2025年新高考艺术生数学突破讲义专题06函数的概念

2025年新高考艺术生数学突破讲义专题06函数的概念【知识点梳理】1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记作：x→y=f(x)，x∈A．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{yy=f(x)，x∈A}叫做值域，记为（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．（3）函数表示法：函数书写方式为y=f(x)，x（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．2、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是xx∈R,（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．3、基本初等函数的值域（1）y=kx+b (k≠0)的值域是R．（2）y=ax2+bx+c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{yy≥（3）y=kx (k≠0)（4）y=ax (a>0且a≠1)（5）y=logax (a>0且4、分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【典型例题】例1．（2024·山东潍坊·高三阶段练习）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数定义，在定义域内，对于任意的x，只能有唯一确定的y与其对应，ABC满足要求，D选项，在定义域内对于x>0，有两个确定的y与其对应，D错误.故选：D例2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx-1=x2-A．2 B．±2 C．2 D．【答案】D【解析】令x-1=a,x2-2x=3，解得故选：D例3．（2024·全国·模拟预测）设函数fx=8-2A．-∞,6 B．-∞,3 C． D．【答案】A【解析】由题意得，8-2x≥0，解得x≤3,即函数fx2的定义域为故选:A例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数y=f2x的定义域为，则函数y=f(1-x)A．[0,74]C．-2,4 D．【答案】D【解析】由函数y=f2x的定义域为，得2x∈因此函数y=f(1-x)ln(x+2)所以函数y=f(1-x)故选：D例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数fx=kx2-3x+kA．k≥0或k≤-C．-32≤【答案】B【解析】由题意可得，kx当k=0时，即-3x当k≠0时，有k>0Δ综上可得，k≥故选：B例6．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，则A．f(x)=2x-13或f(x)=-2x+1C．f(x)=2x-1或f(x)=-2x+1【答案】A【解析】设f(x)=kx+bk≠0k2=4bk+1=-1，求出k和b的值，即可得f(x)即对任意的x恒成立，所以k2=4bk+1=所以f(x)的解析式为f(x)=2x-13故选：A例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）下列各项不能表示同一个函数的是（

）A．fx=x2-1xC．ft=1+t1-t与【答案】ABD【解析】对于A:fx定义域为-∞,1∪1,+∞，gx定义域为对于B:fx=x-1与g对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；对于D:fx定义域为R，gx定义域为-∞,0∪0,+故选:ABD.例8．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数，若fa=3，则实数a的值可以是（

A．1 B． C．5 D．-5【答案】BC【解析】当a<2时，3a+2=3，解得当a≥2时，log3a2+2=3综上所述，a=5或a=-故选：BC例9．（2024·全国·模拟预测）若函数fx满足关系式2fx+f1【答案】6【解析】因为2fx+f1解得fx=2x-故选：6例10．（2024·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是.【答案】-∞【解析】由题意可得、x≠0，故x<12且x故该函数定义域为-∞,0故答案为：-∞,0例11．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最值.(1)y=x2(2)y=x+22x+5【解析】（1）y=≤2-21-x⋅31-x=2-2所以y=x2+2（2）设t=x+2t>0，则y=t当且仅当2t=1t，即，即x=-故y=x+22x+5x>-2例12．（2024·全国·高三专题练习）求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①x∈-4,-1(2)f(x)=x(3)f(x)=x【解析】（1），①当x∈-4,-1时，y∴值域为[7，28]；②当x∈-2,3时，y∴值域为[3，12]．（2）令t=x2-2x+3因为t=x2-2x+3=(x-1)2所以函数的值域为2,+（3）y=x因为5x+3≠0所以函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).例13．（2024·天津河西·高三统考期中）已知函数fx(1)当a=0时，求fx(2)若fx的定义域为-2,1，求实数a(3)若fx的定义域为R，求实数a的取值范围【解析】（1）当a=0时，fx所以fx的值域为15（2）因为fx的定义域为-所以-2和1是方程1-故-2+1=3a-11-a2（3）当a=1时，fx=6当a=-1时，fx=6x+6当1-a2≠0时，由题意，1-令1-a2综上所述，实数a的取值范围-5【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)满足f(x)+2f(2-x)=1x-1，则f(3)A．-73 B． C．-415【答案】B【解析】由f(x)+2f(2-x)=1x-1，将x换成2-x即f(2-联立方程组f(x)+2f(2-x)=1x-1所以f(3)=-故选：B.2．（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的开区间段13,23，记为第一次操作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；A．29,13 B．227,【答案】C【解析】第一次操作剩下：；第二次操作剩下：0,1第三次操作剩下：0,1即从左到右第四个区间为827故选：C.3．（2024·山东滨州·高三校考阶段练习）已知f(x)的定义域为[1,3]，则g(x)=f(3xA．1,32∪C．1,32∪【答案】A【解析】因为fx定义域为1,3，所以f3x-2的定义域为1≤3x-2≤3，解得由分母不为0，得2x-3≠0，即x≠32，所以函数定义域为：故选：A.4．（2024·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数y=f(x)的定义域是-4,5，则y=f(x-1)A．-2,4 B．-2,6 C．-2,4 D．-【答案】D【解析】因为函数f(x)的定义域为[-所以f(x-1)满足-4≤x-1≤5，即-3又x+2>0，即，所以-3≤x≤6x>-2，解得-所以函数y=f(x-1)x+2的定义域为故选：D.5．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）函数fx=x+1ax2-2ax+1A．a0<a<1 B．aa<0或a>1 C．a0≤a<1 D．【答案】C【解析】由函数fx=x+1ax当a=0时，1≠当a≠0时，Δ=4a2综上所述a的取值范围为a0故选：C．6．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=1mx2+2mx+1的定义域是RA．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0【答案】C【解析】依题意，∀x∈R，不等式m当m=0时，mx2+2mx+1=1>0当m≠0时，有m>0Δ=4m2-4m<0，解得所以m的取值范围是0≤故选：C7．（2024·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数y=-x2A．0,5 B．0,9 C．5,9 D．0,+【答案】B【解析】函数y=-x2+6x所以该函数在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，所以yyx=3max所以，即函数的值域为[0,9].故选：B.8．（2024·全国·高三对口高考）已知函数的值域是[1,7]，则x的取值范围是（

）A． B． C．[1,2] D．【答案】D【解析】y=x令y=1，则x2-3x+3=1，解得x=1或令y=7，则x2-3x+3=7，解得x=对于A：当时，结合图像，得y∈[34对于B：当时，结合图像，得y∈[34对于C：当x∈[1,2]时，结合图像，得y∈[3对于D：当x∈(0,1]∪[2,4]时，结合图像，得y∈[1,7]，故故选：D．9．（2024·全国·高三对口高考）若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（

）A．f(x)=-x2C．f(x)=x2-x-1【答案】D【解析】设fx=ax∵f0=1，则c=1又∵fx+1令x=0，则f1-f0=0，∴f1令x=1，则f2-f1=2，f2∴a=1，b=-1，fx故选：D.10．（2024·全国·高三专题练习）一次函数fx满足：ffx-2x=3，则A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【解析】设fx∴f∴k2-2k=0,kb+b=3，解得k=2,b=1，∴fx故选：C．11．（2024·全国·高三专题练习）已知f2x-1=4x2+3，则A．x2-2x+4 BC．x2-2x-1 D【答案】D【解析】令t=2x-1，则x=t+12，则f(t)=4(所以fx故选：D.12．（2024·全国·高三专题练习）若fx满足关系式f(x+1)=2x-3，则f(x)=（

A．2x+1 B．2x-5 C．3x-5 D．3x+1【答案】B【解析】由题意，在fx中，f(x+1)=2x∴fx故选：B.13．（2024·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，则f(x)的解析式是（

）A．f(x)=4x+3 B．f(x)=4x-3 C．f(x)=3x+2 D．f(x)=3x【答案】B【解析】依题意，函数f(x+1)=4(x+1)-所以f(x)的解析式是f(x)=4x-故选：B14．（2024·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考阶段练习）下列四组函数：①fx=x,gx=x2；②fx=x,gx=A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】①fx②fx③fx④fx=1故选：B.15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx=x2,x≥0A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】因为f-2=--2故选：A.16．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则f(f(12))=（A．14 B．12 C．22【答案】A【解析】函数，则，所以f(f(1故选：A17．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知函数f(x)=sinx,x≤0f(x-π2)+m,x>0A．14 B．12 C．1 D【答案】B【解析】函数f(x)=sinx,x≤0所以m=1故选：B18．（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数fx=2x-1-2,x≤1-loA．-74 B．-158 C．【答案】B【解析】依题意，a≤12a-1-2=-4或，解得所以f13故选：B19．（2024·四川宜宾·统考一模）设函数fx=log1A．8 B．9 C．22 D．26【答案】C【解析】f-因为log38>1所以f-故选：C.二、多选题20．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）给定数集A=R，B=(0,+∞)，x,y满足方程2x-y=0，下列对应关系fA．f:A→B，y=f(x) B．f:B→A，y=f(x)C．f:A→B，x=f(y) D．f:B→A，x=f(y)【答案】ABD【解析】对于A，y=f(x)=2x，∀x∈A，均有唯一确定fx对于B，y=f(x)=2x，∀x∈B，均有唯一确定fx对于C，x=fy=log2y，取对于D，x=fy=log2y，∀y∈B故选：ABD21．（2024·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知集合P={x|0<x≤6}，Q={y|0<y≤3}，下列从集合P到集合Q的各个对应关系f是函数的是（

）A．f:x→y=12xC．f:x→y=12x【答案】ABC【解析】选项A，f:x→y=12x，集合P中的每一个元素在集合Q选项B，f:x→y=x13，集合P中的每一个元素在集合Q选项C，f:x→y=12x，集合P中的每一个元素在集合Q选项D，f:x→y=lnx，集合P中的1，在集合Q中没有元素与之对应，故故选：ABC22．（2024·全国·高三专题练习）设集合P=x0≤x≤4,Q=y0≤y≤4A．

B．

C．

D．【答案】BD【解析】对于A：由图象可知定义域不是P，不满足；对于B：定义域为P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足；对于C：集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足；对于D：由函数定义可知D满足．故选：BD．23．（2024·全国·高三专题练习）若函数，且f(a)=1，则实数a的值可能为（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】BCD【解析】当a≤2时，由f(a)=1，得2a2-2a=1，得a2当a>2时，由f(a)=1，得log3(a2-2a)=1，得a综上，a=0，或a=2，或a=3，故选：BCD24．（2024·山东泰安·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=x2+6,x≤02x-1,x>0，若fxA．-3 B．3 C．7 D．【答案】AD【解析】当x≤0时，由fx=15，得x2+6=15，解得当x>0时，由fx=15，得2x-1=15，解得综上x=8或x=-故选：AD25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx=x2+1x≤02xA．-3 B．3 C．log210【答案】AD【解析】因为函数fx=x所以a≤0a2+1=10，解得：a=-3；或者a>0故选：AD26．（2024·云南·高三景东彝族自治县第一中学校考阶段练习）函数fx的图象是折线段ABC，如图所示，其中点A，B，C的坐标分别为-1,2，1,0，3,2，以下说法正确的是（

A．fx=-x+1,-1≤x<1,x-1,1≤x≤3 BC．fx+1为偶函数 D．满足ffx≥1【答案】ACD【解析】由图像可知，fx=-x+1,由于fx-1的图象，是将fx的图象向右平移又fx的定义域为-1,3，所以fx-1的定义域为0,4，故Bfx+1是将fx的图象向左平移由图像可知，fx+1的图象关于y轴对称，所以fx+1为偶函数，故C令t=fx，若ffx≥1，即ft≥1，由图像可知，或t≥2，即若f当fx≤0时，x=1，当fx≥2时故x的取值集合为-1,1,3，所以D正确故选：ACD.三、填空题27．（2024·山东·校联考模拟预测）不等式组x-1≥【答案】[【解析】∵不等式组x-1∴1≤x<2，∴不等式组的解集为[1,2故答案为：[1,228．（2024·北京东城·高三统考期末）函数fx=1【答案】0,1【解析】∵fxlnx≠0,x>0,解得x>0∴函数fx=1故答案为：0,1∪29．（2024·河北邢台·高三统考期末）若函数f(3x-2)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x+3)的定义域为．【答案】-【解析】因为-2≤x≤3，所以-8≤3x-2≤7，所以f(x)的定义域为[-要使f(2x+3)有意义，需满足-8≤2x+3≤7，解得-11所以函数f(2x+3)的定义域为-11故答案为：-1130．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2的定义域为1,2，求f2x+1【答案】0,【解析】∵fx2的定义域为1,2，即∴1<x故需1<2x+1<4，∴0<x<3∴f2x+1的定义域为0,故答案为：0,31．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx2的定义域为2,4，求fx【答案】4,16【解析】因为函数fx2的定义域为即2<x<4，则4<x故fx的定义域为4,16故答案为：4,16.32．（2024·上海·高三上海中学校考期中）函数y=x+1-x【答案】-【解析】由y=x+1当-1≤x≤2时，y=2x-1单调递增，所以-3故函数y=x+1-x-2故答案为：-3,333．（2024·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）函数y=21x【答案】0,【解析】设t=x4-1，则t≥-1从而1t∈-∞,-1故答案为：0,134．（2024·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若x>-1，则函数fx=x【答案】0,+【解析】∵fx当x>-1时，fx当且仅当x+1=1x+1，即故函数的值域为0,+∞故答案为：0,+∞35．（2024·全国·高三专题练习）函数y=x+1-【答案】-∞【解析】设t=1-xt≥0,则所以原函数可化为:y=-由二次函数性质,当t=12时,函数取最大值54所以值域为:-∞,故答案为:-∞,36．（2024·全国·高三专题练习）函数y=x+【答案】6【解析】由已知得函数y=x+6-x∵y=∴y又∵∴x∴6+2x6-x∈∴故答案为：6,237．（2024·山西晋中·高三校考开学考试）若函数fx满足fx+2f1【答案】-73