福建省南平市小松中学2022年高三数学理月考试题含解析

福建省南平市小松中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．(1,3)B．(0,3)

C．(0,2)

D．(0,1)参考答案：【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法B1【答案解析】D解析：解：画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.

【思路点拨】结合方程f（x）=a有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f（x）的图象即可获得解答．2.已知函数，则（

）A．

0

B．1

C．

D．2参考答案：B3.设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.3参考答案：C4.指数函数y＝f(x)的反函数的图象过点(2，－1)，则此指数函数为A． B． C． D．参考答案：A略5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．参考答案：B略6.函数在处有极值10，则的值为

（

▲

）A

.

B.

C.

D.以上都不正确参考答案：D略7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M,N关于原点对称，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，则，当时，，当，，故，由，，故当时，故的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函数的单调区间，极值的求解，在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围．9.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知等差数列、的公差分别为2、3，且，则数列是（A）等差数列且公差为6

（B）等差数列且公差为5（C）等比数列且公比为8

（D）等比数列且公比为9参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0，若展开式中的常数项为80，则a=．参考答案：2【考点】二项式定理的应用．【分析】求出展开式的通项公式，利用常数项为80，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为Tk+1=C5k?ak?x10﹣2.5k，∵二项式的展开式中的常数项为80，∴当10﹣2.5k=0时，得k=4，此时常数项为C54?a4=80，即5a4=80，解得a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．12.设函数f（x）=，则f（f（））=

，方程f（f（x））=1的解集

．参考答案：,{1，ee}【考点】分段函数的应用；函数的值；根的存在性及根的个数判断．【分析】直接利用分段函数化简求解第一问；利用分段函数判断函数的值域范围列出方程求解即可．【解答】解：∵f（）=ln＜0，∴f（f（））=f（ln）==．x＜0时，0＜ex＜1，x=0时，ex=1，方程f（f（x））=1，可得f（x）=0，lnx=0，解得x=1．f（x）＞0时，方程f（f（x））=1，可得ln[f（x）]=1，f（x）=e，即：lnx=e，解得x=ee．故答案为：第一问：；第二问：{1，ee}．13.若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=

．参考答案：4或8【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．14.双曲线C：x2–y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________．参考答案：抛物线的准线方程为，当时，。由得，,所以，解得，所以双曲线C的方程为。15.我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则=．参考答案：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，从而解得x，y的值，sinθ=【解答】解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，解得x=3，y=4，则sinθ==，∵锐角记为θ，那么：令=M＞0．则1+sinθ=M2，∴M2=，∴M=，即=故答案为：．【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题．16.已知，则=

参考答案：17.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知三点，，，则________.参考答案：5【分析】由向量运算可知，根据模长的定义可求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：5【点睛】本题考查向量模长的运算，涉及到向量的坐标运算问题.19.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？参考答案：（1）（2）（3）试题解析：（1）由题意得：，即．．．．．．．．．．．4分（2）数学成绩的平均分为：．．．．．．．．．．．8分（3）第3、4、5组中共有学生人数分别为30、20、10人，用分层抽样法抽6人，即在第3、4、5组中各抽取3、2、1人，设6名学生为．随机抽2人，共有共15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有5个，记其中恰有1人分数不低于90分为事件，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：频率分布直方图，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.20.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2．

（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设E是CC1的中点，求AE和平面ABC1所成角正弦值的大小．参考答案：略21.设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f（x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f（x）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依题设得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函数f（x）不能在x=1处取得极值．因为f′（x）=lnx+﹣1，记g（x）=lnx+﹣1，则g′（x）=．①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以x=1不是函数f（x）极值点．（3）当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下：由（2）得f（x）在（1，+∞）为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的大小比较，注意运用单调性和不等式的性质是解题的关键．22.已知点是长轴长为的椭圆：上异于顶点的一个动点，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为.（1）求椭圆的方程；（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，