八三年江苏高考数学试卷

八三年江苏高考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f'(1)=\left(\right)$

A.-2

B.-1

C.2

D.1

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，则该数列的公差为$\left(\right)$

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若直线$l$的方程为$2x+3y-6=0$，则直线$l$与$x$轴的交点坐标为$\left(\right)$

A.$(3,0)$

B.$(2,0)$

C.$(0,2)$

D.$(0,3)$

4.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cosA$的值为$\left(\right)$

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{4}$

D.$\frac{3}{4}$

5.若$a$，$b$，$c$是等比数列，且$a+b+c=14$，$ab+bc+ca=48$，则$abc=\left(\right)$

A.8

B.12

C.16

D.24

6.已知$\sinA+\sinB=2$，$\cosA+\cosB=1$，则$\sin(A+B)=\left(\right)$

A.$\frac{3}{2}$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{2}{3}$

7.若$\log_2x-\log_2(x-1)=1$，则$x$的值为$\left(\right)$

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，则该数列的第$10$项为$\left(\right)$

A.21

B.22

C.23

D.24

9.若直线$l$的方程为$2x+3y-6=0$，则直线$l$与$y$轴的交点坐标为$\left(\right)$

A.$(3,0)$

B.$(2,0)$

C.$(0,2)$

D.$(0,3)$

10.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\tanA$的值为$\left(\right)$

A.$\frac{3}{4}$

B.$\frac{4}{3}$

C.$\frac{5}{3}$

D.$\frac{5}{4}$

二、判断题

1.在等差数列中，若公差为负，则数列是递减的。（）

2.直线$y=kx+b$的斜率$k$等于0时，该直线是水平线。（）

3.在直角三角形中，斜边上的高是斜边长度的一半。（）

4.对于任何实数$x$，都有$\log_b(b^x)=x$。（）

5.如果两个三角形的对应边长比例相等，那么这两个三角形是相似的。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的定义域为$\left(\right)$

2.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$\left(\right)$

3.直线$2x-y+1=0$与$x$轴的夹角是$\left(\right)$弧度。

4.在$\triangleABC$中，若$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\cosB=\left(\right)$

5.若$x+y=5$，$xy=6$，则$x^2+y^2=\left(\right)$

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.解释函数的奇偶性和周期性的概念，并给出一个函数的例子，说明它具有这两种性质。

3.如何判断一个数列是否为等比数列？请给出一个数列的例子，并说明它是等比数列的原因。

4.简述三角函数的基本性质，并说明正弦函数和余弦函数在第一象限内的变化规律。

5.在解析几何中，如何利用点到直线的距离公式来求解问题？请给出一个具体的例子，说明如何应用这个公式。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-3x}{x^2}

\]

2.解一元二次方程：

\[

x^2-4x+3=0

\]

并指出方程的根的类型（实根、重根或无实根）。

3.设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，求该数列的第10项$a_{10}$。

4.已知直线$2x+3y-6=0$和圆$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，求圆心到直线的距离。

5.解下列三角方程：

\[

2\sin^2x+3\sinx-1=0

\]

并给出解的范围（用$k$表示整数解）。

六、案例分析题

1.案例背景：

一名学生参加了一场数学竞赛，他在竞赛中遇到了一道关于函数的题目。题目要求他找出函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的极值点，并说明这个极值点对函数图像的影响。

案例分析：

（1）请分析这名学生在解题过程中可能遇到的问题，并简要说明如何解决这些问题。

（2）根据题目要求，找出函数$f(x)$的极值点，并说明该极值点对函数图像的影响。

2.案例背景：

在一个班级中，教师发现学生的成绩分布呈现出正态分布的特点。班级的总人数为50人，平均成绩为75分，标准差为10分。

案例分析：

（1）请解释为什么班级的成绩分布可能是正态分布。

（2）根据正态分布的性质，预测班级中成绩在60分到90分之间的学生人数大约是多少。

七、应用题

1.应用题：

某商品原价为$p$元，经过一次降价后，价格变为$0.8p$元。为了促销，商家再次将价格提高10%，问最终商品的售价是多少？

2.应用题：

一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时后，速度降低到每小时50公里，再行驶了3小时后，速度又恢复到每小时60公里。问这辆汽车在8小时内的平均速度是多少？

3.应用题：

一个圆锥的高为$h$，底面半径为$r$，其体积为$V$。若保持底面半径不变，将高增加20%，问体积增加了多少百分比？

4.应用题：

在一个长方形土地的四个角上分别建立四个灯塔，灯塔发出的光柱在地面上形成的长方形区域的面积为400平方米。若长方形的长是宽的3倍，求灯塔之间的距离。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.B

3.C

4.B

5.A

6.A

7.B

8.A

9.D

10.B

二、判断题答案

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题答案

1.$\left(-\infty,+\infty\right)$

2.$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$

3.$\frac{\pi}{3}$

4.$\frac{1}{2}$

5.25

四、简答题答案

1.一元二次方程的解法包括配方法、公式法和因式分解法。例如，方程$x^2-5x+6=0$可以通过因式分解法解得$x=2$或$x=3$。

2.函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值是否保持不变。周期性是指函数值在每隔一定周期后重复出现。例如，函数$f(x)=x^2$是偶函数，函数$g(x)=\sinx$是周期函数。

3.等比数列可以通过相邻两项的比值来判断。例如，数列$\{1,2,4,8,16,\ldots\}$是等比数列，因为相邻两项的比值都是2。

4.三角函数的基本性质包括周期性、奇偶性和对称性。在第一象限内，正弦函数随角度增大而增大，余弦函数随角度增大而减小。

5.点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。例如，点$(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$的距离为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

五、计算题答案

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-3x}{x^2}=5$

2.方程$x^2-4x+3=0$的根为$x=1$和$x=3$，是实根。

3.$a_{10}=21$

4.圆心到直线的距离为$d=\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}}$

5.方程$2\sin^2x+3\sinx-1=0$的解为$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$，其中$k$为整数。

六、案例分析题答案

1.（1）学生在解题过程中可能遇到的问题是确定函数的极值点和判断极值点的类型。解决方法是使用导数来找出极值点，并通过一阶导数的符号变化来判断极值点的类型。

（2）函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的极值点为$x=1$，这是函数的极大值点，因为$f'(x)$在$x=1$处从正变负。

2.（1）班级的成绩分布可能是正态分布，因为大多数学生的成绩都集中在平均分附近，而两端的成绩分布较少。

（2）根据正态分布的性质，成绩在60分到90分之间的学生人数大约占总人数的34.1%。

知识点总结：

本试卷涵盖了一元二次方程、函数、数列、三角函数、解析几何、极限、应用题等知识点。各题型所考察的知识点详解及示例如下：

选择题：

-考察一元二次方程的解法、等差数列的性质、直线与坐标轴的关系、三角形的边角关系、数列的性质、函数的奇偶性和周期性、对数函数的性质、三角函数的基本性质、点到直线的距离公式等。

判断题：

-考察等差数列的性质、直线的性质、三角形的性质、对数函数的性质、三角函数的基本性质、相似三角形的性质等。

填空题：

-考察一元二次方程的解法、等差数列的前$n$项和公