2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十六微专题1直线与圆

专题强化练（十六）微专题1直线与圆[小题标准练]1．已知直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为eq\r(2)，则直线l的方程是(A)A．x＋y－eq\r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析：因为直线l垂直于直线y＝x＋1，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又因为l在y轴上的截距为eq\r(2)，所以b＝eq\r(2)，故所求直线l的方程为y＝－x＋eq\r(2)，即x＋y－eq\r(2)＝0.故选A.2．已知直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为(C)A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\r(6) D．2eq\r(6)解析：圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝2，表示以点C(－2，2)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．由题意可得，直线l：kx＋y＋4＝0经过圆心C(－2，2).所以－2k＋2＋4＝0，解得k＝3，所以点A(0，3)，故直线m的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0，则圆心C到直线m的距离d＝eq\f(|－2－2＋3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直线m被圆C所截得的弦长为2×eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).故选C.3．已知直线xcosθ＋ysinθ＝1(θ∈R)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则∠AOB＝(D)A．θ B．2θC．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)解析：由题意可得，圆心O(0，0)到直线xcosθ＋ysinθ＝1的距离d＝eq\f(1,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1，又圆O的半径为2，所以sin∠BAO＝eq\f(d,|OA|)＝eq\f(1,2)，所以∠BAO＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝π－∠BAO－∠ABO＝π－2∠BAO＝eq\f(2π,3).故选D.4．已知圆C1的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25，圆C2：x2＋y2－4x＋my＋3＝0关于直线x＋eq\r(3)y＋1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为(C)A．相离 B．相切C．相交 D．内含解析：由题意可得，圆C1：(x－4)2＋(y－4)2＝25的圆心为(4，4)，半径为5.因为圆C2：x2＋y2－4x＋my＋3＝0，即(x－2)2＋(y＋eq\f(m,2))2＝1＋eq\f(m2,4)，关于直线x＋eq\r(3)y＋1＝0对称，所以直线x＋eq\r(3)y＋1＝0经过圆心C2(2，－eq\f(m,2))，即2＋eq\r(3)×(－eq\f(m,2))＋1＝0，解得m＝2eq\r(3)，所以圆C2：(x－2)2＋(y＋eq\r(3))2＝4的圆心为(2，－eq\r(3))，半径为2，则两圆的圆心距|C1C2|＝eq\r(（4－2）2＋（4＋\r(3)）2)＝eq\r(23＋8\r(3))，因为5－2<|C1C2|<5＋2，所以圆C1与圆C2的位置关系是相交，故选C.5．(2024·潮州模拟)已知圆M：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法中正确的是(B)A．点(4，0)在圆M内B．若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝9C．直线x－eq\r(3)y＝0与圆M相离D．圆M关于4x＋3y－2＝0对称解析：圆M：x2＋y2－4x＋3＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为O1(2，0)，半径为r1＝1.对于A，因为(4－2)2＋02>1，所以点(4，0)在圆M外，故A错误；对于B，若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13－a，圆心为O2(2，3)，半径为r2＝eq\r(13－a)，a<13，因为|O1O2|＝r1＋r2，所以eq\r(（2－2）2＋（0－3）2)＝1＋eq\r(13－a)，解得a＝9，故B正确；对于C，圆心O1(2，0)到直线x－eq\r(3)y＝0的距离为eq\f(|2－\r(3)×0|,\r(1＋3))＝1＝r1，所以直线x－eq\r(3)y＝0与圆M相切，故C错误；对于D，显然圆心O1(2，0)不在直线4x＋3y－2＝0上，所以圆M不关于4x＋3y－2＝0对称，故D错误．故选B.6．已知直线l：x＋2y－1＝0及圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则|PA|的最小值是(A)A．eq\f(4\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(4\r(70),5) D．eq\f(2\r(70),5)解析：由题意可得，圆心C(－1，－2)，半径为AC，|AC|＝2，且PA⊥AC，所以|PA|2＝|PC|2－4，故要使|PA|最小，只需使|PC|最小．易知|PC|的最小值为点C到直线l的距离，所以|PC|2≥eq\f(（－1－4－1）2,1＋4)＝eq\f(36,5)，所以|PA|2≥eq\f(16,5)，所以|PA|min＝eq\f(4\r(5),5).故选A.7．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为(C)A．1 B．2eq\r(2)C．3 D．7解析：由(x－1)2＋y2＝4，可知圆心C(1，0)，半径为2，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径2，所以|PC|＝2eq\r(2)，所以直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P，使得|PC|＝2eq\r(2)，即PC⊥l，所以圆心C(1，0)到直线l的距离为2eq\r(2)，即eq\f(|1＋0＋m|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，解得m＝3或m＝－5(舍去).故选C.8．(2024·衡水模拟)已知点A(0，1)，B(2eq\r(3)，1)，动点P满足∠APB＝120°，若点P的轨迹与直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋b有两个公共点，则b的值可以是(C)A．eq\f(\r(3),3)＋1 B．－eq\f(4,5) C．eq\f(6,5) D．eq\f(4\r(3),3)－1解析：如图，由|AB|＝2eq\r(3)及∠APB＝120°，得点P在以C为圆心的劣弧AB上运动(A，B两点除外)，∠ACB＝120°.取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，|AD|＝eq\r(3)，∠ACD＝60°，所以|AC|＝2，|CD|＝1，所以点C(eq\r(3)，0)，所以点P的轨迹方程为(x－eq\r(3))2＋y2＝4(1<y≤2).由eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)×\r(3)＋b)),\r(1＋\f(1,3)))＝2，解得b＝±eq\f(4\r(3),3)－1.当直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋b过点A(0，1)时，b＝1，结合图形，由点P的轨迹与直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋b有两个公共点，得1<b<eq\f(4\r(3),3)－1，结合选项，只有eq\f(6,5)符合题意．9．(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论中正确的是(ABD)A．若l1∥l2，则a＝6B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为eq\f(7,2)C．若l1⊥l2，则a＝eq\f(32,3)D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交解析：若l1∥l2，则eq\f(a,3)＝eq\f(8,4)≠eq\f(－11,12)，即a＝6，故A正确；由A知，直线l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为eq\f(|24－（－11）|,\r(36＋64))＝eq\f(7,2)，故B正确；若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，即a＝－eq\f(32,3)，故C错误；由A知，当a＝6时，l1∥l2，所以当a≠6时，则直线l1，l2一定相交，故D正确．故选ABD.10．(多选)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2eq\r(3)，则下列结论中正确的有(AB)A．m2＋n2＝4B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3D．四边形AC1BC2的面积为eq\r(3)解析：由题意知，两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为2，且公共弦AB的长为2eq\r(3)，则C1(0，0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离为1，即eq\f(m2＋n2,\r(4（m2＋n2）))＝1，解得m2＋n2＝4，所以直线AB的方程为mx＋ny－2＝0，故A，B正确；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1(0，0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB的中点坐标为(x，y)，则eq\r(（x－0）2＋（y－0）2)＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；易得四边形AC1BC2为菱形，且|AB|＝2eq\r(3)，|C1C2|＝2，则四边形AC1BC2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，故D错误．故选AB.11．(多选)已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，点M为圆C上一动点，点N(－2，－2)，记点M到l的距离为d，则(ACD)A．|AB|＝2eq\r(2)B．d的最大值为2eq\r(2)C．△ABN是等腰三角形D．|MN|＋d的最小值为3eq\r(2)解析：如图，不妨设点A在点B的右下方．对于A，易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以选项A正确；对于B，圆心到直线l：x＋y－2＝0的距离d′＝eq\f(|－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，则点M到直线l的距离d的最大值为d′＋r＝2＋eq\r(2)，其中r为圆C的半径，所以选项B错误；对于C，因为点N(－2，－2)，所以|NA|＝eq\r(（2＋2）2＋（0＋2）2)＝2eq\r(5)，|NB|＝eq\r(（0＋2）2＋（2＋2）2)＝2eq\r(5)，即|NA|＝|NB|，所以△ABN是等腰三角形，所以选项C正确；对于D，|MN|＋d的最小值等于点N到直线l：x＋y－2＝0的距离，所以|MN|＋d的最小值为eq\f(|－2－2－2|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以选项D正确．故选ACD.12．若直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________．解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tanα＝2，tanθ＝k，由题意知k≠0，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tanα＝－2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，当k>0时，α＝2θ，θ∈(0，eq\f(π,2))，tanα＝tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2k,1－k2)＝2，整理得k2＋k－1＝0，而k>0，解得k＝eq\f(\r(5)－1,2)；当k<0时，θ＝eq\f(π,2)＋eq\f(α,2)，α∈(0，eq\f(π,2))，所以eq\f(α,2)∈(0，eq\f(π,4))，tanθ＝tan(eq\f(π,2)＋eq\f(α,2))＝－eq\f(1,tan\f(α,2))，又tanα＝2＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))，taneq\f(α,2)>0，解得taneq\f(α,2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以k＝tanθ＝eq\f(－\r(5)－1,2)；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tanθ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).所以k的可能取值为－2，eq\f(\r(5)－1,2)，eq\f(－\r(5)－1,2)，－eq\f(4,3).答案：－2eq\f(\r(5)－1,2)(答案不唯一，为－2，eq\f(\r(5)－1,2)，eq\f(－\r(5)－1,2)，－eq\f(4,3)中的任意两个即可)13．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为________．解析：由题意，设A(－1，0)，B(1，0)，P(x，y)，因为eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(（x＋1）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq\r(3)，即(x－2)2＋y2＝3，所以点P的轨迹为以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆，因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq\r(3)，即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8eq\r(3).答案：16＋8eq\r(3)14．(2024·广州模拟)已知动圆N经过点A(－6，0)及原点O，点P是圆N与圆M：x2＋(y－4)2＝4的一个公共点，则当∠OPA最小时，圆N的半径为________．解析：如图，记圆N半径为R，∠OPA＝θ，B为AO的中点，则∠ANO＝2θ，∠BNO＝θ，所以sin∠OPA＝sin∠BNO＝eq\f(|BO|,|ON|)＝eq\f(3,R)，当∠OPA最小时，R最大，此时两圆内切．由已知设动圆N的圆心为N(－3，t)，又由圆心M(0，4)可得R－2＝|MN|，即eq\r(（－3－0）2＋（t－0）2)－2＝eq\r(（－3－0）2＋（t－4）2)，解得t＝4，所以R＝5，即圆N的半径为5.答案：5[小题提升练]15．(多选)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系Oxy中，M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足|PM|·|PN|＝5，则下列结论中正确的是(BC)A．点P的横坐标的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(5)，\r(5)))B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3))C．△PMN面积的最大值为eq\f(5,2)D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PN))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(5)，5))解析：设点P(x，y)，依题意，[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]＝25，对于A，25＝[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]≥(x＋2)2·(x－2)2＝(x2－4)2，当且仅当y＝0时取等号，解不等式(x2－4)2≤25，得－3≤x≤3，即点P的横坐标的取值范围是[－3，3]，故A错误；对于B，[(x2＋y2＋4)＋4x]·[(x2＋y2＋4)－4x]＝25，则x2＋y2＋4＝eq\r(25＋16x2)，由A知0≤x2≤9，因此|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\r(25＋16x2)－4)∈[1，3]，故B正确；对于C，△PMN的面积S＝eq\f(1,2)|PM||PN|sin∠MPN≤eq\f(1,2)·|PM||PN|＝eq\f(5,2)，当且仅当∠MPN＝90°时取等号，当∠MPN＝90°时，点P在以线段MN为直径的圆x2＋y2＝4上，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x2＋y2＋4＝\r(25＋16x2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝±\f(\r(39),4