江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期末学业水平监测数学试卷（原卷版）

常州市教育学会学业水平监测高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（）A.1 B. C. D.3.已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（）①；②；③．A.0 B.1 C.2 D.34.对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（）A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件5.已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（）A. B. C. D.6.已知正三棱锥的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点到平面的距离是（）A. B. C.3 D.7.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.8.已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（）A.2 B.4 C.6 D.8二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差10.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（）A.B.当天下午3：00温度最高C.温度为是当天晚上7：00D从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于11.在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A.存在点，使得平面B.不存在点，使得直线与平面所成的角为C.的最小值为D.以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是12.关于函数，下列说法正确的有（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递增，在上单调递减C.若方程恰有一个实数根，则D.若，都有，则三、填空题：本题共4小题．13.已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是__________．14.已知函数若，则实数的值为__________．15.如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则__________，所有圆弧的总长度为__________．16.已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是__________．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式．18.某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.425262.72.8097720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.997419.记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，，，是的中点，是线段上一点，且//平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．21.已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范