波约·格尔文定理的应用与高考题教学教案

波约·格尔文定理的应用与高考题高考题（02年全国）(I)给出两块相同正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，该拼图题的本质是：设计一种剪拼方法。把一个正三角形剪拼成一个与之面积相同的正三棱锥或一个正三棱柱的表面展开图。正三棱锥的制作：把正三角形剖分为9个小正三角形，取其中1个作为正三棱锥底面，余下8个经过剖分拼成正三棱锥的三个侧面。

该题有无穷多解。正三棱柱的制作：把正三角形剖分为9个小正三角形，取其中2个作为正三棱柱底面，余下7个经过剖分拼成正三棱锥的三个侧面。

更一般的制作法另一个经典问题：

用长方形纸板制作体积最大的无盖长方体怎样将一张长2a、宽2b的矩形纸板做成一只体积最大的无盖长方体纸盒？制作：剪掉边长为x的4个小正方形，再折起来。于是V=x(2a-2x)(2b-2x)，求得最大值点有两种方法：初等方法——基本不等式；高等方法——导数。如果要求不浪费材料呢？可先不考虑如何制作。不浪费材料制作体积最大的无盖长方体盒子用一张长2a、宽2b的矩形纸板制作无盖长方体盒子，怎样设计使长方体盒体积最大？解:由于4ab=xy+2yz+2zx为定值,而xy×2yz×2zx=4x2y2z2=4v2.故当xy=2yz=2zx，即x=y=2z时,体积v最大。此时无盖长方体是半个正方体，其侧面积是底面积的两倍。如果制作的是有盖（即封闭）的长方体，何时体积最大呢？能否把“无盖”的问题转化为“有盖”的问题吗？一个实例如何用一张长8、宽6的长方形纸板制作一个体积最大的无盖长方体纸盒？计算可知：体积最大的无盖长方体纸盒，其底面是边长为4的正方形，高为2。更一般的问题：表面积为定值体积最大的柱体如何？表面积为定值，体积最大的柱体为圆柱。首先证：表面积为定值s体积最大的柱体C必为直柱体。用反证法证明。假设柱体C不是直柱体，那么柱体C的侧面展开图必是一个非矩形的平行四边形。构造一个底面与柱体C的底面全等且表面积仍为s的直柱体A，则直柱体A的侧面积与柱体C的侧面积相等。由于柱体的侧面展开图是两边分别为底面周长和侧棱长的平行四边形，而直柱体A的侧面展开图是矩形，因此直柱体A的侧棱长（即A的高）与柱体C的斜高相等。由假设柱体C不是直柱体，可知其高小于其斜高，所以直柱体A的体积大于柱体C的体积。这与C是体积最大的柱体矛盾。所以柱体C必是直柱体。以下进一步证明直柱体C是圆柱。仍用反证法。假设直柱体C的底面不是圆，构造一底面与柱体C的底面面积相等且侧面积也相等的圆柱Q。由等周定理可知，圆柱Q的底面周长比柱体C的底面周长小，于是圆柱Q的高比柱体C的高大，这与柱体C是体积最大矛盾，所以柱体C必是圆柱。

同理可证：表面积为定值，体积最大的n棱柱体为正n棱柱。体积最大的柱体（含正n棱柱和圆柱），其大小如何？侧面积是底面积和的两倍。变式：如果柱体是无盖的，怎么解决？重新审视：02年全国高考第22题(II)比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;(III)如果给你一块任意三角形的纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，并作简要说明.进一步问题的解决：对(III)，若要使该直三棱柱体积最大，形状、大小如何？如何用已知的多边形制作该棱柱呢？一般的，制作表面积相等且体积最大的三棱柱与正三棱锥，哪个更大？1个高考题用一块钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格，若既要够用，又要所剩最少，则应选择的钢板规格（单位均为m）是（）A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5分析：首先要知道容积为4m3的无盖长方体水箱表面积最少是多少？问题探讨：体积一定，表面积最小的柱体。问题探讨1.体积为定值表面积最小的n棱柱（有盖）的形状如何？说明理由。正n棱柱。2.体积为定值v，表面积最小的n棱柱体（有盖）大小如何？该正n棱柱的侧面积是底面积的4倍时表面积最小。3.体积为定值v，表面积最小的柱体（有盖）的形状如何？其大小呢？圆柱。且其侧面积是底面积的4倍时表面积最小。如果体积为定值的柱体是无盖的，情况又如何？如何将问题转化为有盖的？实际中“最好”的柱形桶

在实际中，对于体积一定的柱体形桶容器（有盖），桶底和桶壁材料费用不同。这时如果从桶的制作成本来看，最好的桶应使得桶底和桶壁材料的费用总和最小。

可证“最好的”的柱体形桶仍为圆柱。设圆柱形桶的体积为V，底半径为r，