且M、N都是全集R(R为实数集)的子集，则

如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为()

A.{H3cxK5}B.{小＜-3或x＞5}

C.D.卜|-3。45}

3.设函数/(x)=ln(l+W)-7二，则使得了(力＞/(1)成立的x的取值范围是().

A.(1,+8)B.(-00,-1)U(1,-KC)

C.(-1」)D.(-l,0)U(0,l)

4.已知函数y=/(x)是定义在A上的奇函数，函数/(X)满足/(x)=〃x+4),且xw(0,1］时，/(x)=log2(x+l),

贝(J/(2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

5.已知函数八x）是定义在R上的偶函数，当天20时，/（x）=e'+A,贝c=/（、后）的

大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

6.复数N满足(l+i)z=|l—q,贝ljz=()

五V2.V2拉.

A.1-ZB.\+i--------1----1-—i

2222

7.设〃?，〃是两条不同的直线,a,乃是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若加//a,〃，则a//QB.若机_La,L〃，则〃-La

C.若〃?_La,/〃〃〃，则D.若a~L/？,〃z_La,则〃?//£

”2

8.若实数工、>满足，人+)91,则z=x+2)•的最小值是()

y>x

3

A.6B.5C.2D.-

2

9.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则z的共匏复数是()

A.2-iB.2+iC.l+2zD.l-2z

10.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：

有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为

()尺.

A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8

11.正四棱锥尸-A8CQ的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为面，侧棱长为26，则它的外接球的表面积

为（）

A.4乃B.8乃C.167rD.204

12.为得到匚■二二，的图象，只需要将二=，::二二的图象（）

A.向左平移二个单位B.向左平移亍个单位

C.向右平移二个单位D.向右平移讨单位

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在直四棱柱ABC。—AeCR中，底面A8CO是平行四边形，点E是棱的中点，点厂是棱CC；靠近

G的三等分点，且三棱锥A-4后产的体积为2,则四棱柱的体积为.

14.己知x>0,y>0,x+3y=5xyf则x+2y的最小值是

15.（工+2一2）4的展开式中/的系数为.

x

16.已知双曲线。：二一£=］（6/>0,/?>（））的左，右焦点分别为"，F、,过点耳的直线与双曲线的左，右两

Jb2一

7

支分别交于A,B两点,若cosZBA^=-,则双曲线。的离心率为.

O

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进

行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的时间/分钟

总人数203644504010

将学生日均体育锻炼时间在［40,60）的学生评价为“锻炼达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表：

锻炼不达标锻炼达标合计

男

女20110

合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流.

(i)求这10人中，男生、女生各有多少人？

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式：K2=------也乜一—---------,其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(。+c)(b+d)

临界值表:

产(片二身)0.100.050.0250.010

。心2.7063.8415.0246.635

18.(12分)已知直线/:)，=依+〃2与椭圆[+与=1(。>人>())恰有一个公共点P,/与圆./+)，=/相交于A,吕

〃b~

两点.

(I)求k与〃?的关系式；

(ID点。与点夕关于坐标原点。对称.若当攵=-!时，AQA3的面积取到最大值求椭圆的离心率.

2

19.(12分)选修4・5：不等式选讲

已知函数f[x)=\x-n\一卜+2"，的最大值为3,其中〃?〉0.

(1)求用的值；

/83

(2)若a,beR,ab>0,a2+b2=/w2»求证：一+—>1

ba

X=-1+2COS6?

20.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为八.(夕为参数).以坐标原点为极点，工轴正

y=2s】n0

半轴为极轴，建立极坐标系.己知点P的直角坐标为(-2,0),过P的直线/与曲线。相交于M,N两点.

（1）若/的斜率为2,求/的极坐标方程和曲线。的普通方程;

〜UULUUULVj心

(2)求PM.PN的值.

21.（12分）己知函数/（幻=16-|2%一1|.

（1）解不等式/（幻工卜+2|；

（2）若函数），=/*）-。存在零点，求。的求值范围.

22.（10分）如图，在三棱柱ABC-A由Ci中，A】A_L平面ABC,ZACB=90°,AC=CB=C}C=lfMfN分别是A3,

AC的中点.

（1）求证：直线MN_L平面AC8;

（2）求点G到平面BiA/C的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：而不=4及，从下往上第三层正方体的棱长为：,（2何+（2可=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：曲方=2五，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形

中正方体的个数的最小值的求法.

【详解】

最底层正方体的棱长为8,

则从下往上第二层正方体的棱长为：巧彳=4a，

从下往上第三层正方体的棱长为：420+(20=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：万谡=2加，

从下往上第五层正方体的棱长为：J(可+曲=2,

从下往上第六层正方体的棱长为：庐了二夜，

从下往上第七层正方体的棱长为：正］+(巫］=1，

卜J［2)

从下往上第八层正方体的棱长为：等，

・・・改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

2、C

【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为N(^M),根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合M,N,根据补集

和交集定义可求得结果.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分表示Nf(&M),

•：M=1x|(x-5)(x+2)<0j=1x|-2<x<5j,N=|x|9-x2>0)=|x|-3<x<3},

.\?/n(^M)={x|-3<x<-2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所

求集合.

3、B

【解析】

由奇偶性定义可判断出了(X)为偶函数，由单调性的性质可知/(X)在［0,+CQ)上单调递增，由此知f(x)在(9,0］上

单调递减，从而将所求不等式化为国〉1，解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：/(x)定义域为R,

v/(-x)=ln(l+H)-^^2=ln(14-|x|)--^-r=/(x),.•J(x)为偶函数，

当xNO时，/(X)=In(1+2,

y=ln(l+x)在［0,+co)上单调递增，),=［(/在［0,48)上单调递减，

.•./(“在包口)上单调递增，则/⑴在(-oo,0］上单调递减，

由/(耳>/(1)得：|乂>1，解得：x<—1或x>l，

\x的取值范围为(-8,—l)U(l,+x)).

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的

作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

4、D

【解析】

/(x)=f(x+4)说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值.

【详解】

由/*)=/(x+4)知函数/*)的周期为4,又fW是奇函数，

/(2)=/(-2),又/(-2)=-/(2),，/(2)=0,

A/(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-l)=0-/(l)=-L

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.

5、C

【解析】

根据函数的奇偶性得Q=/(_2$=/QT)，再比较逐,2；,log,9的大小，根据函数的单调性可得选风

【详解】

333

依题意得4=/(-22)=于心…:亚＜瓜=2叵=觉＜3=log28＜log29，

当xNO时，/(x)=e'+x,因为e＞l,所以＞="在R上单调递增，又丁二/在R上单调递增，所以/*)在10,+8)

上单调递增，

/(log29)＞/(22)＞以后)，即〃＞。＞C,

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性的应用、哥、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.

6、C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

解.Qj)及(—)_\&

\+i1+z(l+z)(l-/)222

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

7、C

【解析】

在A中，a与夕相交或平行；在B中，〃//。或〃ua；在C中，由线面垂直的判定定理得〃_La；在D中，川与

夕平行或mu/.

【详解】

设〃?，〃是两条不同的直线，〃是两个不同的平面，则：

在A中，若m//a,加〃尸，则。与夕相交或平行，故A错误；

在B中,若〃?J_a,〃?_!_〃，则〃//a或〃ua,故B错误;

在C中，若〃?_La,mHn,则由线面垂直的判定定理得〃_La,故C正确；

在D中，若a上0,mlaf则〃?与夕平行或根＜=4，故D错误.

故选c.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

8、D

【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函

数得答案

【详解】

”2

作出不等式组\x+y>\所表示的可行域如下图所示：

y>x

y=x1

联立得.户可得点A

5'2'2广

由z=x+2.v得=-'_x+z,平移直线y=-4x+z,

-22

当该直线经过可行域的顶点4时，该直线在『轴上的截距最小,

—113

此时Z取最小值，即Zmm=/+2X/=5.

故选：D.

【点睛】

本题考食简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

9、B

【解析】

根据复数的除法运算法则和共扼复数的定义直接求解即可.

【详解】

由(l+2i)z=4+3i,得2=震12一1,所以)=2+i.

JLI2^1

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共扼复数的定义，属于基础题.

10、B

【解析】

如图，已知AC+A8=1O,BC=3,AB2-AC2=BC2=9

・・・(AA+AC)(A4-AC)=9,解得A8—AC=0.9,

AB-^AC=\()[AB=5.45

?.,解得《・

[AB-AC=0.9[AC=4.55

・・・折断后的竹干离为4.55尺

故选B.

11、C

【解析】

如图所示，在平面A3CO的投影为正方形的中心E,故球心。在依上，计算长度，设球半径为R,则

(PE-RF+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【详解】

如图所示：P在平面A8CO的投影为正方形的中心E,故球心。在史上，

BD=4iAB=25/3,故BE=；BD=C,PE=1PB?-BE?=3，

设球半径为R,贝+B炉=六，解得R=2,故5=4"川=]6〃.

故选：C.

【点睛】

本题考杳了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

12、D

【解析】

）=询*三）=沏-

试题分析：因为36，所以为得到|二=加（二一亍）的图象，只需要将二二m2二的图象向

右平移》单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12

【解析】

由题意，设底面平行四边形45。。的8。=。，且边上的高为从直四棱柱A8c的高为力，分别表

示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】

由题意，设底面平行四边形A5c。的AB=a,且A3边上的高为〃，直四棱柱48C力一的高为〃，

则直四棱柱—的体积为V=S/?=QM,

又由三棱锥A-AEF的体积为匕「AM==；S禽=：x；山?x0='abh=2,

◊。4IJ

解得/力=12,即直四棱柱的体积为12。

【点睛】

本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱

三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题，

14、

5

【解析】

\(13)

因为x+2y=匚-。+2)，)，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.

51yX)

【详解】

13

由1+3)=5◎，得一+-=5,

)，x

所以;v十2)，=，(，十十2)，)=,(5十4十父］二，(5十2、户应)=壁十1,当且仅当入二痣)，，取等号.

51yX)-5()，x)5\yx5

故答案为：岖+i

5

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.

15、28

【解析】

将已知式转化为“+,-2)4="丫，贝1］(冗+2-2)4的展开式中f的系数“-1)8中炉的系数，根据二项式展开式

xxX

可求得其值.

【详解】

・・・。+,_2)4=。一可+1)|所以“+,—2)4的展开式中/的系数就是(x—l)8中尤6的系数，而(1一］)8

XXXX

中X6的系数为C：・(-1)2=C；=28,

・二展开式中Y的系数为c；=28

故答案为：28.

【点睛】

本题考杳二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幕的形式转化为可求的二项式的形式，

属于基础题.

A限

b、-2---

3

【解析】

设忸6=〃/伤|=加,由双曲线的定义得出：忸用=2a+〃,|A用二〃7-2々，由|A5|=|A闾得AAB0为等腰三角

7-\BFI—n

形，设Z45鸟=/488=。，根据C0S/B4工=石，可求出8$6=，=2==2_，得出加=2%再结合焦点

8

'4\AF2\m

三角形利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】

解：设忸周=〃,|A周二加，

由双曲线的定义得出：

忸用—忸用=2《则忸用=2a+〃，

\AF2\-\AF]=2a,则14用=加一2a,

由图可知：|岗=|班卜在闻=4a+〃-m,

又\A^\=\AF2\f

即4a+n—m=m>

则27n=4a+〃,

「•08人为等腰三角形，

7

•/cosNBA居=—,

-8

设=NAG3=e,

20+ZBAF2=7rt则20=乃一/848，

/7

/.cos20=cos-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

,71

即cos20=2cos-0-1=——,解得：cos,

84

,-IBFJ.

贝"cos^=-2----=-

函4

一J?

,21，解得：，〃=2〃，

-----=—

m4

4

「.4〃=4。+〃,即3〃=4。，解得：n=-a,

3

8

/.m=—a,

3

在△⑶片行中，由余弦定理得：

忸喧+忸町-比6\_

cosNF】BF2=cos9-

2|明熙|4

（2。+〃1+（〃『-4c）1

即:

2（2。+〃）•〃4

解得：八十全c_2瓜

a3

故答案为：巫

3

【点睛】

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲。

4

17、(1)能；(2)(i)男生有6人，女生有4人；(ii)E(X)=-f分布列见解析.

【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这

样不达标人数随之而得，然后计算K?可得结论；

(2)由达标人数中男女生人数比为3：2可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，X的可能值为0,1,2,分别

计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望.

【详解】

(1)列出列联表，

锻炼不达标锻炼达标合计

男603090

女9020110

合计15050200

“2200x(60x20-30x90)2200，八小一,

K-=--------------------------—=——«6.061>5.024,

150x50x90x11()33

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.

(2)(i)在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2,

用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X,

则X的可能值为0,1,2,

则2。)系W，等啥P—2)得■

可得X的分布列为：

X012

p182

31515

可得数学期望£(X)=0xl+lx—+2x—=-.

315155

【点睛】

本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力，运算

求解能力，属于中档题.

18、(I)m2=a2k2+b2

【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0,即可求出结果；

(II)因点Q与点P关于坐标原点O对称，可得AQA8的面积是AOAB的面积的两倍，再由当上二―工时，△043的

面积取到最大值《，可得。4_LQB,进而可得原点。到直线/的距离，再由点到直线的距离公式，以及(D的结果,

2

即可求解.

【详解】

1y=kx+m,

(D由，/2，得(/公+Z72).r+2a2knix+a2^nr-/72)=0,

—+fr=1

[a-b~

贝1]△=(2Q2〃〃?)~-4(/A?/一Z?2)=0

化简整埋，得加2=々2/+/；

(II)因点。与点尸关于坐标原点。对称，故AQA8的面积是AQAB的面积的两倍.

所以当攵=-2_时，△。4台的面积取到最大值《，此时。4_L0B,

22

从而原点0到直线/的距离(1=忑,

壬占，・、出a2k2+b2a2.,2h'

再由（I）,得---------=一，则mtl公2=1——-

公+12a2

2

PI1珏广।261b3

又k=一二,故攵-=1——^-=->即___

2a24二一8

从而/=£=1一号=工，即0=巫.

a2a284

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式

等求解，属于中档试题.

19、(1)tn=\(2)见解析

【解析】

(1)分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；(2)将所证不等式转化为2a后1,再构造

ao

函数利用导数判断单调性求出最小值可证.

【详解】

(1);优>0,

一3〃?,x>m

f(x)=\x~m\~\x+2"z|=〈-2x-m,-2m<x<m.

3m,x<-2m

，当时，/(x)取得最大值3加.

••7/Z—1•

（2）由（I）,得"+〃=],

/Z/a4+b4卜/+/)2-2/"1

—十——=---------=-------------------------=-------lab-

baabahah

2

*：a+lr=\>2abf当且仅当。=〃时等号成立，

•»0<cibW-.

2

令h(f)=—2f,0<t

则力⑺在［o,；上单调递减.・・・〃(，)之后］=1.

\2」

，当0<。/?工，时，---2ab>\.

2ab

••--1---21•

ba

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中

解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答

问题的能力，以及转化思想的应用.

20、(1)/：2pcos^-psin<9+4=0,C：(x+l)2+y2=4；(2)-3

【解析】

(1)根据点斜式写出直线/的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用sin2e+cos2°=l,将曲线。的参数方程

转化为普通方程.

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得.尸N的值.

【详解】

(1)/的直角坐标方程为>=2(1+2),即2x-y+4=0,

则/的极坐标方程为2QCOS，一psin6+4=0.

曲线C的普通方程为(x+l『+)，2=4.

x——2+fcosct

(2)直线/的参数方程为".(，为参数，。为/的倾斜角)，

y=ts\na

代入曲线C的普通方程，得/—2/cosa—3=0.

设M,N对应的参数分别为乙，*所以<，2=-3,在P(-2,0)的两侧.则

PM-P7V=|PA/|-|p^|-cos7i=-|rlf2|=-3.

【点睛】

本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义,

属于中档题.

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21、(1){x|x<--^或5)；(2)«<16.

【解析】

(1)通过讨论x的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等