高考数学一轮复习单元质检7立体几何（B）（含解析）新人教A版

单元质检七立体几何（向

（时间：45分钟满分；100分）

、选择题（本大题共6小题,每小题7分，共42分）

1.若圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（

D.二

2.如图,在三棱锥A-BQ）中,DA,DB,加两两垂直,且DB二DC,E为回的中点,则—k•—缮于（）

3.在空间四边形中，Et/分别为AB,力〃上的点,且AE：EB=AF：FDA：4.又H,G分别为BC,CD

的中点，则（）

A.8〃〃平面EFG,且四边形仞%7/是平行四边形

B.哥'〃平面BCD,且四边形班组是梯形

C.济〃平面ABD,且四边形砰阳是平行四边形

D."〃平面ADC,且四边形EFGH是梯形

4.如图，已知直平行六面体ABCDTBC业的各条棱长均为3,/物加60°,长为2的线段的一个端

点时在如上运动,另一个端点N在底面力质上运动，则，螂的中点P的轨迹（曲面）与共顶点。的三

个面所围成的几何体的体积为（）

D.=

5.（2018上海，15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是

正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边,则这样的

阳马的个数是（）

A.4B.8

C.120.16

6.已知正方体ABCD-ABCd平面a过直线BD,a_L平面ABC,an平面ABxC=m,平面B过直线

4G,8〃平面£门平面力加4气，则卬,〃所成角的余弦值为（）

A.OB*C.*及日

二、填空题（本大题共2小题,每小题7分，共14分）

7.在菱形ABCD中，AB/砥%60°,现将其沿对角线曲折成直二面角力物-。（如图），则异面直线

仍与必所成的角的余弦值为.

8.已知球。的球面上有四点S,1,B,C其中Q1,比。四点共面,△力宏是边长为2的正三角形,平面

$1①L平面ABC,则三棱锥ST应?的体积的最大值为.

三、解答题（本大题共3小题，共44分）

9.（14分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面力时为矩形,QLL平面ABCDtE为阳的中点.

⑴证明：阳〃平面力微

⑵设二面角D-AE-C为60°,AP=1,后,求三棱锥£-力切的体积.

10.（15分）如图,在几何体ABCDE中,四边形力融第是矩形,力员L平面BEC,BELEC,AB=BE=EC=2,GyF

分别是线段比;〃。的中点.

⑴求证：夕'〃平面力施';

⑵求平面4%与平面做。所成锐二面角的余弦值.

11.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，刈_1_平面ABCD,AD"BC,力。_1_磔且AD=CD^[2,8。2费,阳=2.

⑴取尸。的中点式求证:"V〃平面PAB\

⑵求直线力。与阳所成角的余弦值;

⑶在线段依上是否存在一点M,使得二面角.WTC-〃的大小为45。？如果存在,求方犷与平面.明C所

成的角；如果不存在,请说明理由.

单元质检七立体几何(而

1.C解析设圆锥的底面半径为r,母线长为/,侧面展开图扇形的圆心角为0,

根据条件得冗rl-f-Ji/4nr,即J=2r,

2

根据扇形面积公式得寸rl,

即21二小三五，故选C.

2.D解析,•>=('+*)・k=>•'+*•>=k•(k+

-k)-~J•---->+----•----,4).

3.B解析如图，由题意，得反'〃"且加

5

HG//BD,且HG.,

故EF//HGt且EF^HG.

因此，四边形加第是梯形.

由题可得牙〃平面BCD,而〃与平面4%不平行,故选B.

4.A解析MN2则DPG,则点尸的轨迹为以〃为球心,半径r=\的球面的一部分，则球的体积为

《…当

:'/胡〃与0°,

,：4心120。，120。为360。的，，只取半球的提

rzi.l4式112兀

则夕=x§X5=丁.

5.D解析设正六棱柱为力比阳F山G〃石凡

以侧面力/I由8,力力出产为底面矩形的阳马有

E-AABB,Ei-AAWW,D-AAMB,从-AA\B出,C-AAiRF,GT4"夕。-4A、RF,倒-AA/F,

共8个；

以对角面AA^C,44EE为底面矩形的阳马有广乂4GC4G6；。-44CC4T4GCB-AAEE,8-

AA\E\EtD-AA\E\E,D\~AA\E\E,

共8个.

所以共有8用刁6(个)，故选I).

6.D解析如图所示，：•能_1_平面451C平面。过直线能a_L平面451C

・：平面a即为平面DB%\.

设ACC\BD=O.

.：aG平面ABiC=OB\=m.

:,平面4G。过直线4G,与平面力8。平行,而平面£过直线4G,£〃平面力8c

・：平面4G〃即为平面C平面ADDxAx=A\D=ny

又A\D〃B\C,

,:小，〃所成角为N必C

由△9C为正三角形,则cosNOBCs]=当.故选D.

bL

74.；解析如图,取助的中点0,连接AO,CO,建立如图所示的空间直角坐标系，

,•'AB24BCD侬：

・"(0,0,®8(1,0,0),M-1,0,0),。0,V3,0),

•:-(1,0,M),--(-1,-73,0),

・,----------—•一■t-I।

,・cos<；>1—11—=痂=7

.：异面直线力8与切所成的角的余弦值为;.

4

8.当解析记球。的半径为R,由△力或是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面，易求

•5

作刃_L46于〃连接山,无

易知S9_L平面ABC,

注意到SDZ一二―2=2,因此要使S〃最大,则需必最小，而切的最小值为gx及2=

瓜

因此高功的最大值为

因为三棱锥ST%的体积为［Sx^X2~XSD^SD,

V

所以三棱锥ST%的体积的最大值为

9.(1)证明如图,连接BD交力。于点0,连接E0.

D

因为底面力时为矩形,

所以0为即的中点.

又因为/为如的中点,

所以EO//PB.

因为平面AEC,陶平面AEC,

所以加〃平面AEC.

⑵解因为阳，平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,49,力。两两垂直.

如图，以力为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系Axyz,

则尸(o,0,1),〃(o,V5,0),40,m

设夙刃0,0)(加0),

则Ckm,V3,0),一=UV3,0).

设ni=(x,y,z)为平面D的法向量,

则］一或即+V3=o,

+l=。，

可取遗

由题意得ih-d,0,0）为平面的£的一个法向量.

由题设/cos<hi,n2>/^,

即岳=/解得吟

因为E为功的中点,所以三棱锥ETCO的高为g.

三棱锥"T切的体积^x1xV3x；x1=^.

JZZ4o

10.⑴证法一如图，取四的中点〃连接隔做

因为G是跖的中点，

所以GH〃AB,且GH^AB.

又因为分是由的中点，

所以DF^CD.

由四边形力济?〃是矩形，得AR//CD,AR=CD,

所以GH〃DF,&GH=DF,

从而四边形/力叨是平行四边形，

所以GF//DH.

又因为DHa平面ADE,别平面ADE,

所以67W平面ADE.

证法二如图，取月8中点时,连接MG,MF.

因为G是比'的中点,所以GM//AE.

又因为AEc平面ADE,&应平面ADE,

所以醐〃平面ADE.

在矩形力空9中，由他尸分别是AB,⑦的中点,得MF//AD.

又因为JZt平面ADE,.飒平面ADE,

所以，监〃平面ADE.

又因为GVCMF飘平面GMF,对Fu平面GMF,

所以平面6必〃平面ADE.

因为GFu平面GMFy

所以67H平面ADE.

⑵解如图,在平面庞'C内，过8点作BQ//EC.

因为BE1CE,所以皿BE.

又因为/18_L平面BEC,

所以AB上BE,ABLBQ.

以〃为原点,分别以一■；一；-W方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

4(0,0,2),夙0,0,0),£(2,0,0)，户(2,2,1).

因为力反L平面跖C

所以--(0,o,2)为平面庞r的一个法向量.

设n=(x,y,z)为平面力勿的法向量,

由题意,得--(2,0,-2),--(2,2,-1).

由［.=°，得［2-2=0,

叫•--->=0,将12+2-=0,

取z2得n=(2,-1,2).

从而cos<h,-"二=^=?

所以平面力牙'与平面⑸叶所成锐二面角的余弦值为g.

11.解建立如图所示的空间直角坐标系，则

^(0,-1,0),M2,-1,0),<7(0,1,0),/?(-1,0,0),A0,-1,2).

⑴证明:用中点”(0,0,1),・：—=(1,0,1).