2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高一数学上册月考试卷34考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、方程的实数解落在的区间是()A.B.C.D.2、函数的值域是（）

A.[0；3]

B.（-∞；3]

C.[0；9]

D.[0；+∞）

3、函数y=sinx+cosx+2的最小值是（）

A.2-

B.2+

C.0

D.1

4、【题文】幂函数的图象经过点则（）A.B.C.D.5、已知2sinθ=1+cosθ，则tanθ=（）A.或0B.或0C.D.6、设a=log0.50.8，b=log1.10.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.a＜c＜b7、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面是原三角形面积的（）A.倍B.2倍C.倍D.倍评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={3，4，5}，则∁U（A∩B）=____．9、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A=60°，b=2，△ABC面积为则=____．10、点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式总成立，则的取值范围是________________.11、【题文】已知集合若则实数的取值范围是12、在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），则A，B两点间的距离为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)13、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．14、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、作图题(共3题，共30分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．21、请画出如图几何体的三视图．

22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、计算题(共1题，共7分)23、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是____厘米．评卷人得分六、解答题(共2题，共12分)24、已知且与的夹角为120°.求：(1)(2)(3)25、已知数列{}的前项和为且数列{}满足（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列{}的前项和参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】试题分析:零点左右两侧函数值符号互为相反数，所以零点在内.考点：零点的相关知识.【解析】【答案】A2、A【分析】

函数=∈[0；3]；

故选A．

【解析】【答案】把函数的解析式化为根据二次函数的性质求出它的值域．

3、A【分析】

由题意可得：函数y=sinx+cosx+2；

所以y=

所以结合正弦函数的性质可得：函数的最小值为2-．

故选A．

【解析】【答案】由题意可得：y=再结合正弦函数的性质可得答案．

4、C【分析】【解析】

试题分析：因为函数的图象经过点则有解得所以．

考点：幂函数的解析式与图象．【解析】【答案】C5、B【分析】解：∵2sinθ=1+cosθ，∴4sincos=2∴cos=0或2sin=cos

即=kπ+k∈Z，或tan=即θ=2kπ+π，k∈Z，或tanθ==

即tanθ=0，或tanθ=

故选：B．

利用同角三角函数的基本关系；二倍角的余弦公式；求得tanθ的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．【解析】【答案】B6、B【分析】解析∵a=log0.50.8＜log0.50.5=1；

b=log1.10.8＜log1.11=0；

c=1.10.8＞1.10=1；

又∵a=log0.50.8＞log0.51=0．

∴b＜a＜c．

故答案为B

可根据指数函数与对数函数的图象和性质，把a、b；c与0；1进行比较即可得到答案．

本题考查不等式的比较大小，着重考查指数函数与对数函数的性质，关键在于将a、b、c与0、1进行比较，属于基础题．【解析】【答案】B7、C【分析】解：以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三家性的高变为原来的sin45°=

故直观图中三角形面积是原三角形面积的．

故选：C．

以三角形的一边为x轴；高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．

本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

∵A={2；3，4}，B={3，4，5}；

∴A∩B={3；4}；

∵集合U={1；2，3，4，5}；

∴∁U（A∩B）={1；2，5}．

故答案为：{1；2，5}

【解析】【答案】求出A与B的交集；找出交集的补集即可．

9、略

【分析】

∵∠A=60°，b=2，△ABC面积为

∴S=bcsinA=×2c×=

解得：c=2；

∴a2=b2+c2-2bccosA=4+4-2×2×2×=4；

解得：a=2；

∴由正弦定理得：====

∴=====．

故答案为：

【解析】【答案】由sinA，b的值；以及已知三角形的面积，利用三角形面积公式求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，由a与sinA的值，利用正弦定理即可求出所求式子的值．

10、略

【分析】试题分析：将不等式化为只需求出的最大值即可，令就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值范围是考点：简单的线性规划和转化思想.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】解：∵A（1；0，0），B（0，1，0）；

∴|AB|=

故答案为：．

根据空间两点间的距离公式进行求解即可．

本题主要考查空间两点间距离的求解，比较基础．【解析】三、证明题(共7题，共14分)13、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．14、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、作图题(共3题，共30分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；