2025年新高考艺术生数学突破讲义专题35圆的方程快速基础能力提升

专题35圆的方程快速基础能力提升【考点预测】一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）.注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2、点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内.（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内.三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：则直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：则直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.五、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：则两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）【典型例题】例1．（2024·高二·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：A例2．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线相切，则圆O的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即，所以圆O的方程为.故选：A.例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圆，可得圆心，又由，在以为直径的圆的圆心为，半径为，则所求圆的方程为．故选：C．例4．（2024·高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，所以，解得：，所以所求圆的圆心为，半径为,故所求圆的方程为：.故选：A.例5．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6【答案】D【解析】设圆的方程为，代入点，，，则，解得，可得，整理得符合题意，所以圆的方程为，令，可得，解得，所以．故选：D.例6．（2024·陕西西安·二模）设直线与圆交于两点，则（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，∵圆心到直线的距离，.故选：B.例7．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（

）A．点在圆外 B．直线平分圆C．圆的周长为 D．直线与圆相离【答案】D【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1．对于选项A：由点到圆心的距离所以点在圆外，故A正确；对于选项B：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；对于选项C，圆的周长为，故C正确；对于选项D，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故D错误．故选：D．例8．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆化成标准方程为，点在圆O外，则有，即，解得或.故选：D．例9．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，则两圆的位置关系为（

）A．相切 B．外离 C．内含 D．相交【答案】D【解析】因为可化为则，半径，因为可化为，则，半径，则，因为，所以两圆相交.故选：D.例10．（2024·高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（

）A．{t|－1＜t＜}B．{t|－＜t＜1}C．{t|－1＜t＜}D．{t|1＜t＜2}【答案】B【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.例11．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．例12．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】圆的圆心为：，半径为，则圆心到直线的距离为，由垂径定理可得.故选：D.例13．（2024·四川·模拟预测）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且，由圆的圆心为，圆心到的距离为，圆心到：的距离为，所以，整理得到，由，所以．故选：D．例14．（2024·全国·模拟预测）若直线和圆的方程分别为，则“”是“直线和圆没有公共点”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】C【解析】因为表示圆，所以，即．若圆与直线没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，即，解得或．所以“”是“直线和圆没有公共点”的充分不必要条件．故选：C例15．（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，直线，即，令，解得，即，又，所以，所以直线，即，则点到直线直线的距离为，即.故选：D例16．（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.例17．（2024·高三·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】如图所示：设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故选：B.例18．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（

）A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【答案】B【解析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即，得.圆的圆心坐标为，半径为，其圆心在圆上，所以两圆相交.故选：B例19．（2024·高三·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（

）A．2 B． C． D．6【答案】D【解析】两圆方程相减得直线的方程为，圆化为标准方程，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长，所以.故选：D例20．（2024·高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由曲线，可化为，可得圆心，半径为，因为分别切圆于，所以四点在以为直径的圆，半径为，故圆的方程为：，即上，两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为，即直线的方程为.故选：A.例21．（2024·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程．【答案】或（答案不唯一，写出一个即可）【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆，当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为．由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程，故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）例22．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则.【答案】【解析】可知圆心为，半径．圆心到直线的距离：．由垂径定理可知：，当时，取得最小值，并且，故答案为：．例23．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为.【答案】【解析】由得，将化为标准方程，得，，因为两圆外切，所以，即，解得.到直线的距离，如下图：则直线被圆所截的弦长.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以点到圆心的距离恒为，所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，故选：B2．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，则有，解得，故该圆方程为.故选：D.3．（2024·浙江·一模）圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆，即，它的圆心坐标和半径分别为.故选：A.4．（2024·高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.5．（2024·高二·全国·课时练习）点与圆的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定【答案】C【解析】因为，所以点在圆外，故选：C6．（2024·高三·北京西城·开学考试）已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知：，整理得：①又由点到点的距离为3可得：②联立①②，解得：或.故.故选：B.7．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解析】根据题意，直线的方程为，恒过定点，设为，又由圆，即，其圆心为，半径，由，则在圆上，则直线与圆相交或相切.故选：D．8．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理得，，解得.故选：B.9．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（

）A．0 B．±1 C．±2 D．【答案】C【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，，因为，所以，所以，解得.故选：C10．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知圆，直线与圆相离，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为A，，若四边形的面积最小值为，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】圆的圆心为，半径，由题意可知：，解得，即的最小值为，可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，解得或.故选：C.11．（2024·高三·河南周口·开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，由题意知，，，，所以，根据圆的对称性易知，则，解得．故选：A．12．（2024·云南昆明·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】由，得,则圆心，则，则，则四边形的面积为.故选：C13．（2024·高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】根据题意，圆，即，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，两圆的圆心距，因此两圆外切；则圆与圆的公切线有3条．故选：C．14．（2024·高三·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意圆是以为圆心1为半径的圆；即是以为圆心3为半径的圆；圆心距满足，所以两圆相离，所以两圆的公切线条数为4.故选：D.15．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由可知圆心为，半径，由，即，则圆心为，半径，则两圆圆心距离为，，，故，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.16．（2024·高三·江苏苏州·期中）圆与圆的公切线的条数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】圆化成标准方程为，知圆化成标准方程为，知圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.故选：A二、多选题17．（2024·广东韶关·一模）已知圆，点，下列命题正确的是（

）A．圆的圆心为B．过点的直线可能与圆相切C．圆上的点到点距离的最大值为D．若以为圆心的圆和圆内切，则圆的半径为【答案】ACD【解析】选项A：变形为，圆心为，A正确；选项B：，故点在圆内，故过点的直线不可能与圆相切，B错误选项C：圆上的点到点距离的最大值为圆心到的距离加上半径，即，C正确；选项D：两圆的位置关系为内切，且点P在圆M的内部，则圆的半径为，D正确.故选：ACD18．（2024·高三·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，则下列命题正确的是（

）A．圆的圆心是 B．点在圆内C．圆的最大弦长为 D．过原点可以作圆的两条切线【答案】BC【解析】将圆的方程化为标准方程可得，则圆的圆心坐标为，半径为，则圆的最大弦长为，因为，则原点在圆上，则过原点可以作圆的一条直线，BC对，AD错.故选：BC.19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于A，点在圆上，故A正确；对于B，点在圆上，故B正确；对于C，点都不在圆上，故C错误；对于D，点都不在圆上，故D错误；故选：AB.20．（2024·云南红河·二模）若圆与圆交于两点，则下列选项中正确的是（

）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆上的点到直线距离的最大值为D．圆上存在两点，使得【答案】BC【解析】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误；对于B，因为圆和圆相交，将两圆方程作差可得：，即公共弦AB所在直线的方程为，故B正确；对于C，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线：的距离为，所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确；对于D，直线AB经过圆的圆心，而，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，故D错误.故选：BC.21．（2024·河北沧州·模拟预测）已知圆，圆，则下列选项正确的是（

）A．直线的方程为B．圆和圆共有4条公切线C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为【答案】ACD【解析】由题意得，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，直线的方程为，即，所以A正确；对于B，因为且，可得，所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确；对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，此时圆的面积为，所以D正确．故选：ACD.22．（2024·高二·湖南郴州·期末）已知圆，则下列命题正确的是（

）A．圆心坐标为B．直线与圆相交所得的弦长为8C．圆与圆有三条公切线.D．圆上恰有三个点到直线的距离为，则或【答案】ABD【解析】对于A中，由圆，可化为，可得圆心，半径为，所以A正确；对于B中，由圆心到直线的距离为，则相交弦长为，所以B正确；对于C中，由圆，可得圆心，半径，可得，且，则，所以圆与圆相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；对于D中，由圆上恰有三个点到直线的距离为，则满足圆心到直线的距离为，即，解得或，所以D正确.故选：ABD.23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（

）A．若圆和圆外离，则B．若圆和圆外切，则C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线D．当时，圆和圆相交【答案】BCD【解析】.若和外离，则，解得或，故A错误；若和外切，，解得，故B正确；当时，和内切，故C正确；当时，和相交，故D正确.故选：BCD三、填空题24．（2024·高三·河北·阶段练习）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为；②直线被圆C所截得的弦长为2．写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为．【答案】（答案不唯一）【解析】设圆C的圆心坐标为，因为直线被圆C所截得的弦长为2，圆的半径为，所以，整理得或，所以或．可取，此时圆．故答案为：（答案不唯一）25．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：.【答案】（答案不唯一，）【解析】因为圆的圆心在直线上，不妨设其圆心，又因为圆与轴相切，则半径为，所以圆的标准方程为，取，则一个同时满足上述条件的圆的标准方程为.故答案为：（答案不唯一，）26．（2024·高三·全国·专题练习）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的方程为.【答案】【解析】由题意设圆心，因为，所以，解得，则半径，圆心为，则圆的方程为.故答案为：27．（2024·全国·模拟预测）若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为．【答案】或【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，则圆的方程为，再将点代入，得.故答案为：.28．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）写出一个圆心在轴上，且与直线相切的圆的标准方程：.【答案】（答案不唯一）【解析】结合题意：设圆的标准方程为，因为该圆与直线相切，所以圆心到该直线的距离，即，则该圆的标准方程为：，不妨取，故此时圆的标准方程为：.故答案为：（答案不唯一）.29．（2024·广西·模拟预测）已知圆：关于直线对称的圆为.【答案】【解析】设圆：关于直线对称的圆的圆心为，则，解得，即，故圆关于直线对称的圆的方程为，即,故答案为：30．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为．【答案】【解析】设圆心为，设圆的标准方程为，将代入圆的方程中，，解得故圆的标准方程为：.故答案为：.31．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为．【答案】；【解析】依题意，设的外接圆的一般方程为，则，解得，所以所求圆的一般方程为，则其标准方程为.故答案为：.32．（2024·高二·河北保定·期中）已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为．【答案】【解析】设圆M的一般式方程为：，因为圆M经过点，，，所以，解得，得圆M的一般式方程为：，故圆M的标准方程为：.故答案为：33．（2024·全国·模拟预测）函数的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为．【答案】【解析】函数的图像与坐标轴的交点分别为，，，则线段的垂直平分线为，线段的垂直平分线为．所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径，所以所求圆的方程为．故答案为：.34．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为.【答案】（答案不唯一）【解析】令，则，解得，不妨设；令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.设所求圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的方程为.当圆过三点时，,所以圆的程为.当圆过三点时，,当圆过三点方程为.故答案为：（答案不唯一）35．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为．【答案】【解析】圆方程整理为，则圆心，，因为圆不经过第三象限，所以，解得，则.故答案为：.36．（2024·高三·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】由在圆的外部，得，解得，或，故答案为：37．（2024·高三·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是．【答案】【解析】设所求圆的一般方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，则所求圆的一般方程为：，.故答案为：.38．（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.39．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是．（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）【答案】2（答案不唯一）【解析】由于直线经过点，即，即，故在以为圆心，2为半径的圆上，由于，即原点在该圆内，故，则原点到点的距离可以是2，故答案为：240．（2024·高三·江苏南通·期中）已知直线与：交于，两点，写出满足“三角形面积为2”的的一个值.【答案】1(或-1)【解析】直线过定点，点也在上，故可设，，三角形面积为2，则点到轴的距离为2，点在上，则有或，代入直线方程解得或.故答案为：1(或-1)41．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是．【答案】相交【解析】点在圆外，圆心到直线的距离:,直线与圆相交.故答案为：相交.42．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为.【答案】4【解析】依题意，点关于直线的对称点在圆上，则，解得，因此点在圆上，则，解得，所以实数的值为4.故答案为：443．（2024·山西临汾·一模）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是.【答案】相离【解析】因为点在圆内，所以，圆的圆心到直线的距离为，又，则，所以直线与圆相离.故答案为：相离.44．（2024·北京海淀·一模）已知，线段是过点的弦，则的最小值为.【答案】【解析】由，故点在圆的内部，且该圆圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得，即，故当取最大值时，有最小值，又，故.故答案为：.45．（2024·全国·模拟预测）已知圆，若过点的直线l与圆C相交所得弦的长为2，则直线l的斜率为