福建省南平市塔前中学高三数学理期末试题含解析

福建省南平市塔前中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，则的展开式中常数项为

A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为

（A）

（B）

（C） （D）参考答案：A3.方程的解所在的区间为（

）A.(0.5,1) B.(1,1.5) C.(1.5,2) D.(2,2.5)参考答案：B【分析】令，由函数单调递增及即可得解.【详解】令，易知此函数为增函数，由.所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.4.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．

参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，∵E为PF的中点，∴OE为△FF′P的中位线，∴PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵点P在双曲线上，∴PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，在Rt△PFF′中，有：PF2+PF′2=FF′2，∴9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，∴离心率e===，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：6.下面框图属于（

）

A.

流程图

B.

结构图

C.程序框图

D.工序流程图参考答案：A略7.已知函数的值为

（

）

A．10

B．C．D．20参考答案：C8.已知实数x，y满足，则目标函数（

）A．，

B．，C．，z无最小值

D．，z无最小值参考答案：C画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，变形为，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.

9.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(

)A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312参考答案：A【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．10.已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则A.－2

B.－1

C.1

D.2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=

．参考答案：2017【考点】8E：数列的求和．【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=?（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根xn且xn∈（，1），∴n＜（n+1）xn＜n+1，an=[（n+1）xn]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．12.

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计男

5

女10

合计

50 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为。 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）问能否在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （3）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病。现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率。 下面的临界值表供参考： 参考公式。其中参考答案：略13.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为

．参考答案：14.

已知函数（是常数且），对于命题：①函数的最小值是；②函数在上是连续的；③函数在上有反函数；④对任意且恒有.其中正确命题的序号为__________________.参考答案：答案:①②④15.已知函数在处有极值为10，则的值等于

参考答案：18试题分析：在处有极值10，①②，联立①②得或，当时，，得，函数单调递增，没有极值，舍去，当时，，符合题意，，故答案为18考点：利用函数的极值求参数的值16.已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D17.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）设椭圆的左焦点为F,离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

(I)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点，若，求的值．参考答案：（I）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，--------------------------------------------------2分∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；-------------------------------5分（II）直线CD：y=k(x+1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，--------------------------------8分又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1)?(-x2,-y2)+(x2+，y2)?(-x1,-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+=8，解得k=．----------------------------------------------------------12分19.已知函数．

(l)若函数在上是减函数，求实数a的最小值；

(2)若存在，使，求实数a的取值范围．

参考答案：略20.设数列{an}的前n项之和为，数列{bn}满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}前n项之和Tn．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用递推关系，两式作差即可得出；（2），利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出．【详解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，由得∴an＝Sn－Sn－1＝3n(n≥2)又a1也符合，∴an＝3n(n∈N＋)(2)所以.【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“

函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.参考答案：（1）证明：函数与互为“函数“,则对于,

恒成立.即在上恒成立………………2分化简得………………2分所以当时，，即…1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的

恒成立.即，对于任意恒成立…2分.当时，.不妨取，则，所以………………2分