2025年春新湘教版数学七年级下册课件 第4章 平面内的两条直线 4.6 两条平行线间的距离

两条平行线间的距离湘教版·七年级数学下册④复习导入1.什么是点到直线的距离？2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离.新课探究如图，l1∥l2，在直线l1上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D.ACCDl1l2

与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的________.

连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的____________.公垂线公垂线段如图，直线

AB

与

CD

都是平行线l1与l2的公垂线.再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？线段

AB

，

CD

都是平行线l1与l2的公垂线段.比较线段

AB

与

CD

的长度，AB=CD.公垂线段性质：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.两条平行线的所有公垂线段都相等.平行线

l1与l2之间的距离等于l1上任一点到直线l2的距离.由上述结论可以进一步猜测：证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，从而线段AB的长是直线l1与l2之间的距离.又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离.

两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.你能证明吗?如图，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？解：因为AB∥DC，DE⊥AB，

所以DE⊥DC.又AB∥DC，BF⊥CD，于是BF⊥AB.

因而DE∥FB.又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，从而线段DF，EB

都是平行线DE

与FB

的公垂线段.

故DF=EB.又AB=DC，所以AB–EB=DC-DF，即AE=CF.设a，b，c

是三条互相平行的直线，如图所示.已知a

与b

的距离为5，b

与c

的距离为2，求a

与c

的距离．解：在a上任取一点A，过点A作AC⊥c，分别与b，c

相交于B，C

两点．因为a，b，c是三条互相平行的直线，所以∠1=∠2=∠3=90°，即AB⊥b，AC⊥a.因此，线段AB，BC，AC

分别是平行线a

与b，b

与c，a

与c的公垂线段.又AC=AB+BC=5+2=7，因此a

与c

的距离是7.若将例2中的“如图所示”去掉，a与c

的距离会变化吗？a与c

的距离为7a与c

的距离为3[选自教材P123练习]1.利用平移画一条直线和已知直线l

平行，且要求两条平行线间的距离为2cm，这样的直线可以画几条？可以画2条[选自教材P123练习]2.如图，MN∥AB，P，Q为直线MN

上的任意两点，△PAB和△QAB

的面积有什么关系？为什么？解:相等.理由如下:因为△PAB和△QAB的AB边上的高相等，都是MN和AB之间的距离，即两三角形同底等高，所以△PAB和△QAB的面积相等.1.如图：按要求完成以下作图：(1)过

P

点作一条直线

CD平行于

AB,像

CD

这样平行于

AB的直线有且______一条.(2)过

P

点作线段

PQ⊥CD交

AB

于

Q，那么

PQ就叫做平行线

AB、CD间的__________；说一说

PQ与

AB的关系_________.只有公垂线段PQ⊥AB随堂演练(3)过

AB上的

E点，作

EF⊥AB

交

CD于

F，说一说

EF

与

CD

的关系:________.同理，EF也是平行线

AB、CD间的__________；(4)在

AB、CD间，像

PQ

这样的垂线段有______条.公垂线段EF⊥CD无数2.如图，MN//AB，P，Q为直线

MN上的任意两点，

△PAB

和△

QAB的面积有什么关系？为什么？解：分别过

P、Q两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为

C、D.因为

MN//AB，PC⊥AB，QD⊥AB，所以

PC=QD.所以△

PAB和△

QAB的面积相等.因为△PAB的面积=(AB·PC)，

3.如图，DE∥BC，AF⊥DE于

G，DH⊥BC于

H，且

AG=4cm，DH=4cm，试求点

A到

BC

的距离.解：因为AF⊥DE，DE∥BC，所以AF⊥BC.因为DH⊥BC，所以DH∥GF.因为DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC，所以DH=GF=4cm.所以AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm.即点

A

到

BC

的距离是8cm.课堂小结两条平行线的距离性质概念公垂线公垂线段平行线间的距离两条平行线的所有公垂线段都相等.公垂线段定理：

我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.两条平行