《工程制图》课件-第3章

3.1物体的三视图

3.2平面立体的投影

3.3回转体的投影

3.4平面与回转体相交

3.5两回转体相交

第3章立体的投影

3.1.1视图的基本概念

用正投影法绘制物体所得到的图形，称为视图。

应当指出，视图并不是观察者观看物体所得的直觉印象，而是把物体放在观察者和投影面之间，将观察者的视线视为一组相互平行且与投影面垂直的投影线，对物体进行投影所获得的正投影图，其投影情况如图3-1所示。3.1物体的三视图图3-1单个视图的形成3.1.2三视图的形成

在正投影中，用一个视图是不能确定物体的形状和大小的(如图3-1所示)。因此，为了将物体的形状和大小表达清楚，工程上常用三面视图。

1．物体在三面投影体系中的投影

将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投影，即可分别得到物体的正面投影、水平投影和侧面投影，如图3-2(a)所示。

2．三投影面的展开

为了画图方便，需将物体拿走，把相互垂直的三个投影面展开(摊平)在同一平面上。规定V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°(如图3-2(b)所示)，使H面、W面与V面在同一平面上(这个平面就是图纸)，这样就得到了如图3-2(c)所示的展开后的三视图。应注意，H面和W面在旋转时，OY轴被一分为二。

物体在V面上的投影，即由前向后投射所得的视图，称为主视图；物体在H面上的投影，即由上向下投射所得的视图，称为俯视图；物体在W面上的投影，即由左向右投射所得的视图，称为左视图，如图3-2(c)所示。物体的形状与距离投影面的远近无关，投影面可根据需要扩大。在实际作图中，不必画出投影面的边界和投影轴。三视图的配置是以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方，如图3-2(d)所示。

绘制三视图时应注意，按国家标准的规定，视图中凡可见的轮廓线用粗实线表示；不可见的轮廓线用虚线表示；对称中心线用点画线表示。如图3-2支架中的圆柱孔，在左视图和俯视图中不可见，用虚线表示。三个视图中圆柱孔的中心线均画成点画线。图3-2三视图的形成3.1.3三视图的投影规律

1．三视图的“三等”规律

以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。

物体都有长、宽、高三个方向尺寸。从图3-2(c)中各视图之间的尺寸关系可以看出，每个视图都反映两个方向的尺寸，即：

主视图反映物体的长度和高度；

俯视图反映物体的长度和宽度；

左视图反映物体的宽度和高度。由此可归纳得出三视图之间的对应规律：

主、俯视图长对正(等长)；

主、左视图高平齐(等高)；

俯、左视图宽相等(等宽)。

必须指出，无论是整个物体或物体的局部，其三面投影图都必须符合“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”规律，如图3-3所示。图3-3三视图的“三等”规律

2．三视图与物体的方位关系

所谓的方位关系，是指以绘图(或看图)者面对正面(即主视图的投影方向)来观察物体为准，看物体的上、下、左、右、前、后六个方位在三视图中的对应关系，如图3-4所示。

主视图——反映物体的上、下、左、右；

俯视图——反映物体的左、右、前、后；

左视图——反映物体的上、下、前、后。图3-4三视图与物体的方位关系3.1.4三视图的作图方法

根据物体(或轴测图)画三视图时，首先应分析其结构形状，摆正物体(使其主要表面与投影面平行)，选好主视图的投影方向，再着手画图。

作图时，应先画出三视图的基准线。然后画三视图，通常从主视图入手，再根据“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”规律，按物体的组成部分依次画出俯视图和左视图。图3-5(a)所示的物体，其作图步骤如图3-5(b)、(c)、(d)所示。

作图时，为了实现“俯、左视图宽相等”，可作45°辅助线来求得其对应关系，如图3-5(b)所示。图3-5三视图的作图步骤(a)轴测图；(b)画底板的三视图；(c)画左立板的三视图；(d)画右立板的三视图，完成全图

【例3-1】根据立体图(见图3-6(a))，补画三视图中的漏线，完成其三视图(未知尺寸从立体图中量取)。

分析对照图3-6(a)中的立体图可以看出，该立体由下底板和上立板构成。由立体图和所给的三视图按“三等”规律检查发现，下底板在俯视图和左视图上投影不全，上立板缺少俯、左视图。

解

(1)由主视图“长对正”补画出下底板缺少的虚线。

(2)由主视图“高平齐”，在左视图中画出下底板缺少的轮廓线。

(3)由主视图“长对正”画上立板的轮廓线，并从下底板的后面往前量取立板的宽度等于立体图上的宽度，完成上立板的俯视图。

(4)由主视图“高平齐”，在左视图中画上立板的轮廓线，并由俯视图“宽相等”画出上立板的左视图。完成立体的三视图，如图3-6(b)所示。图3-6补画三视图中的漏线  【例3-2】根据立体图和给出的主、左视图(见图3-7(a)、(b))，画出俯视图。

分析该立体由带方孔的立板和圆柱构成。

解根据“三等”投影规律依次画出立板和圆柱的俯视图，作图见图3-7(c)、(d)、(e)所示。图3-7已知主、左视图画俯视图(a)题目；(b)立体图；(c)画立板及前后通方孔的俯视图；(d)画前面圆柱的俯视图；(e)加深，完成俯视图3.2.1棱柱体

1．棱柱体的三视图

图3-8所示为正五棱柱的投射情况。从图中可知，正五棱柱的上顶面和下底面都是水平面，五个侧面(均为矩形)中，后侧面是正平面，其余的四个侧面为铅垂面，五条侧棱线为铅垂线。3.2平面立体的投影图3-8正五棱柱的三视图及表面上的点(a)立体图；(b)投影图画三视图时，先画上顶面和下底面的投影。水平投影中，上顶面和下底面均反映实形(正五边形)且投影重合，正面投影和侧面投影都有积聚性，分别积聚为平行于OX轴和OYW轴的直线；五个侧面由五条侧棱线分开，五条侧棱线的水平投影具有积聚性，积聚为正五边形的五个顶点，它们的正面投影和侧面投影均平行于OZ轴且反映棱柱的高。在画完上述面与棱线的投影后，即得该五棱柱的三视图，如图3-8(b)所示。

由于后面两条棱线EE0和DD0从前往后看时不可见，因此主视图中应画成虚线，同时请特别注意，俯视图和左视图之间必须符合宽相等和前后对应关系。这种关系可在作图时按照相对位置关系在图中直接量取作图，也可添加45°辅助线作图。

2．棱柱体表面上的点

当点属于立体的某个表面时，则该点的投影必在它所从属的表面的各同面投影范围内。若该表面的投影为可见，则该点的同面投影也可见；反之为不可见。因此在求立体表面上点的投影时，应首先分析该点所在平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。

如已知正五棱柱上点F和G的正面投影f'(g')(见图3-8)，求作它们的水平投影和侧面投影。按f'(g')的位置和可见性，可判定点F属于五棱柱的左前棱面AA0BB0，G属于五棱柱的后棱面DD0EE0。因点F所属平面AA0BB0为铅垂面，因此其水平投影必落在该平面有积聚性的水平投影aa0bb0上。再根据f' 和f求出f″。点G的投影求法与点F的投影求法相同。

3．棱柱体的特征

图3-9所示是一些常见的棱柱及其三视图，从中可以总结出它们的形体特征：正棱柱体都是由两个平行且相等的多边形底面和若干个与其相垂直的矩形侧面所组成，其三视图的特征是：一个视图为多边形，其他两个视图均为一个或多个可见或不可见的矩形线框(图形内的线为某些侧面棱线的投影，矩形线框为某些侧面的投影或重影)。图3-9棱柱体及其三视图(a)正三棱柱；(b)直四棱柱；(c)正四棱柱；(d)正五棱柱；(e)正六棱柱；(f)正六棱柱3.2.2棱锥体

1．棱锥体的三视图

图3-10所示为正三棱锥的投射情况。从图中可知，棱锥由底面△ABC和三个相等的棱面△SAB、△SBC和△SAC所组成。底面为水平面，其水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱面△SAC为侧垂面，因此侧面投影积聚为一直线，水平投影和正面投影都是类似形。棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，它的三面投影均为类似形。棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB、BC为水平线。对它们的投影特性，读者可自行分析。画正三棱锥的三视图时，先画出底面△ABC的各个投影，再画出锥顶S的各个投影，连接各顶点的同面投影，即为正三棱锥的三视图，如图3-10(b)所示。图3-10正三棱锥的三视图及表面上的点(a)立体图；(b)投影图

2．棱锥体表面上的点

正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。

如图3-10所示，已知棱面△SAB上点M的正面投影m' 和棱面△SAC上点N的水平投影n，试求点M、N的其他投影。因棱面△SAC是侧垂面，它的侧面投影s″a″(c″)具有积聚性，因此n" 在直线s″a″(c″)上，再由n和n″ 求得n'。棱面△SAB是一般位置平面，过锥顶S及点M作一辅助线SⅡ(图3-10(b)中即过m' 作s' 2'，其水平投影为s2)，然后根据直线上的点的投影特性，求出其水平投影m，再由m'、m求出侧面投影m″。若过点M作一水平辅助线ⅠM，同样可求得点M的其余二投影。

点M和点N的各个投影的可见性问题，这里不再分析。

3．棱锥体的特征

下面看一些常见的正棱锥体及其三视图(见图3-11)。从中可总结出它们的形体特征：正棱锥体由一个正多边形底面和若干个具有公共顶点的等腰三角形侧面所组成，且锥顶位于过底面中心的垂直线上；其三视图的特征是：一个视图为正多边形(图形内的线分别为侧棱线的投影，等腰三角形分别为侧表面的投影)，其他两视图均为一个或多个可见与不可见具有公共顶点的三角形线框(图形内的线为某些侧棱线的投影，三角形为某些侧表面的投影)。图3-11棱锥体及其三视图(a)正三棱锥；(b)正四棱锥；(c)正六棱锥

棱锥体被平行于底面的平面截去其上部，所剩的部分叫做棱锥台，简称棱台，如图3-12所示。其三视图的特征是：一个视图中为两个相似的正多边形(分别反映两个底面的实形，图形内对应角的连线分别为侧棱线的投影，梯形分别为侧面的投影)；其他两个视图均为一个或多个可见与不可见的四边形线框(图形内的线为某些侧棱线的投影，四边形为某些侧面的投影)。图3-12棱锥台及其三视图(a)正三棱台；(b)正四棱台；(c)正六棱台

由一条母线(直线或曲线)围绕轴线回转而形成的表面，称为回转面(如图3-13所示)；由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体。3.3回转体的投影图3-13回转面的形成(a)圆柱面的形成；(b)圆锥面的形成；(c)球面的形成3.3.1圆柱体

1．圆柱面的形成

如图3-13(a)所示，圆柱面可看做一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时，称为素线。

2．圆柱体的三视图

图3-14表示一个圆柱体的投射情况。由于圆柱轴线为铅垂线，圆柱面上所有素线都是铅垂线，所以其水平投影积聚成一个圆。圆柱体的上、下两底圆均平行于水平面，其水平投影反映实形，为与圆柱面水平投影重合的圆平面。图3-14圆柱体及其三视图(a)圆柱体的投射情况；(b)圆柱体的三视图主视图的矩形表示圆柱面的投影，其上、下两边分别为上、下底面的积聚性投影；左、右两边分别为圆柱面最左、最右素线的投影，这两条素线的水平投影积聚成两个点，其侧面投影与轴线的侧面投影重合。最左、最右素线将圆柱面分为前、后两半，是圆柱面由前向后的转向轮廓线，也是圆柱面在正面投影中可见与不可见部分的分界线。

左视图的矩形线框可与主视图的矩形线框作类似的分析。

画圆柱体的三视图时，一般先画圆，再根据圆柱体的高度和投影规律画出其他两视图。

3．圆柱体表面上的点

如图3-15所示，已知圆柱面上点M的正面投影m‘，求m和m″。

由于圆柱的轴线为侧垂线，圆柱面上所有素线均是平行于轴线的侧垂线，其圆柱面的侧面投影积聚成一个圆，所以点M的侧面投影一定重影在圆周上。据此，作图时应先求出m″，再由m'和m″求出m。因点M位于圆柱的上表面，所以其水平投影m为可见。图3-15圆柱体表面上点的求法

4．圆柱体的特征

综上所述，可总结出圆柱的形体特征：它由两个相等的圆底面和一个与其垂直的圆柱面所围成。其三视图的特征是：一个视图为圆，其他两个视图均为相等的矩形线框。3.3.2圆锥体

1．圆锥面的形成

如图3-13(b)所示，圆锥面可看做是一条直母线SA围绕和它相交的轴线OO回转而成。

2．圆锥体的三视图

图3-16所示为一圆锥体的投影情况。由于圆锥轴线为铅垂线，底面为水平面，所以它的水平投影为一圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。主视图、左视图均为等腰三角形，其下边均为圆锥底面的积聚性投影。主视图中三角形的左、右两边，分别表示圆锥面最左、最右素线的投影(反映实长)，它们是圆锥面的正面投影可见与不可见的分界线；左视图中三角形的两边，分别表示圆锥面最前、最后素线的投影(反映实长)，它们是圆锥面的侧面投影可见与不可见的分界线。上述四条线的其他两面投影，请读者自行分析。图3-16圆锥体及其三视图(a)圆锥体的投影情况；(b)圆锥体的三视图

3．圆锥体表面上的点

如图3-17所示，已知圆锥体表面上点M的正面投影m′，求m和m“。

根据M的位置和可见性，可判定点M在前、左圆锥面上，因此，点M的三面投影均为可见。

作图可采用如下两种方法：

(1)辅助素线法：如图3-17(a)所示，过锥顶S和点M作一辅助素线SⅠ，即在图3-17(b)中连接s‘m’，并延长到与底面的正面投影相交于1‘，求得s1和s″1″；再由m’ 根据点在线上的投影规律求出m和m″。

(2)辅助圆法(纬圆法)：如图3-17(a)所示，过点M在圆锥面上作垂直于圆锥轴线的水平辅助圆(该圆的正面投影积聚为一直线)，即过m' 所作的2' 3' (如图3-17(c)所示)的水平投影为一直径等于2' 3' 的圆，圆心为s，由m'作OX轴的垂线，与辅助圆的交点即为m。再根据m' 和m求出m″。图3-17圆锥体表面上点的求法

4．圆锥体的特征

圆锥的形体特征是：它由一个圆底面和一个锥顶位于与底面相垂直的中心轴线上的圆锥面所围成。其三视图的特征是：一个视图为圆，其他两视图均为相等的等腰三角形。

圆锥体被平行于其底面的平面截去上部，所剩的部分叫作圆锥台，简称圆台。圆台及其三视图如图3-18所示。其三视图的特征是：一个视图为两个同心圆(分别反映两个底面的实形，两圆之间的部分表示圆台面的投影)；其他两个视图均为相等的等腰梯形。如图3-11(b)所示，俯视图的左、右两腰分别为圆台面最左、最右素线的投影，左视图的上、下两腰分别为圆台面最上、最下素线的投影，梯形的两底分别为两个底面的积聚性投影。图3-18圆台及其三视图3.3.3球体

1．球面的形成

如图3-13(c)所示，球面可看做一圆母线围绕它的直径回转而成。

2．球体的三视图

图3-19(a)所示为一球体的投影情况，图3-19(b)所示为球体的三视图。它们都是与球直径相等的圆，均表示球面的投影。球体的各个投影虽然都是圆，但各个圆的意义却不相同。主视图中的圆是平行于V面的圆素线Ⅰ(前、后半球的分界线，球面正面投影可见与不可见的分界线)的投影；按此作类似分析，俯视图中的圆是平行于H面的圆素线Ⅱ

的投影；左视图中的圆是平行于W面的圆素线Ⅲ 的投影。这三条圆素线的其他两面投影都与圆的相应中心线重合。图3-19圆球体及其三视图(a)圆球体的投影情况；(b)圆球体的三视图

3．圆球体表面上的点

如图3-20(a)所示，已知圆球面上点M的水平投影m，求其他两面投影。

根据M的位置和可见性，可判定点M在前半球的左上部分，因此点M的三面投影均为可见。

图3-20圆球体表面上的点作图应采用辅助圆法。即过点M在球面上作一平行于正面的辅助圆(也可作平行于水平面或侧面的圆)。因点在辅助圆上，故点的投影必在辅助圆的同面投影上。

作图时，先在水平投影中过m作ef

//

OX，ef为辅助圆在水平投影面上的积聚性投影，再画正面投影为直径等于ef的圆，由m作OX轴的垂线，其与辅助圆正面投影的交点(因m可见，应取上面的交点)即为m'，再由m、m′ 求得m"，如图3-20(b)所示。

4．圆球体的特征

圆球体的形体特征是：它是由过球心任一直径都相等的球面所围成的。其三视图的特征是：三个视图都是直径相等的圆。

回转体作为物体的组成部分不都是完整的，也并非总是直立的。多看、多画些形体不完整、方位多变的几何体及其三视图，熟悉它们的形状，对提高看图能力非常有益。

为此，下面给出了多种形式的不完整回转体及其三视图(见图3-21)，供读者自行识读。图3-21部分不完整回转体及其三视图3.4.1截交线的几何性质

平面与立体表面相交时会产生表面交线，这种表面交线称为截交线，这个平面称为截平面，由截交线所围成的平面图形称为断面，如图3-22所示。3.4平面与回转体相交图3-22截交线的基本概念由于立体的形状和截平面的位置不同，因此截交线的形状也各不相同，但它们都具有下面两个基本性质：

(1)共有性。截交线是截平面和立体表面的共有线，故截交线上任一点都是截平面和立体表面的共有点。

(2)封闭性。由于任何立体表面在空间的尺寸是有限的，所以，截交线一般多由封闭的平面曲线或直线所围成。

平面与回转体相交，截交线一般是由曲线或曲线与直线围成的一个封闭的平面图形，当投影为非圆曲线时，可以利用表面取点的方法求出截交线上一系列点的投影，再连成光滑的曲线，并判别可见性。首先求出截交线上的全部特殊点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后点或转向轮廓线上的点，当连线有困难时，再求出若干个一般点。3.4.2平面与圆柱相交

平面与圆柱相交，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状，见表3-1。表3-1圆柱体的截交线

【例3-3】求圆柱被截切后(见图3-23(a))的三视图。

分析该圆柱为一直立圆柱体，轴线铅垂，上端切口是用左、右两个平行于圆柱轴线的对称的侧平面及两个垂直于圆柱轴线的水平面截切而成。侧平面与圆柱轴线平行，截断面为矩形，水平面与轴线垂直，与圆柱表面的截交线都为圆弧，由于它们都分别垂直于相应的投影面，因此，圆柱上部切口部分截交线的投影均可用积聚性法求出。

作图步骤如下：

(1)先画出完整的圆柱三视图。

(2)由于截平面分别为侧平面和水平面，圆柱截交线的正面投影都有积聚性，侧平面的水平投影也有积聚性，故应按切口部位的尺寸依次画出正面投影和水平投影，再根据这两面投影求出截交线的侧面投影a″b″c″d″，作图过程如图3-23(b)所示。图3-23圆柱切口三视图的画法

【例3-4】已知圆柱被平面截切后的主、俯视图(见图3-24(a))，补画其左视图。

分析

该圆柱体轴线铅垂放置，上部由正垂面P和侧平面Q所截切而成。截平面P与圆柱体轴线倾斜，截交线为椭圆弧，其正面投影积聚在截平面P的正面投影上，水平投影重合在圆柱面的水平投影圆上，侧面投影为椭圆弧。截平面Q为侧平面，与轴线平行，截切圆柱表面的交线为前后两段素线，Q平面与顶平面和P面相交的交线为两段正垂线，其截断面为矩形。正面投影重合在Q平面的正面投影上，水平投影积聚为直线，侧面投影反映实形。

作图步骤如下：

(1)求截断面Q的投影。如图3-24(b)所示，因为Q为侧平面，水平投影积聚为直线，由此求出水平投影abmn，侧面投影反映实形，根据上例可求得侧面投影a″b″m″n″。

(2)求正垂面P截圆柱表面的截交线。如图3-24(c)所示，先求特殊点，在正面投影上确定出A、B、C、D、E的正面投影a′、(b′)、c′、(d′)、e′，由此定出水平投影a、b、c、d、e，按对应关系求出侧面投影a″、b″、c″、d″、e″；再适当求几个一般点，如F、G；按水平投影中的顺序光滑连接a″b″d″f″e″g″c″。

(3)完成立体左视图。如图3-24(d)所示，因为圆柱的最前、最后素线上部被P平面所截掉，故最前、最后素线的侧面投影以c″d″ 为截断点，仅画出下部即可。图3-24补画被截切圆柱体的左视图

【例3-5】已知空心圆柱体上部开槽后的主、俯视图(见图3-25(a))，补画其左视图。

分析由主视图上部缺口可知，该空心圆柱体被左右对称的侧平面P和水平面R所截切。侧平面P截切外圆柱表面的截交线为两段直素线，截切内圆柱孔表面的截交线也为两段直素线，水平投影分别积聚在外圆周和内圆周上，侧面投影仍为直线；水平面R截切内外圆柱表面的截交线均为水平圆弧，正面投影和侧面投影均为直线，水平投影反映实形。截平面P、R与内、外圆柱面截切形式相同，因而内、外圆柱面上的截交线形状相同，只是位置大小不同而已，因此只要先求出截平面与外圆柱面的截交线的投影，内圆柱面上的截交线可仿照外圆柱面上截交线的求法，只是位置和大小不同罢了。

作图步骤如下：

(1)首先画出未开槽的实心圆柱体的左视图。

(2)求外圆柱面的截交线。如图3-25(b)所示，P平面截切实体圆柱截交线的正面投影a′b′、c′d′ 重合在P平面的正面投影上，水平投影ab、cd积聚在圆周上，根据对应关系可求得侧面投影a″b″、c″d″；R平面截切实体圆柱的截交线为前后两段圆弧，其截断面为水平面，正面投影积聚为直线，水平投影bdfhgeb反映实形，侧面投影积聚为直线e″b″d″f″ 段。

(3)求内圆柱面的截交线。如图3-25(c)所示，P平面截切内圆柱面所得截交线的正面投影i′j′、k′m′ 重合在P平面的正面投影上，水平投影ij、km积聚在内圆柱孔的圆周上，根据对应关系可求得侧面投影i″j″、k″m″；R平面截切内圆柱面的截交线为前后两段水平圆弧，其水平投影为tq(j)、nr(m)，正面投影为直线(j′)(q′)(t′)、(m′)(r′)(n′)，侧面投影为直线(q″)(j″)、(m″)(r″)段。

(4)由于是空心圆柱，故侧面投影(j″)、(m″)之间无投影，如图3-25(c)所示。

(5)完成立体的左视图。由于内、外圆柱最前和最后素线的上段已被R平面截去，故最前、最后素线的侧面投影以e″、q″、r″、f″ 为界仅画出下段，如图3-25(d)所示。图3-25开槽空心圆柱体的三视图3.4.3平面与圆锥相交

由于平面与圆锥轴线的相对位置不同，因而平面与圆锥的截交线有五种情况，见表3-2。

【例3-6】求作圆锥被一正垂面截切后(见图3-26(a))的三视图。

分析由于截平面与圆锥轴线倾斜，故其截交线为一椭圆。椭圆的正面投影与截平面的正面投影重合，所以只需求出其水平投影和侧面投影。图3-26求斜切圆锥的三视图

作图步骤如下：

(1)求特殊点。椭圆长轴上的两个端点A、B是截交线上的最低、最高及最左、最右点，也是圆锥前后方向转向轮廓线上的点，可利用投影关系由a′、b′ 求得a、b和a″、b″；椭圆短轴上两个端点C、D是截交线上的最前、最后点，其正面投影c′、d′重影于a′b′ 的中点，利用纬圆法即可求得c、d和c″、d″。椭圆上E、F点也是左右方向转向轮廓线上的点，由e′、f′ 直接求得e、f和e″、f″。

(2)求一般点。用纬圆法在特殊点之间再求出适量的一般点，如M(m、m″)、N(n、n″ )等。

(3)经判别可见性后依次光滑连接各点的水平投影和侧面投影即为所求(e″、f″ 以上的转向轮廓线被切去)。

【例3-7】画出圆锥被正平面截切后(见图3-27(a))的三视图。

分析因为截平面为正平面，与圆锥的轴线平行，所以截平面为用直线封闭的双曲线。其水平投影和侧面投影分别积聚为一直线，只需求出正面投影。图3-27正平面截切圆锥的截交线

作图步骤如下：

(1)先画出圆锥体的三视图及截交线H、W面的积聚性投影，如图3-27(b)所示。

(2)求特殊点。点Ⅲ

为最高点，它在最前素线上，故根据3“ 可直接作出3和3‘。点Ⅰ、Ⅴ为最低点，也是最左、最右点，其水平投影1、5在底圆的水平投影上，据此可求出1′ 和5’。

(3)求一般点。可利用辅助圆法(也可用辅助素线法)，即过正面投影2′ 、4′ 画一条与圆锥轴线垂直的水平线，与圆锥最左、最右素线的投影相交，以两交点之间的长度为直径，在水平投影中画一圆，它与截交线的积聚性投影(直线)相交于2和4，据此求出2‘、4′ 及2”、4“。

(4)依次将点1'、2'、3'、4'、5'

连成光滑的曲线，即为截交线的正面投影。3.4.4平面与圆球相交

圆球被任意方向的平面截切时，所得到的截断面形状都是圆。当截断平面平行于投影面时，这个圆在该投影面上的投影反映实形。截断平面至球心的距离越大，被切出圆的直径越小；反之，圆的直径越大。

【例3-8】画出开槽半球体(见图3-28(a))的三视图。

分析由于半圆球被两个对称的侧平面和一个水平面截切，因此两个侧平面与球面的截交线各为一段平行于侧面的圆弧，而水平面与球面的截交线为两段水平的圆弧。

作图首先画出完整半圆球的三视图，再根据槽宽、槽深尺寸依次画出截交线的正面、水平和侧面投影，作图的关键在于确定圆弧半径R1和R2，具体画法如图3-28(b)、(c)所示。

作图时，应注意以下两点：

(1)因半圆球上平行于W面的圆素线被切去一部分，所以由开槽而产生的轮廓线在侧面的投影向内“收缩”，其圆弧半径如图3-28(c)所示。显然，槽越宽，半径越小；槽越窄，半径越大。

(2)注意区分槽底的侧面投影的可见性。图3-28半球体开槽后截交线的画法

【例3-9】画出图3-29(a)所示同轴回转体的俯视图。

分析该立体是由同轴线的圆锥和圆柱被水平面P、正垂面Q截切而成的。截平面P与圆锥表面的截交线为双曲线；与圆柱表面的截交线为直线。截平面Q与圆柱表面的截交线为椭圆。由于正面和侧面投影均有积聚性，只需求作它的水平投影。

作图步骤如下：

(1)作出该立体截切前的三视图。

(2)求作左端双曲线的水平投影。

(3)求作中部两平行直线的水平投影。

(4)求右端椭圆的水平投影。

(5)不要漏画平面P与Q交线的水平投影；圆锥与圆柱交线的水平投影在2、3之间为虚线。图3-29同轴回转体截切(a)立体图；(b)已知；(c)作图

看图提示：

(1)要注意分析截平面的位置。一是分析截平面与被切回转体的相对位置，以确定截交线的形状(如截平面与圆柱轴线倾斜，其截交线为椭圆；与圆锥轴线垂直，其截交线为圆等)；二是分析截平面与投影面的相对位置，以确定截交线的投影形状(如球被垂直于投影面的截平面切割，截交线圆在另两面上的投影则变成了椭圆等)。

(2)当截交线的投影为非圆曲线时，应先求特殊位置点的投影入手，以确定其投影范围，再求一般位置点的投影以增加其投影连线的准确度(除圆柱可利用其投影的积聚性求得外，圆锥和球等则必须用辅助素线法或辅助圆法求得)。

(3)要注意分析回转体轮廓线投影的变化情况(存留轮廓线的投影不要漏画，被切掉轮廓线的投影不要多画)。此外，还要注意截交线投影的可见性问题。图3-30回转截切体的三视图两立体相交，其表面上产生的交线称为相贯线，如图3-31所示。3.5两回转体相交图3-31相贯线实例3.5.1相贯线的几何性质

两回转体的相贯线有以下性质：

(1)由于相交两立体总有一定大小限制，因此相贯线一般为封闭的空间曲线，如图3-32(a)所示。特殊情况下可能是不封闭的，如图3-32(b)所示，也可能是平面曲线或直线，如图3-32(c)、(d)所示。图3-32两回转体的相贯线(a)封闭的空间曲线；(b)不封闭的空间曲线；(c)封闭的平面曲线；(d)直线段(2)由于相贯线是两立体表面的交线，故相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是立体表面上的共有点。求画相贯线的实质就是要求出两立体表面一系列的共有点。常采用以下方法：立体表面取点法、辅助平面法和辅助球面法，这里只介绍前两种方法。3.5.2用表面取点法求相贯线

当圆柱的轴线垂直于某一投影面时，圆柱面在这个投影面上的投影具有积聚性，因而相贯线的投影与其重合，根据这个投影，就可用表面取点法求出其他投影。

1．两圆柱轴线垂直相交时的相贯线

【例3-10】求作两圆柱正交(见图3-33(a))的相贯线。图3-33两圆柱轴线正交相贯线的画法

分析由图3-33(a)可知，这是两个直径不同，轴线垂直的圆柱相交，相贯线为一封闭的空间曲线。大圆柱的轴线垂直于水平面，小圆柱的轴线垂直于侧面，所以相贯线的水平投影和大圆柱面的水平投影重合，为一段圆弧；相贯线的侧面投影和小圆柱面的侧面投影重合，为一个圆，求作的是相贯线的正面投影。

作图步骤如下：

(1)求特殊点。相贯线上的特殊点主要是转向轮廓线上的共有点和极限位置点。如图3-33(b)所示，小圆柱与大圆柱的正面轮廓线交点1‘、3’ 是相贯线上的最高、最低(也是最左)点，其投影可直接定出；小圆柱的水平轮廓线与大圆柱面的交点2、4是相贯线上的最前、最后(也是最右)点。由已知投影1、2、(3)、4和1″、2″、3“、4”，求得1′、2‘、3’、(4')。

(2)求一般点。在小圆柱的侧面投影中取5″、6″，根据“宽相等”求出水平投影5、(6)，然后作出5′、6′。

(3)顺次光滑连接，判别可见性。根据具有积聚性投影的顺序，依次光滑连接各点的正面投影，即完成作图。由于相贯线前后对称，因而其正面投影虚实线重合(见图3-33(c))。

2．两圆柱垂直相交，当其直径大小变化时对相贯线的影响

两圆柱垂直相交时，相贯线的形状取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置。图3-34表示相交两圆柱的直径相对变化，相贯线的形状和位置也随之变化。图3-34