福建省南平市渭田中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

福建省南平市渭田中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O为坐标原点，F是双曲线：(a＞0，b＞0)的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．2.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数a的取值范围是A．(1,2]

B．(0,2]

C．[2,+∞)

D．参考答案：A【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A

3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.已知双曲线：的左准线为，左右焦点分别为、，抛物线的准线为，焦点为，是与的一个交点，则=

（

）

A．9

B．8

C．32

D．40参考答案：A5.（坐标系与参数方程）曲线C1的极坐标方程为曲线C2的参数方程为（为参数），以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为(

)A．

B．

C．2

D．参考答案：A略6.已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有(

)A.2个

B.4个

C.6个

D.8个参考答案：D7.已知函数则的图象是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C8.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的标准方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.如图是函数的导数的图象，对于下列四个命题：①在上是增函数；②是的极小值点；③在上是增函数，在上是减函数；④是的极小值点.其中正确的命题的序号是.参考答案：②③10.八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，

3个涂白色.若涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有

A．36种

B．30种

C．24种

D．20种参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为____.参考答案：略12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为_________．参考答案：略13.已知函数，关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的范围是

．参考答案：(1，＋∞)14.若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．参考答案：9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为：9．15.的夹角为，参考答案：略16.若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是

参考答案：<k≤0

略17.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，且的解集为[－1,1].（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（Ⅰ）由题意可得的解集为，，由绝对值不等式的解法，即可求得；（Ⅱ）将代入，再由乘1法，可得，展开运用基本不等式即可得证．【详解】（1）的解集为，即的解集为即有解得;（2）将代入可得，，则，当且仅当，上式取得等号.则有.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运基本不等式是解题的关键，属于中档题.19.

已知函数，。（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x=x0处的切线斜率总想等，求x0的值；（2）若a>0，对任意x>0不等式恒成立，求实数a的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ）

由题设知，且，即，

……2分

因为上式对任意实数恒成立，

……4分故，所求

……5分（Ⅱ）即，方法一：在时恒成立，则在处必成立，即，故是不等式恒成立的必要条件.

……7分另一方面，当时，记则在上，

……9分时，单调递减；时，单调递增，，即恒成立故是不等式恒成立的充分条件.

……11分综上，实数的取值范围是

……12分方法二：记则在上，

……7分1

若，，时，，单调递增，，这与上矛盾；

……8分2

若，，上递增，而，这与上矛盾；……9分③若，，时，单调递减；时，单调递增，即恒成立

……11分综上，实数的取值范围是

……12分

略20.如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1?平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，则OA2+OB12=AB12，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则=（﹣2，0，0），则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=﹣，则=（﹣，1，1），设平面A1B1A的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），则cos＜，＞===由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣．21.(本小题满分12分)为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25)a0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45)b0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y

(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率参考答案：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=,∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，

…4分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人

…8分（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，

…….…10分

∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：.

…….…12分22.（本小题满分12分）如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点．在单位圆上，且，，，,四