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小号发出的波足以把玻璃杯振碎1§1简谐振动§2简谐振动的合成§3阻尼振动与受迫振动简介

第6章机械振动基础2

机械振动：

物体位置在某一值附近来回往复的变化

广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化该物理量的运动形式称振动物理量：等等3重要的振动形式是简谐振动(S.H.V.)simpleharmonicvibration物理上：一般运动是多个简谐振动的合成数学上：付氏级数付氏积分也可以说

S.H.V.是振动的基本模型或说振动的理论建立在S.H.V.的基础上注意：以机械振动为例说明振动的一般性质46.1.1.简谐振动以弹簧谐振子为例设弹簧原长为坐标原点由牛顿第二定律令简谐振动整理得6弹簧振子作简谐振动的动力学方程总结：如质点运动的动力学方程可归结为：的形式，且其中决定于振动系统本身的性质。上式的形式就是简谐振动的动力学方程式。方程的解为：（1）（1）式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。7简谐振动的运动学方程则速度和加速度分别为86.1.2、简谐振动的振幅、周期、频率和相位表征了系统的能量位移振幅最大位移由初始条件决定1.运动学表达式广义：振动的物理量弹簧谐振子特征量：9位相周相系统的周期性固有的性质称固有频率…圆频率相位初相位角频率

取决于时间零点的选择

初位相频率周期10简谐振动的描述1.解析描述11均是作谐振动的物理量频率相同振幅的关系相位差超前落后122.曲线描述131）谐振动运动学方程从对象的运动规律出发（电学规律力学规律等）S.H.V.的标准形式小结2）动力学方程S.H.V.的判据146.1.3振幅和初相的确定决定简谐振动的具体形式需知外力条件，还需知道初始条件，即t＝0时的位移和速度。设书中例题6.1，6.2，6.4（197页）15练习题：弹簧振子的振动表达式用余弦函数表示。若t＝0时物体的运动状态分别为（1）（2）过平衡位置向x正方向运动；（3）且向x负方向运动。试用相量图法分别确定相应的初相。解：设振动表达式为则同理相量图分别为：166.1.4简谐振动的能量如弹簧谐振子系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点17讨论1)普适2)时间平均值3)

由简谐振动能量求振动例题6.5（203页）（理解）18练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？练习：一弹簧振子，劲度系数为25N/m,当物体以初动能和初势能分别为振动时，请回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，动能和势能相等？（3）位移是振幅一半时，势能多大？196.1.5.旋转矢量表示法用匀速圆周运动几何地描述SHV规定端点在x轴上的投影式逆时针转以角速度201）直观地表达振动状态优点当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位即表达式中的余弦函数的综量而旋转矢量图可直观地显示该综量分析解析式可知用图代替了文字的叙述21如文字叙述说t时刻弹簧振子质点

在正的端点旋矢与轴夹角为零质点经二分之一振幅处向负方向运动意味意味<22质点过平衡位置向负方向运动同样<0向负方向运动<0<0注意到：23向正方向运动或>0>0或>0>向正向运动24由图看出：速度超前位移加速度超前速度称两振动同相2）方便地比较振动步调位移与加速度称两振动反相若25§2简谐振动的合成一、同方向同频率谐振动的合成二、同方向不同频率谐振动的合成拍三、两个垂直方向谐振动的合成利萨如图形四、谐振分析26当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题本节只讨论满足线性叠加的情况本节所讨论的同频率的谐振动合成结果是波的干涉和偏振光干涉的重要基础本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果可以给出重要的实际应用276.2.1、振动方向相同振动频率相同的两个SHV的合成线性叠加结果：仍是谐振动振动频率仍是

振动的振幅（双光束干涉的理论基础）28若反相合振动减弱同相合振动加强特殊结果：若若两振动同相两振动反相可能的最强振动“振动加振动”不振动296.2.2、振动方向相同频率略有差别的振幅相等的两个SHV的合成拍分振动：线性相加：结论：

合成已不再是谐振动但考虑到

1

2可以用谐振动表达式等效加深认识30分析：<<则较随时间变化缓慢将合成式写成谐振动形式31合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示表达式为32拍

合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍频

单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法由式得336.2.3、两个垂直方向谐振动的合成1.同频率的谐振动合成线性相加：轨迹方程是椭圆即合成的一般结果是椭圆34不同椭圆形状、旋向也不同

=

=3

/2

=5

/4

=7

/4

=

/2

=

/4P··Q

=0yx

=3

/4（-3

/4）（-

/2）（-

/4）352.频率比是简单的正整数合成轨迹为稳定的闭合曲线—利萨如图yxA1A20-A2-A1例如左图：应用：测定未知频率36四、谐振分析利用付里叶分解可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）对周期性振动：

T—周期k=1基频（

） k=2二次谐频（2

） k=3三次谐频（3

）

决定音调决定音色高次谐频37共振(简谐振动）振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式:38§3阻尼振动与受迫振动一、阻尼振动二、受迫振动三、共振39一、阻尼振动1.阻尼振动系统在振动过程中受到粘性阻力作用后能量将随时间逐渐衰减系统受的粘性阻力与速率成正比比例系数

叫阻力系数关系式为:40令称阻尼因子系统固有频率2.阻尼振动的动力学方程由牛顿第二定律有整理得式中41如果无阻尼是谐振动的形式存在阻尼仍振动但能量会衰减如果能振动起来（欠阻尼情况）上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：阻尼振动方程为3.振动表达式42所以解的形式必定是在谐振动的基础上乘上一衰减因子即形式为：可以证明：43过阻尼临界阻尼欠阻尼xt0三种阻尼振动过阻尼：临界阻尼：欠阻尼：44二、受迫振动1.受迫振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动2.受迫振动的动力学方程设驱动力按余弦规律变化即由牛顿第二定律有45整理得其中固有频率阻尼因子463.稳定状态的振动表达式受迫振动系统达到稳定时应做与驱动力频率相同的谐振动其表达式为：用旋矢法可求出上式的A和

4748画任意时刻旋矢图由旋矢图可知：得驱动力初相为零位移与驱动力的相位差49在弱阻尼即

<<

0的情况下系统的振动速度和振幅都达到最大值—共振当

=

0时三、共振共振现象普遍有利有弊160年前拿破仑入侵西班牙桥塌几十