2025年新高考艺术生数学突破讲义专题07函数的性质-单调性、奇偶性、周期性

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【知识点梳理】1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；=2\*GB3②任意两个自变量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．3、函数的对称性（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．（3）若，则函数关于对称．（4）若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典型例题】例1．（2024·北京顺义·高三统考期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B例2．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且该函数在上为增函数，A不满足要求；对于B选项，设，该函数的定义域为，，函数为奇函数，因为，所以函数在、上都是增函数，所以，函数在上为增函数，B满足要求；对于C选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，C不满足要求；对于D选项，函数为奇函数，且该函数在其定义域上不单调，D不满足要求.故选：B.例3．（2024·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上是减函数，只需要即可，若，则，成立；若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立.若，当和时，，故不成立.所以，当时，，而是的充分不必要条件.故选：A.例4．（2024·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B例5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减【答案】B【解析】因为函数的定义域为R，且，所以是奇函数，又，作出函数图象如下图：由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减.故选：B例6．（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数是定义上的奇函数，可得，即且，又由，可得，因为时，单调递增函数且为奇函数，则时，函数也是单调递增函数，所以不等式，即为或，可得或，所以不等式的解集为，故选：D.例7．（2024·全国·高三期末）已知函数在区间上的最大值为，则等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由函数，对称轴的方程为，当时，则时，函数取得最大值，不满足题意；当时，可函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，解得或（舍去）.故选：C.例8．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，∴，.故选：C.例9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为奇函数，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】当时，，所以，通过对比系数得.故选：A例10．（2024·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】B【解析】由函数，因为是奇函数，所以，即，整理得，解得，所以．故选：B.例11．（2024·陕西西安·统考一模）已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（

）A．B．是周期函数，且2是其一个周期C．D．【答案】C【解析】选项A，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以选项A正确，选项B，由，知是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，选项C，因为，又，，得到，所以选项C错误，选项D，，所以选项D正确，故选：C.例12．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知函数对任意实数都有且则（

）A． B． C．1 D．0【答案】D【解析】由，令，则，可得，即，所以，可得函数为奇函数，所以，又由，令，可得，即，可得，则，所以，可得函数是周期为的周期函数，则.故选：D.例13．（2024·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则．【答案】4【解析】由于函数图象关于直线对称，，故，又为偶函数，故，则，故答案为：4【过关测试】一、单选题1．（2024·河南·高三专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，若，则显然成立；若，则，则，不能得出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．（2024·广东·高三学业考试）若函数在上是增函数，则（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】因为在上是增函数，则,即.故选：A3．（2024·北京·高三北京市第三十五中学校考期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A选项，，是R上的增函数，但不是奇函数，故A错误；B选项，，是奇函数，但不是增函数，故B错误；C选项，，，，是奇函数，又，，，所以不是增函数，故C错误；D选项，，画出其图像，可得既是奇函数又是增函数.故选：D.4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，则，解得或，所以的定义域为，又开口向上，对称轴为，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调增区间为.故选：A.5．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A6．（2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，则函数在上为增函数，因为，由可得，则，解得，因此，满足的的取值范围是.故选：C.7．（2024·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由为奇函数，得，所以不等式等价于.又因为在上单调递减，所以，即.故选：A8．（2024·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为当时，，则，所以在上单调递增，又为偶函数，，所以，则，即，解得．故选：C．9．（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是偶函数，且，，所以，又在上单调递减，所以，即或解得，或故选：D10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为上的减函数，且，所以，解得或，故选：D．11．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期末）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，恒成立，即，恒成立，则，函数有意义，则，解得或，显然函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，从而函数在上单调递增，所以实数的取值范围是.故选：D12．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，所以，即，解得.故选：B13．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的定义域为R，且，所以函数为奇函数；由随着的增大，越来越大，越来越小，所以越来越大，所以函数在上单调递增..故选：C14．（2024·广东茂名·统考一模）函数和均为上的奇函数，若，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即，又关于原点对称，则，有，所以的周期为4，故.故选：A15．（2024·山西·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】设，因为，所以函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，因为函数的图象相当于函数的图象向下平移两个单位，所以可得函数的图象关于点对称，由对称性可知．故选：A．16．（2024·全国·模拟预测）己知函数的定义域为若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，用代,得，又，所以，得，故的周期为,所以.故选：A．17．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为上的奇函数，，且，则（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由函数为上的奇函数，得且，由，得，又，得，得，故，所以的一个周期为4，则，A正确.故选：A.18．（2024·陕西西安·统考一模）已知是上的奇函数，且，当时，，则（

）A．3 B． C．255 D．【答案】B【解析】由题意可知：，即4为的一个周期，所以.故选：B19．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）已知定义在上的函数，满足，，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由，知函数关于点对称，由，知函数关于直线对称，所以函数的周期为.又，所以，，所以，又，所以，所以.故选：D20．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，，则（

）A．函数为偶函数 B．C． D．【答案】A【解析】已知函数的定义域为，为偶函数，则，函数图像关于直线对称，有，又，则，令，有，所以函数周期为2.，函数为偶函数，A选项正确；，C选项错误；已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误；故选：A21．（2024·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，函数为偶函数，则有，可得，又由为奇函数，则，则有，所以，即，所以A错误；对于B中，函数为偶函数，则有，所以B不正确；对于C中，由，则，所以是周期为4的周期函数，所以，所以C正确；对于D中，由是周期为4的周期函数，可得，其中结果不一定为0，所以D错误.故选：C.二、多选题22．（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】函数开口向上，对称轴为，若，即时，解得或（舍去），若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），综上可得或.故选：BD23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为上的减函数【答案】ACD【解析】对于A，由题可知，故，故A正确；对于B，由题可知，，故B错误；对于C，，故，为奇函数，故C正确；对于D，当时，，，是上的减函数，故D正确.故选：ACD24．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为4 B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称 D．在内至少有5个零点【答案】BCD【解析】对于A，因为是定义在上的奇函数，且，所以，即，所以的周期为4，但的最小正周期不一定为4，如，满足为奇函数，且，而的最小正周期为，故A错误；对于B，因为为奇函数，且，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，由，及为奇函数可知，即的图象关于点对称，故C正确；对于D，因为是定义在上的奇函数，所以，又，，所以，故，所以在内至少有，，0，2，4这5个零点，故D正确．故选：BCD．25．（2024·海南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C． D．【答案】BCD【解析】对于A中，由为奇函数得，因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；对于C中，，从而，所以以4为周期，可得，由中，令，得，所以C正确；对于D中，由前面的分析可得，，所以，所以D正确．故选：BCD.26．（2024·山东泰安·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（

）A． B．对，恒成立C．函数关于点中心对称 D．【答案】BCD【解析】∵函数的图像关于y轴对称，∴函数的图像关于直线对称，，则，∵函数的图像关于原点对称，∴函数的图像关于点中心对称，，，则，C选项正确；，，故，B选项正确；，D选项正确；没有条件能确定，A选项错误.故选：BCD.27．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．的图像关于直线对称 D．在[0，10]上有6个零点【答案】AB【解析】选项A：对于，令，得，对于，令，得，所以，则，A正确；选项B：由得，由得，所以，是奇函数，B正确；选项C：由，得，所以12是的一个周期，又是奇函数，所以的图像关于点对称，因为不恒为零，所以的图像不关于直线对称，C错误；选项D：由A知，对于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．故选：AB．三、填空题28．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知，求.【答案】8【解析】设，则在上为增函数，且，所以只有一；同理：方程只有一.所以：.故答案为：29．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数，则的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因为单调递增，所以，则的最大值是16.故答案为：1630．（2024·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由题意，在中，∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.故答案为：.31．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为偶函数，则.【答案】/0.5【解析】因函数在R上为偶函数，且是奇函数，故在R上为奇函数，则，解得；验证：当时，，，由可得为奇函数，故是偶函数.故答案为：．32．（2024·四川内江·高三校考阶段练习）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．【答案】【解析】依题意，当时，，故在区间上的解析式.故答案为：33．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时，．【答案】【解析】当时，，则，因为为定义在上的奇函数，所以．故答案为：34．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高三校考期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则【答案】【解析】由函数的图象关于原点中心对称，即为奇函数，则有，即，解得.故答案为：.35．（2024·陕西西安·西安一中校考模拟预测）定义域为的函数满足当时，，且是奇函数，则.【答案】6【解析】设，则，因为是奇函数，故，又因为当时，，故，所以.故答案为：636．（2024·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则的值为．【答案】【解析】，由为R上的奇函数，得，即，因为，所以时，，即，则.故答案为：37．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则.【答案】/0.5【解析】为奇函数，故，即，即，故，解得.故答案为：38．（2024·全国·高三专题练习）若函数是上的偶函数，则的值为.【答案】【解析】由题意首先，解得，即函数是上的偶函数，由，解得，此时，经检验符合题意，所以.故答案为：.39．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是.【答案】【解析】∵，∴.∵，∴.∴，解得，∴的取值范围是.故答案为：.40．（2024·广东·高三学业考试）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】因为定义域为的偶函数在区间上严格减，则，所以，即或，解得或，即所求解集为.故答案为：.41．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在