高考数学一轮复习 阶段回扣练3 文 人教B版

阶段回扣练3导数及其应用

(建议用时：90分钟)

一、选择题

1.(•哈师大附中检测)设函数f(x)=axlnx(a£R,a和)，若f(e)=2,则f(e)的值为

()

A.1B,

C.eD.2e

解析f(x)=alnx+a,故F(e)=2a=2,得a=l,

故f(x)=xlnx,f(e)=e.

答案C

2.(•大连模拟)曲线y=x2+Inx在点(1,1)处的切线方程为()

A.3x-y-2=0B.x-3y+2=0

C.3x+y-4=0D.x+3y-4=0

解析yr=2x+£故y1x=l=3,故在点(1』)处的切线方程为y-l=3(x-l),化简整理得

3x-y-2=0.

答案A

3.三次函数f(x)=mx3-x在(-叫+8)上是减函数，则m的取值范围是()

A.(-00,0)B.(-co,1)

C.(-00,0]D.(-00,1]

解析f(x)=3mx2-1,依题意可得m<0.

答案A

4.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()

A.-1B.0

C.-挈D.坐

,

解析g(x)=x3-x,Sg(x)=3x2-l=0t

解得x二日或邛(舍去).

当X变化时，g，(x)与g(x)的变化情况如下表：

a

X0近1

:。T)3

g'(x)一0+

g(x)0极小值0

所以当x=乎时，g(x)有最小值小里)=-挈.

答案c

5.(•济宁一模)已知函数f(x)的导函数F(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数f(x)的图象

可能是()

解析由导数的图象可得原函数f(X)图象在(-8.0)上“减”，在(0.+8)上先“增”后“减”，

与之相符的只有D.

答案D

6.设f(x),g(x)在[a,b]上可导，且F(x)>g，(x),贝IJ当a<x<b时，有()

A.f(x)>g(x)B,f(x)<g(x)

C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

解析,•・r(x)-g，(x)>0,.•.(f(x)-g(x)y>0,「.f(x)-g(x)在⑶b]上是增函数，.••当a<x<

b时f(x)-g(x)>f(a)-g(a),/.f(x)+g(a)>g(x)+f(a).

答案C

7.(•湛江模拟)已知函数丫-3-3乂+(:的图象与乂轴恰有两个公共点，贝IJc;()

A.-2或2B.-9或3

C.-1或1D.-3或1

解析•.•y'=3x2-3,.•.当y'=0时,x=±l厕y',y的变化情况如下表;

X(-8,-1)-1(-L1)1(1,+8)

y'+0—0+

yc+2c-2

因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c+2=0或c-2=0,.•9=-2或c=2.

答案A

8.(■石家庄模拟)若不等式2xlnx2-x2+ax-3对x£(0,+8)恒成立，则实数a的取值范围

是()

A.(-00,0)B.(-00,4]

C.(0,+oo)D.[4,+00)

解析2xlnx>-x2+ax-3,贝IJa<21nx+x+],设h(x)=21nx+x+^(x>0),贝IJh'(x)=

x+3x-1

―无一.当xE(O,l)时，hXx)<0,函数h(x)单调递减；xE(l,+8)时，hXx)>0,函数h(x)

单调递增,所以h(x)iiiin-11(1)-4.所以a0i(x)miii-4.故a的取值范围是(-8,4].

答案B

9.(•青岛一模)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，贝IJx2+x2等于

2

A-B

3

8

C-D

3

解析由题图可知f(l)=0,f(2)=0,

fl+b+c=O,fb=-3,

,[8+4b+2c=0,解得fc=2.

f(x)=x3-3x2+2x,

f(x)=3x2-6x+2.

由图可知xl,x2为f(x)的极值点，

2

-

..xl+x2=2,3

48

xl+x2=(xl+x2)2-2x1x2=4-4=q.

答案C

10.(•湖北卷)已知函数在乂)二武|1^-2*)有两个极值点，则实数a的取值范围是

()

A.(-co,0)B.(0,£)

C.(0,1)D.(0,+8)

解析由题知，x>0,f(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点，则F(x)=0有两个

不等的正根，即函数y=lnx+l与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0；设函数

y=lnx+1上任一点(x0,l+lnxO)处的切线为1,则kl二y♦击，当1过坐标原点时，士二

1+InxOA11

=xO=1,力2a=1=a=],结合图象知0<a<2，故选B.

答案B

二、填空题

x2+a

11.若函数f(x)=x+]在x=1处取极值，则a=.

2xx+1-x2+ax2+2x-a

解析由“x)=——=x+12=0,

.•.x2+2x-a=0,x#-l,又f(x)在x=I处取极值，

x=1是x2+2x—a=0的木艮，.'.a=3.

答案3

12.(•烟台三模)f(x)=1x-；sinx-乎osx的图象在点A(xO,f(xO))处的切线斜率为白,贝IJtan

2x0的值为.

解析F(x)Heosx+坐sinx,「•f(x0)=；-；cosx0+坐sinx0=1,

A2tanx0洪

即小sinxO-cosxO=0,tanxO=号，tan2x0=-7=^3.

1-tan2xO一

匕

答案小

13.(•佛山模拟)设0<agl,函数f(x)=x+吃g(x)=x-lnx,若对任意的xl,x2E［1,e］,

A

都有f(xl)Ng(x2)成立，则实数a的取值范围是___________________.

a2x2—a2

解析r(x)=l-方=F-，当0<aJ且xE［l,e］时，f(x)>0,在［1,e］上是增

函数，f(xl)min=f(l)=l+a2,又g'(x)=1-1(x>0),易求g'(x)>0,"(x)在［1,e］上是增

函数，g(x2)max=g(e)=e-1.由条件知只需f(xl)minNg(x2)max.即1+a2Ne-1..，.a2Ne-2.即

*\Je-2<a<l.

答案［而21］

14.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：

件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为

元时利润最大，利润的最大值为元.

解析设商场销售该商品所获利润为y元,贝!ly=(p-20X8300-170p-p2)=-p3-150p2

+11700p-166000(p>20),贝lj/=-3p2-300p+11700.令y'=0得p2+lOOp—3900=0,

解得p-30或p--130(舍去).贝Jy,y，随p的变化情况如下表：

p(20,30)30(30,+oo)

y'+0—

y极大值

故当p=30时，y取极大值为23000元.又y=-p3-150p2+11700p-166000在［20,+oo)

上只有一个极值，故也是最值.所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23(XX)

元.

答案3023000

15.(•扬州模拟)已知函数f(x)=lnx-?(mER)在区间［1,e］上取得最小值4,贝IJm:

A

1mx+m

解析f(x)=-+^2=-^-(x>0),

当m>0时,?(x)>0,f(x)在区间［1,e］上为增函数，f(x)有最小值

f(l)=-m=4,得m=-4,与m>0矛盾.

②当m<0时，若-m<l,RPm>-1,f(x)min=f(l)=-m=4,

得ni--4,与HI>-1矛盾；若-inW[l,c],

即-e<m<-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+I=4,

解得m=-e3,与-e£mS-1矛盾；若-m>e,

即m<-e时，f(x)min=f(e)=1-^=4,

解得m=-3e,符合题意.

答案-3e

三、解答题

16.(.北京海淀模拟汜知函数f(x)=|x3+ax2+4x+b,其中a,b£R且a#).

⑴求证：函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；

⑵若函数f(x)在区间(-1,1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.

⑴证明由已知可得f(x)=x2+2ax+4.

又A在处的切线方程为氏

f(0)=4,f(0)=btf(x)x=0y=4x+43+ax2+4x+b=4x+b,

整理得(x+3a)x2=0./.x=0或x=-3a,又•/a#),

・••-3a#),「.fa)与切线有两个不同的公共点.

⑵解・•・f(x)在(-1,1)上有且仅有一个极值点，

f(x)=x2+2ax+4在(-1,1)上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得f(-l)f(l)

<0.

BP(5-2a)(5+2a)<0,解得a>|或a<—|,即a的取值范围是(-%+£).

17.(•合肥质量检测)已知函数f(x)=(a+l)x2-2ax-2lnx.

⑴求证:a=0时,f(x)>l恒成立；

(2)当aE[-2,-1]时,求f(x)的单调区间.

(1)证明a=0时，f(x)=x2-21nx,xE(0,+8).

22x+lx-I

令

f(x)=2x-A-=-A--,r(x)=0,

解得X-l(x--1舍去).

当xE(0,l)时，r(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减；

当x£(l,+8)时，f(x)>0,f(x)在(1,+8)上单调递增.

・•.f(x)min=f(l)=1.所以，VxG(0,+oo),f(x巨1.

⑵解f(X)的定义域为(0,+8),

21a+1x2-ax-1]

f(x)=-----------；-----------.

2x—1

①当时，此时在+8)上单调递增，在上单调递减.

a=-lf(x)=—A—,f(x)(1,(0,1)

②当-2<a<-l时，-1<a+1<0,1<--77.

3»1

，•••解r(x)<0得xE(0,l)或xE(一缶，

f(X)=+00

解F(x)>0得x£(l,一岳)

即f(x)的单调增区间为0,一尚，单调减区间为(0/)和(-Wr，+°°)

-2x-12

③当a=-2时，此时？(x)二一1」，

,xe(0,+8)均有F(x)W0,f(x)在区间(0,+00)上单调递减，无单调增区间.

综上，a=-l时，f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1)；

-2<a<-1时,f(x)的单调递增区间为(1,一言［)单调递减区间为(0,1)和(一法7，+。；

a=-2时，f(x)的单调递减区间为(0,+00),无单调增区间.

18.(•南平质检)已知函数f(x)=sinx,g(x)=mx-卷(m为实数).

⑴求曲线y=f(x)在点6，g))处的切线方程；

(2)求函数g(x)的单调递减区间；

(3)若m=l,证明：当x>0时，f(x)<g(x)+卷.

⑴解由题意得所求切线的斜率k=O=cos卜坐切点P(/当)则切线方程为y-日

二嘤X-*即xHy+1一卜6

⑵解gr(x)=m-1x2.

①当左0时，gf(x)<0,则g(x)的单调递减区间是(-8,+oo);

(2)当m>0时，令g<x)<0,解得x<而或x><赤，则g(x)的单调递减区间