2024-2025学年湖北省孝感市大悟县高一上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省孝感市大悟县高一上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题p：，的否定为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p：，的否定为，.故选：B2.已知集合，且，则（）A. B.或 C. D.【正确答案】D【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值.【详解】因为集合，且，所以，或，解得或，当时，，集合中的元素不满足互异性；当时，，符合题意．综上，．故选：D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，根据解析式有意义可知，即，综上，.所以函数的定义域为.故选：A．4.设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（）A. B.1 C.2 D.4【正确答案】B【分析】根据分段函数的性质，结合图象即可求解.【详解】解：令，解得或，则，当或时，，当时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：B．5.已知函数满足，且，则（）A.16 B.8 C.4 D.2【正确答案】A【分析】分别取代入，联立可解得，然后可求.【详解】因为函数满足，所以有，，又，所以，解得，则.故选：A．6.已知偶函数在区间上对任意，都有，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据条件得出函数在区间上递增，在区间则上递减，且图像关于轴对称，从而得到，即可得出结果.【详解】因为偶函数在区间上对任意的，都有，所以在区间上递增，在区间则上递减，由，得到，即，解得，故选：D．7.“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，显然不满足题意，∴，解得，对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误；对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误．故选：C．8.已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（）A. B.1 C. D.2【正确答案】D【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.【详解】由题知，因为a，b为正实数，所以由得，即，所以，当且仅当，且，即，时，等号成立，所以，即，所以，整理得，解得，所以正数x的最大值为2．故选：D．二、多选题（本题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的解集为【正确答案】ACD【分析】利用一元二次不等式解的性质得到关于的表达式，且，从而分析各选项即可得解.【详解】由题意知，和3是方程的两根，且，所以，，则，，因为，所以，，，故AC正确，B错误；不等式为，即，解得，所以的解集为，故D正确．故选：ACD．10.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数x为（）．A.23 B.44 C.68 D.128【正确答案】AD【分析】根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.详解】对于A，由，得；由，得；由，得，因此，A正确；对于B，由，得，B错误；对于C，由，则，C错误；对于D，由，得；由，得；由，得，因此，D正确.故选：AD11.已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（）A.1 B. C. D.【正确答案】BC【分析】由二次函数、反比例函数的性质及分段函数的单调性即可求解.【详解】由题意，二次函数的图象开口向下，对称轴为，因为函数是R上的增函数，所以，解得．所以实数a的取值可以是，.故选：BC.12.设表示不超过x的最大整数，如：，，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.是奇函数B.，，若，则C.，D.不等式的解集为【正确答案】BCD【分析】由“取整函数”的定义逐个选项分析即可.【详解】A．取和0.5，函数值分别为和0，故A不正确；B．设，则，，，，则，因此，故B正确；C．设，当时，，，此时，当时，，，此时，综合可得，C正确；D．不等式，可得：，或，∴，或，因此不等式的解集为，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，共20.0分）13.幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________．【正确答案】##【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，在区间上单调递增，不满足题意，当时，在上单调递减，满足题意.故．故14.设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为______.【正确答案】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是定义在R上的奇函数，当时，，若，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，即.故15.写出同时满足以下条件的一个函数___________．①定义域为R，值域为；②，，且时，；③，．【正确答案】(答案不唯一，合理即可)【分析】根据已知条件分析函数的性质，选用满足题意的基本函数即可.【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称，函数在上单调递增，在上单调递减，最小值，则符合题意.故16.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________．【正确答案】【分析】分类讨论不等式的解集，结合函数的图像，求满足条件的实数a的取值范围.【详解】作出函数的图像，如图所示，有，，由，得，当时，，不等式无解；当时，由得，此时不可能只有一个整数解．当时，由得，若不等式恰有一个整数解，则整数解为，又，，再结合图像知，综上所述，实数a的取值范围为．故四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数的定义域为A，集合，．（1）求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围．【正确答案】17.；18.．【分析】（1）根据解析式有意义求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根据集合运算可得；（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.【小问1详解】由得：，即，∴，解得：，即，∴．【小问2详解】由题意知，由（1）知：，显然所以有，解得：；所以实数a的取值范围为．18.（1）已知二次函数满足，且.求的解析式；（2）求函数的值域.【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）设，利用建立恒等式求解即可；（2）令，（），从而把求值域问题转化为求的值域问题，利用二次函数性质求解值域即可.【详解】（1）设二次函数（），因为，所以.由，得，得，所以，得，故.（2）函数，令，（），那么，则函数转化为，整理得：（），根据二次函数的性质可知：的开口向上，对称轴，故当时，函数取得最小值为，无最大值，即，所以函数的值域为.19.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）判断函数的单调性并用定义加以证明；（2）求使成立的实数m的取值范围．【正确答案】（1）函数是定义在上的增函数，证明见解析（2）【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由奇函数的性质可将所求不等式变形为，再利用函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：∵函数是定义在上的奇函数，∴，即．又，即，解得，此时，，对任意的，，所以，是定义在上的奇函数．函数是定义在上的增函数，证明如下：、，且，则．∵，∴，，，∴，即，∴在上是增函数．【小问2详解】解：由（1）知，在上是增函数，∵是定义在上的奇函数，由，得，所以，，解得，所以实数的取值范围是．20.以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台．（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．【正确答案】（1）（2）当年产量为30百台时，最大利润为400万元分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解函数关系式；（2）根据基本不等式和二次函数的性质求解最大值即可．【小问1详解】当时，；当时，，所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为：．【小问2详解】当时，，当时，取得最大值为400；当时，，当且仅当时取等号，故当时，取最大值为325；综上所述：当年产量为30百台时，最大利润为400万元．21.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是；则称是该函数的“完美区间”．（1）判断函数，是否存在“完美区间”，若存在，则求出它的一个完美区间，若不存在，请说明理由；（2）已知函数有“完美区间”，当a变化时，求出的最大值．【正确答案】（1）存在“完美区间”，它的一个完美区间是.（2）．【分析】（1）根据“完美区间”的定义，分类讨论函数单调性，由值域列方程求的值.（2）由“完美区间”的定义和函数单调性，列方程求解，得是方程的两根，利用韦达定理求的最大值．【小问1详解】根据题意，函数，其定义域为R，若存在“完美区间”，则在内是单调函数，，分2种情况讨论：①若，在是增函数，必有，显然不存在符合题意的m、n；②若，在是减函数，必有，则，且．故符合条件的一组，（答案不唯一，符合题意即可），所以函数存在“完美区间”，它的一个完美区间是.【小问2详解】根据题意，，其定义域为，必有或，则在上递增，必有，则m、n是方程的两个根，变形可得，则该方程有两个同号不相等的根，且两根为m、n，则，必有，解可得或，则，又由或，则时，取得最大值2，则最大值为．22.“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．（1）求的值；（2）设函数．（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得；（2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.【小问1详解】因为函数的图像关于点对称，则，令，可得．【小问2详解】（ⅰ）证明：由，得，所以函数的图像关于对称．（ⅱ），则在上单调递增，所以的值域为，设在