2025年新高考艺术生数学突破讲义专题32四大分布-两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布

专题32四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布【考点预测】一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量的分布列.表13-1…=1\*GB3①;=2\*GB3②.（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。二、几种特殊的分布列、期望、方差（1）两点分布（又称0，1分布）011-=，=.（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率，称服从参数为的二项分布，记作，=，=.（3）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件，，其中为与的较小者，，称服从参数为的超几何分布，记作，此时有公式。三、正态分布（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为，（其中是参数，且，）。其图像如图所示，有以下性质：=1\*GB3①曲线在轴上方，并且关于直线对称；=2\*GB3②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；=3\*GB3③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；=4\*GB3④图像与轴之间的面积为1.（2）=，=，记作.当时，服从标准正态分布，记作.（3），则在，，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。【典型例题】例1．（2024·高三·江苏镇江·阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D正确.故选：C.例2．（2024·高三·广东深圳·期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.故选：B.例3．（2024·湖南长沙·一模）若，则当，1，2，…，100时（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得：即，化简得：，又k为整数,可得,所以，故选：C．例4．（2024·广东佛山·三模）高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（

）参考数据：若，则，．A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668【答案】A【解析】根据题意则考生分数超过520分的概率根据题意可得，则故选：A．例5．（2024·山东枣庄·一模）下列命题错误的是（

）A．若数据的标准差为，则数据的标准差为B．若，则C．若，则D．若为取有限个值的离散型随机变量，则【答案】D【解析】数据，，，，的标准差为，则数据，，，，的标准差为，故A正确；，，则，得，，故B正确；，，则，故C正确；为取有限个值的离散型随机变量，则，故D错误．故选：D．例6．（2024·高二·河北唐山·阶段练习）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率.(2)求第次投篮的人是甲的概率.(3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求.【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，由题意得；（2）由题意设为第次投篮的是甲，则，，又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，，即，第次投篮的人是甲的概率为；（3）由（2）得，由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，，当时，，综上所述，，．例7．（2024·高二·北京·阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.【解析】（1）由频率和为可得，解得.（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，所以的可能取值为.，，，所以的分布列为（3）由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为，设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，则服从二项分布，所以获得B等级的人数不少于2人的概率为例8．（2024·陕西西安·三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数101520255赞成的人数61220122(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．【解析】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.则，，．所以的分布列为234所以.例9．（2024·陕西西安·二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成，，，，，这6组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为，求的分布列与期望.【解析】（1）因为，，所以该校学生比赛成绩的中位数在内，设该校学生比赛成绩的中位数为，则，解得，即该校学生比赛成绩的中位数为．（2）由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为，则从该校学生中随机抽取人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是．由题意可知，则，即，，，所以的分布列为0123故．例10．（2024·全国·模拟预测）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.【解析】（1）由表格可知，成绩在的人数为，所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为.（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，成绩在内的人数为，则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由题意可知，则的可能取值为，则，，，，故的分布列为0123所以的数学期望.例11．（2024·四川·模拟预测）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.【解析】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：.（2）由题意知，则，故该校女生短跑成绩在内的概率，由题意可得，所以，，所以.例12．（2024·高三·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.【解析】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，所以，则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.（2）因为，所以，依题意可得，所以，因为，所以，又为正整数，所以的最小值为2001.例13．（2024·云南大理·模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.参考数据:若,则,,,,.【解析】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,所以,则,即这人中至少有一人进入面试的概率为.（2）的可能取值为,,,,,则随机变量的分布列为：,.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．2．（2024·全国·模拟预测）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，则，所以.故选：D.3．（2024·天津南开·一模）已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由以及可得，由于，故，，故选：D4．（2024·辽宁辽阳·一模）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．48【答案】A【解析】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，故，从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数故，故选：A二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．随机变量X服从两点分布，若，则B．随机变量，若，，则C．随机变量X服从正态分布，且，则D．随机变量X服从正态分布，且满足，则随机变量Y服从正态分布【答案】BD【解析】对于A，随机变量X服从两点分布，由，得，则，A错误；对于B，随机变量，有，，解得，B正确；对于C,随机变量，则，，C错误；对于D，随机变量X，Y满足，则，，，因此，D正确．故选：BD6．（2024·辽宁·三模）若随机变量，下列说法中正确的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【解析】A选项：因，所以，故A错误.B选项：，故B正确.C选项：，故C正确.D选项：，，故D正确.故选：BCD.7．（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量从二项分布，则（

）A． B．C． D．最大时或501【答案】AD【解析】对A，，所以A对；对B，因为，且，所以，所以B错；对C，因为，所以，所以C错；对D，因为，由组合数的性质得，最大时或501，所以D对.故选：AD8．（2024·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（

）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C． D．【答案】ABD【解析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．故选：ABD.9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）若，则下列说法正确的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由，可得期望为，方差为，对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，因为，即，所以B不正确；对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；对于D中，由正态分布曲线的性质，可得，且，可得，所以D正确.故选：ACD.10．（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（

）A．变量的方差为1，均值为0 B．C．函数在上是单调增函数 D．【答案】ACD【解析】随机变量，则A正确；，则B错误；随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于对称，，则D正确，故选：ACD．11．（2024·新疆·二模）坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（

）参考数据：，A．配重的平均数为B．C．D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人【答案】BC【解析】对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故,故B项正确；对于C项，显然正确；对于D项，因,故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.故选：BC.三、填空题12．（2024·高三·江西吉安·阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么.【答案】【解析】由题意可知，解得.故答案为：.13．（2024·高三·全国·课后作业）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望.【答案】【解析】设袋中白球数为．设从中任摸个球至少得到个白球为事件，任取两球无白球为事件，所以，解得，即袋中有5个白球．所以离散型随机变量的取值可能为：0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123．14．（2024·高三·浙江·阶段练习）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.【答案】/0.4【解析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，，，所以.故答案为：.15．（2024·全国·模拟预测）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为．【答案】【解析】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.故答案为：.16．（2024·四川遂宁·模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）【答案】410【解析】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为，即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布，所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有.故答案为：41017．（2024·全国·模拟预测）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．【答案】1600【解析】解法一：因为X服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率，所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．解法二：因为X服从正态分布，且，所以，所以该企业生产的该种零件不合格的概率为，所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．故答案为：1600.18．（2024·广东·一模）随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是.【答案】88【解析】随机变量，又，则，因此，则，所以随机变量的第80百分位数是88.故答案为：8819．（2024·福建·模拟预测）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为.（若，则，，）【答案】【解析】技术改造前，易知，则其优品率为；技术改造后，其中，则其优品率为；所以优品率之差为.故答案为：四、解答题20．（2024·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）【解析】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,所以估计为；（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为，根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且；；；，则的分布列为：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.21．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差；【解析】（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为，所有第二次取出的球是红球的概率为；（2）的所有可能取值为0，1，2，，所以的分布为，它的期望为，它的方差为.22．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.序号评委甲评分评委乙评分初评得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）【解析】（1）设事件为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过，又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3）根据数据序号为2的论文初评得分排名为第，由已知，，明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第，现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故，所以，即，所以序号为2的论文标准化得分排名为第，所以序号为2的论文的两种排名结果相同.23．（2024·高三·河南周口·开学考试）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把汤洪波､唐胜杰､江新林送入太空，他们是载人航天工程进入空间站应用和发展阶段的第二批航天员，他们的轮换和在轨工作也趋于常态化，主要包括人员和物资的正常轮换补给､空间站组合体平台照料､在轨实（试）验､开展科普及公益活动以及异常情况处置等工作．空间站的公益活动是与大众比较接近和感兴趣的空间站的工作任务．为了解学生对空间站的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据：对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生120女生60合计已知从这300名学生中随机抽取1人，抽到对此项活动感兴趣的学生的概率为．(1)将上述列联表补充完整，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对空间站开展的公益活动感兴趣与性别有关联？(2)该学校对参与问卷调查的学生按性别，利用按比例分配的分层随机抽样的方法，从对此项活动感兴趣的学生中抽取7人组成“我国载人航天事迹”宣传小组，从这7人中任选3人，随机变量表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望．附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828参考公式：，其中．【解析】（1）因为从这300名学生中随机抽取1人，抽到对此感兴趣的学生的概率为，所以对此项活动感兴趣的学生数为人，不感兴趣的有90人，所以列联表为：对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生12030150女生9060150合计21090300零假设为：对空间站开展的公益活动感兴趣与性别无关联，根据列联表，经计算得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对该项目感兴趣与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．（2）由分层随机抽样知在抽取的7人中，男生有人，女生有人，所以随机变量可能的取值为，，，所以分布列为：0123所以．24．（2024·高三·辽宁沈阳·期末）为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比.根据试验数据得到如下直方图：(1)求残留百分比直方图中的值；(2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)在体内药物残留百分比位于区间的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间的小鼠为只，求的分布列和期望.【解析】（1）由题知，，解得.（2）由图知，.（3）体内药物残留百分比位于区间内的频率为，位于内的频率为.则百分比位于区间内的小鼠有10只，位于内的小鼠有5只，X的所有取值为0,1,2,3，所以，，，，所以，的分布列如下：0123由期望公式得.25．（2024·高三·江苏南京·期中）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．【解析】（1），，，所以X的分布为X0102030P所以（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.26．（2024·高三·重庆渝中·期中）2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：男生女生合计喜欢120100220不喜欢80100180合计200200400(1)根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？(2)为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．参考公式及数据：，其中．0.150.100.050.0250.012.0722.7063.8415.0246.635【解析】（1）列联表如下表所示：男生女生合计喜欢不喜欢合计零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，，，采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，（2）采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．（3）由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，故．27．（2024·陕西汉中·模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列为：X012P0.10.60.328．（2024·安徽池州·模拟预测）“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．(1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；年龄群体运动会合计关注不关注青少年群体40中老年群体合计6040100(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.828【解析】（1）由题意可知“青少年群体”共有（人），“中老年群体”共有（人），所以列联表如下：年龄群体运动会合计关注不关注青少年群体401555中老年群体202545合计6040100零假设为：关注“运动会”与年龄群体无关联．根据列联表中的数据，经计算得到，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为关注“运动会”与“年龄群体”有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）样本中“青少年群体”关注“运动会”的有40人，“中老年群体”关注“运动会”的有20人，按比例分层抽样的方法抽取6人，则“青少年群体”应抽取4人，“中老年群体”应抽取2人，则的所有可能取值为1，2，3，所以，，故随机变量的分布列为123所以．29．（2024·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．【解析】（1）当时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为，则，，，．X的分布列为X0123P数学期望．（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件．，，，，．故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．30．（2024·安徽·模拟预测）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；(2)当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【解析】（1）当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2，根据题意可知：，，，所以第一轮答题后累计得分的分布列为：432所以.（2）当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以.31．（2024·陕西榆林·二模）蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝䔦种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓､高丛蓝莓､兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.(1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.【解析】（1）因为这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为，所以这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为.（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为.32．（2024·全国·模拟预测）2023年是我国改革开放45周年，改革开放以来，我国发生了翻天覆地的变化，居民消费水平也得到了大幅提升．调查得到某市居民周末消费金额（单位：元）的频率分布直方图如图所示．(1)求该市居民周末人均消费金额（每组数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，从该市居民中随机选取3人进行周末消费习惯调查，这3人中周末消费金额在的人数记为，求的分布列与数学期望．【解析】（1）由题可得，解得，所以估计该市居民周末人均消费金额为（元）．（2）由频率分布直方图可知，在该市随机选取一人，该人周末消费金额在的概率为．易知的所有可能取值为0，1，2，3，且，即，，，，则的分布列为01230.2160.4320.2880.064故．（另）33．（2024·广东·模拟预测）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.34．（2024·四川南充·一模）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）；(2)该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．【解析】（1），解得..（2）由题知：，，，，，的分布列.35．（2024·甘肃·模拟预测）为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.(1)求两人不申请同一套住房的概率；(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.【解析】（1）设两人申请同一套住房为事件，，所以两人不申请同一套住房的概率为；（2）方法一：随机变量可能取的值为.，，，所以的分布列为0123所以数学期望.方法二：依题意得，所以，所以的分布列为0123所以数学期望.36．（2024·河南安阳·模拟预测）某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：出行方式步行骑行自驾公共交通比例5%25%30%40%同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．【解析】（1）依题意可得，解得，因为，所以中位数为于，设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；（2）选择公共交通出行方式的频率为，所以，则的可能取值为、、、、，所以，，，，所以的分布列为：所以；37．（2024·湖北武汉·模拟预测）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．(1)求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；(2)以频率估计概率，现从学校所有学生中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？【解析】（1）由图知：，故，①选用平均数比较合适，因为一方面平均数反映了评分的平均水平，另一方面由频率分布直方图估计时评分的极端值所占比例较少，故选用平均数较合理.②选用众数比较合适，因为一方面众数反映了出现频率最多的那个值的信息，反映了普遍性的倾向，另一方面由频率分步直方图估计其中评分在的人数超过了一半，从而选用众数也比较合理；（2）记18名学生中k名学生的成绩在的概率为，，…，18.由已知得X~B(18，0.6)，，令，即，即，解得，由，.所以估计这18名学生中评分在最有可能为11人.38．（2024·安徽合肥·模拟预测）《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望．【解析】（1）树高在225-235cm之间的棵数为：．树高的平均值为：（2）由（1）可知，树高为优秀的概率为：，由题意可知，则的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P0.5120.3840.0960.008因为，所以39．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．(1)求m的值；(2)若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？(3)以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的学生数为X，求X的分布列和数学期望．【解析】（1）由，解得；（2）学生成绩的均值的估计值为：因为，所以需要开展“党史进课堂”活动，又85－81.5＝3.5，所以需开展2个月才能达到要求；（3）由频率分布直方图可知，从全校学生中随机抽取1人成绩不低于85分的概率为．

X的取值可能为0，1，2，3，4，且．，，，．

故X的分布列为：X01234P0.