2024-2025学年云南省昆明市高一上学期10月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年云南省昆明市高一上学期10月期中数学检测试题本试卷分和两部分．第I卷第1页至第3页，第I卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第I卷（选择题，共58分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】C【分析】利用存在量词命题否定是全称量词命题，即可作出判断.【详解】由命题“，”的否定是“，”,故选：C.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为，，所以,故选：B.3.已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据奇函数的定义结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由是奇函数，则，即，即，所以，即，所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】结合指数函数的性质进行比较即可.【详解】因为，，且，所以，而，，所以.故选：D.5.按复利计算利息的一种储蓄，本息和y（单位：万元）与储存时间x（单位：月）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若本金为6万元，在第26个月时本息和为24万元，则在第39个月时本息和是（）A.30万元 B.36万元 C.48万元 D.60万元【正确答案】C【分析】根据题意可得，得到，再将代入即可得解.【详解】由题意得，，即，，所以当时，.即第39个月时本息和是48万元.故选：C.6.已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，即可得解.【详解】当时，，任设，则，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，当时，，令，则，所以，开口向上，对称轴，又因为函数的最小值为，即时，取最小值，所以，解得,故选：A.7.已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.【详解】不妨令，则由得：，令，则在上单调递增；，，为定义在R上的奇函数，在R上单调递增；由得：，即，，解得：，即不等式的解集为.故选：C8.若实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用代入消元的方式可将所求式子化为，分别在、和的情况下，结合基本不等式求得最值.【详解】由得：，；当时，；当时，（当且仅当，即时取等号）；当时，（当且仅当，即时取等号）；综上所述：，即的最大值为.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，，，，，，即，，A错误；对于B，，，，，即，，B正确；对于C，，，，，，，即，，C正确；对于D，，，，，，即，，D错误.故选：BC.10.下列说法正确是（）A.函数（且）的图象恒过点B.函数与是同一函数C.若的定义域为，则的定义域为D.若函数，则【正确答案】AC【分析】根据，可确定选项正确，由两个函数定义域不同，可确定错误，利用抽象函数的定义域的判断及分母不为0，可确定正确，利用换元法求函数解析式，要注意定义域，即可判断错误.【详解】对于选项，根据，则，即函数恒过点，故正确；对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，肯定不是同一个函数，故错误；对于选项，根据且可得：且，故正确；对于选项，令（），则，则，故错误.故选.11.已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.的图象关于点对称【正确答案】ACD【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.【详解】对于A，取，则，A正确；对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，不恒等于，令，则，，将代入A中式子可得：，即，，B错误；对于D，令，则，即，为定义在上的偶函数，；令，则，令，则，即，，的图象关于点对称，D正确；对于C，取，，则，由D知：，，为奇函数，C正确.故选：ACD.第II卷（非选择题，共92分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数，的值域为______．【正确答案】【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可.【详解】由，函数在上单调递减，所以当时，，当时，，所以函数，的值域为.故答案为.13.已知幂函数在上单调递增，且满足不等式，则的取值范围为__________．【正确答案】【分析】由题意得，解得的值，进而结合偶函数和单调性解不等式即可.【详解】由题意得，解得，所以，定义域为，而，则函数为偶函数，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，由，得，即，解得，即的取值范围为.故答案为.14.黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，，当时，，则__________．【正确答案】##【分析】应用函数的奇偶性定义和周期性定义证明函数为偶函数和周期函数，再应用周期性与函数解析式求值即可.【详解】解：因为函数为偶函数，所以.所以，又因为，所以，即.于是，则，于是，即所以，所以函数周期为4.由得，则，所以，所以为偶函数.因为且，所以，又因为，所以，，又，所以，又因为，所以，所以，所以，所以故答案为.四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知全集，不等式的解集是，，．（1）计算；（2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据分式不等式的求解，可得集合的元素，结合补集与并集的运算，可得答案；（2）根据不等式与方程的关系，结合韦达定理整理不等式，根据充分不必要条件，可得集合之间的关系，建立不等式，可得答案.【小问1详解】由，且，则，由，等价于，解得，则，所以.【小问2详解】由题意可得，为方程的两个解，则，，化简可得，，所以不等式等价于，化简可得，则，解得，所以，因为，且，所以，则，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是D的真子集，则，（等号不同时成立）,解得或.16.北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足.2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为（单位：万元）．（1）求函数的解析式；（2）当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【正确答案】（1）（2）当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；（2）由二次函数性质与基本不等式求解即可.【小问1详解】由已知，，又，所以.【小问2详解】当时，，则时，；当时，，当且仅当，即时，.因为，所以最大值为390，故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．17.已知函数是定义在上的奇函数．（1）判断并用定义证明在区间1,+∞上的单调性；（2）解关于的不等式．【正确答案】（1）在区间上单调递减，证明见解析（2）【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，从而得到函数解析式，再根据单调性的定义证明即可；（2）依题意可得，根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，此时，函数的定义域关于原点对称，且，为奇函数，符合题意；在区间1,+∞上单调递减，证明如下：设任意的且，则，因为且，所以，，则，所以，所以，即，所以在区间1,+∞上单调递减；【小问2详解】不等式，即，又，，且在区间1,+∞上单调递减，所以，即，即，解得，即不等式的解集为.18.已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递减；（3）若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【正确答案】（1）偶函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性；（2）任取，令，，结合已知等式和在上的正负即可得到结论；（3）记在上的值域为，在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果.【小问1详解】令，则，；令，则，；取，则；为定义在上的偶函数.【小问2详解】任取，令，，则，即；，，又当时，，，即，在上单调递减.【小问3详解】由（1）（2）知：在上单调递减且，又，当时，，记；对任意，总存在，使得，记在上的值域为，；的图象关于点中心对称，当时，；①当，即时，在上单调递增，，，即，由得：，又，解得：；②当，即时，上单调递减，在上单调递增，，，即，由得：，又，解得：；③当，即时，在上单调递减，，，即，由得：，又，解得：；综上所述：实数的取值范围为.19.若定义在上的函数满足对任意的区间，存在正整数，使得，则称为上的“阶交汇函数”．对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定．（1）若，函数的定义域为，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；（2）若函数，试比较和的大小；（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：，试证明对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．【正确答案】（1），为上的“2阶交汇函数”（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据新定义直接计算；（2）根据新定义直接求值比较即可；（3）由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…，（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，再分析得到对任意的，，进而得到，，从而证明结论成立．【小问1详解】因为函数在上单调递增，所以当时，，所以，当时，，所以，因为，所以为上的“2阶交汇函数”.【小问2详解】由，，则，，所以，结合题设，可得.【小问3详解】证明：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，对于任意的区间，